3.1 椭圆【同步精讲】（解析版）

高中数学精选资源2/2第3章 圆锥曲线与方程第01讲椭圆目标导航目标导航课程标准重难点理解椭圆的定义与概念2.掌握椭圆的几何意义1.椭圆离心率的计算方法2.椭圆与直线的位置关系知识精讲知识精讲知识点一椭圆的定义平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两定点F1，F2叫做椭圆的焦点．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数．(1)当2a＞|F1F2|时，M点的轨迹是椭圆；(2)当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是线段F1F2；(3)当2a＜|F1F2|时，M点不存在．知识点二椭圆的标准方程和几何意义标准方程(a＞b＞0)(a＞b＞0)图形性质范围x∈[－a，a]，y∈[－b，b]x∈[－b，b]，y∈[－a，a]对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)离心率e＝，且e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2离心率表示椭圆的扁平程度.当e越接近于1时，c越接近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b＝越大，因此椭圆越接近圆；当e＝0时，c＝0，a＝b，两焦点重合，图形就是圆.知识点三常用结论1．焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.(1)(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；(2)(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆(a＞b＞0)中(1)当P为短轴端点时，θ最大．(2)S＝|PF1||PF2|·sinθ＝b2tan＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.4．AB为椭圆(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则(1)弦长l＝|x1－x2|＝|y1－y2|；(2)直线AB的斜率kAB＝－.能力拓展能力拓展考法01椭圆的定义及应用例1(1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()例1A. B.C. D.(2)已知F1，F2是椭圆C：(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝__________.(3)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．【答案】(1)D(2)3(3)6＋6－【解析】(1)设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为.(2)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则∴2r1r2＝(r1＋r2)2－()＝4a2－4c2＝4b2，∴S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，∴b＝3.(3)椭圆方程化为，设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)，∴|AF1|＝，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，∴6－≤|PA|＋|PF|≤6＋.【跟踪训练】1．在本例(2)中增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，则该椭圆的方程为________________．【答案】【解析】由原题得b2＝a2－c2＝9，又2a＋2c＝18，所以a－c＝1，解得a＝5，故椭圆方程为.2．(变条件)将本例(2)中的条件“⊥”“△PF1F2的面积为9”变为“∠F1PF2＝60°”，“＝3”，则b的值为________．【答案】3【解析】因为|PF1|＋|PF2|＝2a，又∠F1PF2＝60°，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°＝|F1F2|2，即(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝4c2，所以3|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，所以|PF1||PF2|＝b2，又因为＝|PF1||PF2|sin60°＝×b2×＝b2＝3，所以b＝3.【方法总结】椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等．考法02椭圆的标准方程例2（1）如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的标准方程为()例2A. B.C. D.（2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆的方程为____________________．(3)过点(，－)，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为____________．【答案】(1)C(2)(3)【解析】(1)由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′(图略)，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，∴∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝＝8，由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，从而a＝7，a2＝49，于是b2＝a2－c2＝49－25＝24，∴椭圆C的方程为，故选C.(2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．由解得m＝，n＝.所以椭圆方程为.(3)法一：定义法椭圆的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.由椭圆的定义，知2a＝，解得a＝2.由c2＝a2－b2可得b2＝4，所以所椭圆的标准方程为.法二：待定系数法∵所求椭圆与椭圆的焦点相同，∴其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为(a＞b＞0)．∵c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①又点(，－)在所求椭圆上，即.②由①②得b2＝4，a2＝20，∴所求椭圆的标准方程为.【解题方法】定义法根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程待定系数法待定系数法是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，再用待定系数法求出m，n的值即可考法03求离心率例3（1）已知F1，F2是椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为()例3A. B.C. D.(2)过椭圆C：(a＞b＞0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是()A. B.C. D.【答案】(1)D(2)A【解析】(1)如图，作PB⊥x轴于点B.由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1.由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝，|BF2|＝1，故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，tan∠PAB＝＝＝，解得a＝4，所以e＝＝(2)由题设知，直线l：，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±，即圆的半径r＝.又圆与直线l有公共点，所以≤，化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝≤.又0＜e＜1，所以0＜e≤.故选A.【方法总结】看个性(1)定义法：根据条件求出a，c，直接利用公式e＝求解．(2)方程法：根据条件得到关于a，b，c的齐次等式(不等式)，结合b2＝a2－c2转化为关于a，c的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．与椭圆有关的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1，所以在求与椭圆有关的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系[口诀记忆]离心率，不用愁，寻找等式消b求；几何图形寻踪迹，等式藏在图形中．找共性1.无论题型如何变化，都是围绕椭圆的几何性质，外加其他条件来考查，所以理清椭圆的几个关键点(顶点、原点、焦点、对称轴)和灵活应用几个公式，理清a，b，c的内在联系(a，b，c的关系式→构造a，c的齐次方程或不等式)，便可以不变应万变．2.与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形分层提分分层提分题组A基础过关练1．若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一个焦点的距离为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设点到另一个焦点的距离为，由椭圆方程可知，，则，所以.故选：D2．椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为椭圆方程为：，所以，，所以，又，所以，所以离心率故选：D3．已知定点F1，F2，且|F1F2|＝8，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝8，则动点P的轨迹是（）A．椭圆 B．圆 C．直线 D．线段【答案】D【解析】因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，所以动点P的轨迹是线段F1F2.故选：D4．椭圆与关系为（）A．有相等的长轴 B．有相等的短轴C．有相等的焦点 D．有相等的焦距【答案】D【解析】椭圆的长轴为10，短轴为6，焦距为8，焦点分别为，椭圆的长轴为，短轴为，焦距为8，焦点分别为，所以两椭圆的焦距相同，故选：D5．已知，则“”是“方程表示椭圆”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】方程表示椭圆，则，所以“”是“方程表示椭圆”的充分不必要条件.故选：B6．若椭圆的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（）A． B．C的长轴长为 C．C的短轴长为4 D．C的离心率为【答案】AB【解析】由已知可得，解得或（舍去），∴长轴长为，短轴长为，离心率为，故选：AB.7．已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0），若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为___________.【答案】＋＝1【解析】椭圆长轴长为6，即2a＝6，得a＝3，∵两焦点恰好将长轴三等分，∴2c＝·2a＝2，得c＝1，∴b2＝a2－c2＝9－1＝8，∴此椭圆的标准方程为＋＝1.故答案为：8．方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是____________．【答案】；【解析】由题意且，解得．故答案为：．题组B能力提升练1．已知椭圆对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，该椭圆的一焦点坐标为且过点，求该椭圆的长轴长为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由椭圆的一焦点坐标为，可得所求椭圆焦点在轴上，设所求椭圆方程为：，则椭圆的另一焦点为，又椭圆过点由椭圆的定义可得：故选：C2．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点、在轴上，椭圆的面积为，且离心率为，则的标准方程为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知，椭圆的面积为，且、、均为正数，即，解得，因为椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为.故选：C.3．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆有四个结论：①焦距长约为300公里；②长轴长约为3988公里；③两焦点坐标约为(±150，0)；④离心率约为．则上述结论正确的是（）A．①②④ B．①③④C．①④ D．②③④【答案】C【解析】设该椭圆的半长轴长为a，半焦距长为c．依题意可得月球半径约为×3476＝1738，a－c＝100＋1738＝1838，a＋c＝400＋1738＝2138，2a＝1838＋2138＝3976，a＝1988，c＝2138－1988＝150，椭圆的离心率约为e＝＝，可得结论①④正确，②错误；因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以③错误．故选：C．4．已知是椭圆上一动点，，分别是圆与圆上一动点，则（）A．的最小值为 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最大值为【答案】AD【解析】圆与圆的圆心分别为：；，则、是椭圆的两个焦点坐标，两个圆的半径为，所以的最大值为；的最小值.故选：AD.5．已知椭圆的两个焦点分别为，与轴正半轴交于点，下列选项中给出的条件，能够求出椭圆标准方程的选项是（）A．是等腰直角三角形B．已知椭圆的离心率为，短轴长为2C．是等边三角形，且椭圆的离心率为D．设椭圆的焦距为4，点在圆上【答案】BD【解析】对A，若是等腰直角三角形可知，没具体数据得不出方程；对B，已知椭圆的离心率为，短轴长为2，则，由所以，所以椭圆标准方程为，故B正确；对C，是等边三角形，且椭圆的离心率为，所以，，数据不足，得不到结果；对D，设椭圆的焦距为4，点在圆上，所以，由，所以，所以椭圆方程为，故D正确故选：BD6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，且离心率为，求短轴长为______.【答案】【解析】由题意，椭圆的右顶点为，可得，又由椭圆的离心率为，即，可得，所以，所以，即椭圆的短轴长为.故答案为：.7．已知，分别为椭圆的左､右焦点，过的直线与椭圆交于，两点，且，，则椭圆的离心率为___________.【答案】【解析】如图,设又,由椭圆定义知,,可得：即，在中,由余弦定理可得,，即.即,解得:.故答案为:8．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）离心率是，长轴长是6；（2）在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6．【答案】（1）或；（2）．【解析】（1）设椭圆的方程为或．由已知得2a＝6，，所以a＝3，c＝2．所以b2＝a2－c2＝9－4＝5．所以椭圆方程为或．（2）设椭圆方程为．如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2上的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，所以c＝b＝3所以a2＝b2＋c2＝18，故所求椭圆的方程为．题组C培优拔尖练1．已知椭圆E:的左焦点为F，过点P(2，t)作椭圆E的切线PA、PB，切点分别是A、B，则三角形ABF面积最大值为（）A． B．1 C．2 D．【答案】A【解析】由椭圆方程，知，，设右焦点为，即设,，由椭圆的切线方程可知切线PA的方程为，切线PB的方程为由于点P在切线PA、PB上，则，故直线方程为，所以直线过定点，且定点为椭圆的右焦点，联立方程，消去x得：由韦达定理得，，令，则，，则，当且仅当，即时，等号成立，故三角形ABF面积最大值为故选：A2．已知F是椭圆的左焦点，A是该椭圆的右顶点，过点F的直线l（不与x轴重合）与该椭圆相交于点M，N．记，设该椭圆的离心率为e，下列结论正确的是（）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，【答案】A【