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压轴提分冲刺卷（一）

（1）证明：∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO.又∵∠COB＝2∠A，∠COB＝2∠PCB，∴∠A＝∠ACO＝∠PCB.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO＋∠OCB＝90°.∴∠PCB＋∠OCB＝90°，即OC⊥CP.∵OC是⊙O的半径,∴PC是⊙O的切线.

2.已知：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点为D(－1,4)，与x轴交于B，A两点，与y轴交于点C(0,3)，如图Y1－2.(1)求二次函数的表达式；(2)在抛物线的对称轴上有一点E，使得△ACE的周长最小，求出点E的坐标；(3)若点N在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A，B，N，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）∵抛物线的顶点为(－1,4)，∴设函数表达式为y＝a(x＋1)2＋4.∵图象过点C(0,3)，∴当x＝0时，y＝3.∴3＝a(0＋1)2＋4.解得a＝－1.∴二次函数的表达式为y＝－(x＋1)2＋4，即y＝－x2－2x＋3.（2）当y＝0时，即－x2－2x＋3＝0.解得x1＝－3，x2＝1.∴点B的坐标为(－3,0)，点A的坐标为(1,0).如答图Y1－2，连接BE.∵A，B关于对称轴x＝－1对称，点E在对称轴x＝－1上，∴EA＝EB.∴△ACE的周长＝AC＋CE＋EA＝AC＋CE＋EB.

（3）存在.理由如下：如答图Y1－3.当点P与点D重合，点N与点P关于x轴对称时，四边形ANBP的对角线互相平分，∴四边形ANBP是平行四边形，此时点P的坐标为(－1,4).当P′N′∥AB，P′N′＝AB＝4时，四边形ABP′N′是平行四边形，此时P′点的横坐标为－1－4＝－5，∴P′的纵坐标为y＝－x2－2x＋3＝－25＋10＋3＝－12.∴点P′的坐标为(－5,－12).当P″N′∥AB，P″N′＝AB＝4时，四边形ABN′P″是平行四边形，此时P″点的横坐标为－1＋4＝3，∴P″的纵坐标为y＝－x2－2x＋3＝－9－6＋3＝－12.∴点P″的坐标为(3,－12).∴抛物线上存在点P，使得以A，

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