2023届山东省新高考复习 专题3 立体几何解答题30题专项提分计划解析版-高考数学总复习总结归纳集锦专题资料

2023届山东省新高考复习

专题3立体几何解答题30题专项提分计划

1.(2022•山东德州・统考三模)已知底面48CD为菱形的直四棱柱，被平面AE尸G所截几何

体如图所示.

(2)若45=2,NOA3=60",三棱锥GACD的体积为芋，直线与底面A8C。所成角的

正切值为立，求锐二面角A-EC-4的余弦值.

2

【答案】(1)证明见解析

⑵李

4

［分析1(1)根据题意可证AC_L平面BDG,可得AC±BG,得证BG±平面ACE,得BGLAE,

再根据面面平行的性质可证/G〃4E；(2)根据题意可得GD=2,FC=3,利用空间向量

求二面角.

【详解】(1)连接8。，交AC「点0,底面48co为菱形，JAC28。，

由直叫棱柱得G£)_L底面八BC。，又ACu平面ABC。，・・・GO_LAC,

又BDlGD=D,BD,60<=平面8。6,

，ACJ_平面3QG,因为BGu平面4OG,

，ACA.BG

已知CE_L4G,乂4CCE=C,AC,CEu平面AC£,

JBGJ■平面ACE,

因为AEu平面BOG,・•・

•••平面ABE〃平面CI'GD

平面AEFGr平面ABE=AE，平面4ER71r平面CFG。=GF,

/.FG//AE,则尸G_L8G

(2)已知AB=2,NOA8=60"可求30=2,AC=243

由VGACD=gx；x2x2xsin120"xG。=竽，则GD=2

在直四棱柱中，尸C_L底面A8C£),

所以/£4C为比线AF与底面46C。所成角，tanZE4C=—=—»则尸。=3

AC2

在平面AC尸内作Oz〃b,可知0z_L底面A3CQ,如图，以。为原点，建立空间直角坐标

系。一冷2,

则A电0,0),8(0,1,0),C(-行,(),())，G(0,-l,2),尸(-百,0,3),

Of=QA+4£=O4+G"=(75,0,0)+(-⑸,1)=(0,1,1)

则CE=(瓜1,1),C8=(75,1,0)

设平面6CE的法向量为〃i=(x,y,z),

mCE=0fV5x+y+z=0

则上_八=<_J

m-CB=0\j3x+y=0

取x=l,得y=-6，z=0,得〃?=(1,-6,0),

由(1)知BG_L平面4CE所以平面ACE的一个法向量为〃=BG=(0,-2,2)

则8s伉〃)=的。=4=与

所以锐二面角A-EC-8的余弦值为亚

4

2.（2022•山东烟台・统考三模）如图，在平面五边形PA8CD中，LRID为正三角形，AD〃BC,

NZM8=90。且八£>=AA=2BC=2.将二PAD沿AO翻折成如图所示的四棱锥P—/WCD,使

得PC=8.F,Q分别为A4,C石的中点.

⑴求证：户Q平面P4D：

DF1

（2）若言=3,求平面EFC与平面小。夹角的余弦值.

1乙

【答案】（1）证明见解析

⑵叵

70

I分析】（1）取OC的中点M,连接M尸，MQ.可得面MQF〃面尸4。，从而川.证FQ1平

面PAD；

（2）取A。的中点O,连接OP,0C,以0为坐标原点，分别以O。，OC，。户的方向为

肛y,z轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系,用向量法求解即可.

（1）

解：（1）证明：取OC的中点M,连接M/LMQ.

则MQ〃0£>,MF//DA.

因为MQ（Z面FAD，MEN面FAO,

所以，MQ〃面PAD,MF面尸AO,

因为MQcME=M,

所以，面MQ尸〃面尸4。.

因为尸Qu面MQ尸，所以F。〃面尸AD.

（2）

（2）取A。的中点。，连接OP,0C,

因为-A4D为正三角形，AD=2,所以OP_L4O且OP=G，

在直角梯形48C。中，AD〃BC,ZDAB=90°,AB=2BC=2,

所以，OCJLAD且OC=2,

又因为PC=Q，

所以在△POC中，O产+OC=PC】,即OP_LOC,

所以，以。为坐标原点，分别以。。，oc，。夕的方向为x,y,z轴的正向，建江如图所

示的空间直角坐标系，

则。(1,0,0),C(0,2,0),网一1,1,0),P(0.0,G),

£>?=(-1,0,^).

因为第=<，即OE=：DP=[-"o,坐],2>0,

PE23133J

所以,E目用，

所以七0二(一:2,-4],所=(_|,1,_亭.

设”=(N,y,zJ为平面EFC的一个法向量,

2073.

n-EC=0X,2j,Z,=

则即《~3-T°取〃=(3,-3,-8@.

n-EF=05,右c

一…一丁口

又平面尸AO的一个法向审)=(0/,0),设平面EFC与平面尸4。夹角为。，

〃叫3x/210

L!

COSa=iTT-i='/

W.同J9+9+19270

3.(2022•山东淄博・统考三模)已知如图，在多面体ABCEF中，AC=BC=2,乙4c8=120,

。为A8的中点，EF//CD,EF=1,8b_L平面AE7L

B

D

A

（I）证明：四边形"DC为矩形；

（2）当三棱锥A-体积最大时，求平面与平面画夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵立

4

【分析】（1）依题意可得CO_LA8且CO=1,从而得到四边形EFDC为平行四边形，由线

面垂直的性质得到8/J_£F,从而得到CD_L3/\即可得到CD_L平面A8尸，从而得到

CD1DF,即可得证；

（2）由（1）可得丫=!5桢^£尸=/利用基本不等式求出三棱锥应户体积最大

36

值，建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值；

（1）

解：因为NAC3=120,AC=BC=2,。为48的中点.

所以8_LA8,且CD=BCsin30o=l,

又因为历=1,所以CD=EF,因为EF//CD,

所以四边形EFOC为平行川边形，

因为4尸_1_平面AM,砂u平面AM,所以BF上EF.所以COJ.B尸，

因为B/7AB=B,所以CQJ■平面QPu平面

所以CDJ.。尸，所以四边形E&X?为矩形.

（2）

解：由（1）可知，）■/平面八平面AM,A/u平面4£7L所以尸，

AB=2>lBC2-CD2=2s/3，

所以三棱锥A-8所的体积

222

V=^SASFEF=^AFBF<-^（AF+BF）=-^AB=lt

当且仅当Ab=8/时等号成立，此时

据（1）,以。为坐标原点，分别以D4,8,D/所在的直线为x,），,z轴建立空间直角坐标系

。种如图所示.

由已知可得下列点的坐标：A(x/l0,0),B(->/3,0,0),尸(0,0,百)，E(0,-l,x/3),

所以A8=(-2>/^0,()),泰=(一6,-1,6),

设平面AfiE的法向量为〃?=(x,y,z),贝叫_,

m-AB=0

-x/5x-y+\/3z=0厂

即｛j-，取y=6，则x=0,z=1，

-2V3x=0

所以平面ABE的一个法向最为机=(0,x/3,1),

因为BF=(7l0,g)是平面4£F的法向量，

设平面AQ■与平面.夹角为，，贝iJcosgnFyj__|=—^77=—，

2-V64

故平面AM与平面4BE夹角的余弦值为它.

4

4.(2022•山东・山东师范大学附中校考模拟预测)如图甲，平面图形A8CDE中，

AE=DE=BD=BC=\,BCA.BD,DE//AB,/EAB=60，沿8。将△8CO折起，使点C

到F的位置，如图乙，使BF工BE,EG=BF.

(1)求证；平面GE8F_L平面A£G；

(2)点M是线段Q上的动点，当AM与平面AEG所成角的正弦值为立时，求平面M48与

7

平面AEG所夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵手

4

【分析】(1)推导出8尸_L平面A3OE，可得出AE_L8F，再证明出AE_L8E,利用线面用

直和面面垂直的判定定理可证得结论成立；

(2)证明出EGJ■平面4BDE,AE工BE,然后以点E为坐标原点，EA、EB、EG所在

直线分别为X、)'、z轴是立空间直角坐标系，设点M(0,尢|),其中OwawG，利用空间

向量法可得出关广2的等式，求出义的值，可求得股的坐标，然后利用空间向量法可求得

平面MAB与平面AEG所夹角的余弦值.

(1)

证明：翻折前ACJ_A7),翻折后，对应地，BFVBD,

又因为BEcBD=B,所以，3厂_!_平面/\4。£,

AEu平面ABZ汨，:.AEJ.BF,

在底面4ACDE中，AE=DE=BD=BC=\,DE//AB,

所以，四边形A8DE为等接梯形，因为/£44=60,.・.44£。=/3。£=120，

因为BD=DE，则N8EO=NOAE=30，:&EB=ZAED-NBED=90,

.•.AE工BE,又因为八E_LBF,BEBF-B,AE_L平面，

因为AEu平面AEG,因此，平面G£BF_L平面AEG.

(2)

解：在RtAABE中，ZAEB=90,NE48=60，AE=l,则BE=AEtan60=6,

因为EG=8尸，则EG〃8/且EG=8/=8C=1,

因为_L平面ABDE,「.EG±平面ABDE,

AEIBE^以点E为坐标原点，EA.EB、EG所在直线分别为“、＞\z轴建立如下图

所示的空间直角坐标系，

则A(1,O,O)、.0,后0)、设点”(0,41),其中04446,

所以，易知平面AEG的•个法向量为2=(0,1.0),

由已知条件可得|cos<AM,m>

因为KG解得义邛，所以，AB=(-l,^,0),AM=-耳1

设平面ARM的法向软为〃=(M)，,z),

n-AB=-x+6y=0

则J3,取），=百，可得“=（3,6,2）,

n-AM=-x+——y+z=0

3.

—m-n二",因此，平面MAA与平面AEG所夹角的余弦值为正

H-H-44

5.(2022・山东聊城•统考三模)已知四边形ABC。为平行四边形,E为C。的中点,4B=4,VA£)E

为等边三角形，将三角形沿4E折起，使点。到达点P的位置.，且平面APE_L平面"C£

(I)求证：APA.BE；

⑵试判断在线段上是否存在点”，使得平面4E"与平面AEP的夹角为45。.若存在，试

确定点尸的位置；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，点F为线段PB的靠近点P的三等分点

【分析】（1）由8E_LAE结合平面AEP_L平面ABCE得出8£_1_平面"£,再由线面垂直的

定义得出A尸_L8£；

（2）以点。为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

（1）

证明：因为四边形A3CQ为平行四边形，且VAOE为等力三角形，

所以N8CE=120。.

又E为CO的中点，JWWCE=ED=DA=CB,即.8CE为等腰三角形，

所以NCE8=30。.

所以N4E8=I8O0—Z4ED-NBEC=90",

即BELAE.

又因为平面■平面ABCE,

产面APEc'F面ABCE=AE,BEu平面ABCE,

所以RE_L平面A尸E,

又APu平面APE,所以BE_LAP.

（2）

解：取AE的中点。，连接。。，由于V4PE为正三角形，则PO_LAE,

又平面4PEJ_平面A8CE,平面APEc平面ABCE=AE,POu平面EAP,

所以尸。_1_平面ABCE,PO=&,BE=26

取AB的中点G,则OG/8E,

由（1）WBELAE,所以OG_LAE,

以点O为原点，分别以QA,OG,。。所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间

直角坐标系O—xyz,

则0(0,0,0),A(1,0,0),B(-l,2>/3,0),P(0,0,V3),E(-1,0,0),

则£4=(2,0,0),EB=(0,26,0),躅=(-1,2石,-6),律=(1。6),

假设存在点F,使平面AEF与平面AEP的夹角为45。,

设P/二408=(—42疯,一疯)，AG[0,1]

则£F=£P+PF=(1,0,^)+(-2,2G/1,-G/1)=(1—%2、石％退一血)，

设平面AE尸的法向量为"i=（x,y,x）,

EF^ni=0(l-2)x4-2x/32y+(>/3->/32)z=0

由，，取z=2九

E4w=2x=0

得〃?=(0,%-1,24)：

由（1）知E8为平面4EP的一个法向量，

「日仆_1/\fh-EB\273|2-1|>/2

J•是，cos45°Ncos(/n,EH)--------=--~~/=—，

\in\\EB\26"5储-2/1+12

解得4=5或工一1（舍去）,

所以存在点F,且当点尸为线段P8的靠近点尸的三等分点时，平面AEF与平面AEP的夹

角为45。.

6.（2022•山东济南・济南市历城第二中学校考模拟预测）如图，在三棱柱人3C-A4a中,

A4,J_底面ABC,=3C=Jl4B=Ji4C,点M为4G的中点.

（1）证明：AG〃平面ABM；

⑵AC上是否存在点M使二面角BS的大小町,若存在，求券的值;若不存在，

请说明理由.

【答案】（I）证明见解析

（2）存在，器=2

【分析】（1）连接AB1与A］交于点0,连接OM,证明OM〃AG，根据线面平行的判定

定理即可得证；

（2）建立空间直角坐标系4一盯z,不妨设43=1,设M0M,0）,0<a<\,利用向量法求

出。，从而可得出的结论.

(1)

解：连接4片与交于点0,则。为A片的中点，连接OM,

因为点M为/G的中点，

所以OM〃AG，

因为OMu平面ABM,AG（Z平面ABM,

所以AG〃平面ABM；

（2）

解：因为BC=J£48=0AC，

所以月加+月。2=4。2,所以A814C,

如图建立空间直角坐标系A一冷？,

设AB=1,则8（1,0,0）,A（0.0,V2）,M6,g,问，

设N（0,〃,0）,（）<«<1,

所以网=（-1,0/，*=（另,0）,AN=（0"6）,

设平面8AM的•个法向量为机=（冷用4）,

m-BAy=-x1+>/2Z1=0

则有《11，取玉=及，得加=（"-&』），

加..=5%+/=。'）

设平面AMN的一个法向量为〃=（盯He）,

则有2~2九，取9=-&得〃=卜&,、5,。），

n-AyN=ay2-\/2z2=0

因为kos（〃?,“卜"_^=J"/川，=《,解得或a=-6（舍）,

1"网^y/574+d23

■=2,

所以AC上存在点N,当二=2时，二面角8-A"-N的大小为

CN4

7.（2022・山东济南・统考模拟预测）如图，正三棱锥Q-ABC中，丛=2,M,N分别为PC.AC

的中点，BM1MN.

⑴求点P到平面ABC的距离：

⑵求平面BMN与ABC夹角的余弦值.

【答案】（1）苧

⑵w

【分析】（1）首先利用垂直关系证明PA_L平面P8C,根据正三棱锥的性质可知?AP氏PC

三条线两两互相垂直，再利用等体积转化求点到平面的距离；

（2）以点P为原点,建立空间直角坐标系，分别求平面8MN和平面A8C的法向量，利用

法向量夹角公式，即可求解二面角的余弦值.

(1)

因为M,N分别为PC,C4的中点，所以MV〃%：

因为8MLMN,所以。4_L8M,

取8c中点为。，连接PD.AO，

因为尸一A8C为正三棱锥.所以8C_LPD,BC1AD,且尸Dc">=。，

PRADu平面PA。，所以6C_Z平面A4。，所以BCIPA,又8MlBC=B，

所以B4_L平面P8C,所以PAP3,PC三条线两两互相垂直，等边三角形A8C的底边长

AB=j22+2?=2&，

匕-「sc=gSgsc.PA=gx1x2x2x2=g,S诋=；x(2拒)x等=

设点尸到平面A8C的距离为d,所以％ABC=-S掺BC•d=3叵d，

r-AtfL3LlAtfk.3

因为％T8C=KdBC，所以d=空,所以点P到平面A6c的距离为拽；

33

(2)

如图，以P为原点，PA,PB,PC所在直线为x,九z轴建立空间直角坐标系，

则P(0,0,0),71(2,0,0),8(020),C(0,0,2),A/(0,0,1),N(l,0,l),

所以MN=(1,0,0),BM=(O,-2,l),

设平1\\\BMN的法向量为q=(xpy\,Z|),

".MN=°解何［X=

,

n}BM=0解(导1_2k+4=0

令)-1，得〃I=(0,1,2),

AB=(-2,2,0),浅=(-2,0.2),

设平面ABC的法向量为n,=(x,,y2,z2)>

…小•48C=0W解,,得|-2x->+2K=0,、

由，14+24=()'令-’得巧成⑷,

八马

设平面BMN与平面A8C的夹角为0,所以cos。=在

"5'

所以平面BMN与平面A8c夹角为余弦值为近

5

c

【点睛】

8.(2022•山东.山东师范大学附中校联考模拟预测)如图，在四棱锥P-ABCD^,底面ABCD

为菱形，=APA.PD,AD工PB,且AO=必=2,线段A。的中点为0.

(2)求二面角。―P8—C的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵空

7

【分析】(I)连接BO,证明MAD1.平面PBO,可得出PO_LA。，再利用中垂线的性质可

证得结论成立；

(2)证明出PO_LO4,然后以点0为坐标原点，OA.。3、OP所在直线分别为4、5、z

轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值.

(1)

证明：连接6。，在菱形A6C。中，NA6C=4，则zJMO=g,且AB=AT>,

JD

所以，△A8。为等边三角形，因为。为8。中点，所以，BOA.AD,

又因为AO_LA8,BOPB=B,所以，AO_L平面尸8。，

POu平面户3。，..POLAD,:.PA=PD.

(2)

解：TAPJ.PD,O为AD的中点，所以,OP=3AO=1,

因为△ABD为等边三角形，BO_LA。，则齐=45r=6,

所以，0产+0B?=PB?,OPLOB,

因为A。_L平面尸OB,以点。为坐标原点，Q4、。8、OP所在直线分别为X、＞\Z轴建

立如下图所示的空间直角坐标系,

则网0,后0）、C（—2,0,石）、0（-1,0,0）、*0,0,1）,

LIIU

设平面PBD的法向量为〃?=（玉,*,zJ,。8=(1,瓜0),DP=(I,0,l),

则:言2M°加=6可得加二（6

设平面PBC的法向量为〃=（士,％，z2），4c=(—2,0,0),3P=((),—石,1),

n-BC=-2xy=0/c

则；,取必=1，可得〃=0/，6),

n-BP=->j3y2+z2=0'

由图可知，二面角。-依-C为锐角，因此，二面角O-P8-C的余弦值为名女.

7

9.（2022•山东泰安•统考模拟预测）如图1,在矩形ABCD中，AB=2,BC=1,E是CD的

中点，将二沿4E折起至△必止的位置，使得平面PAE_L平面ABCE,如图2.

图1

（I）证明：平面PAE1平面P8K.

⑵M为CE的中点，求直线8M与平面以M所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵嚼

【分析】(1)由=平面处£=>BE_L4=平面PAEJ.平面P8E：

(2)先说明PO,OAO产西两垂直，再以。为原点，OAOEOP分别为x»，z轴建立空间直

角坐标系，利用线面角的向量公式可求出结果.

(1)

在矩形48C。中，AB=ZBC=\,E是CD的中点，

==所以4E?+8炉=48"所以跖_LA£，

在折叠后的图形中，也有3_LAE,

因为平面_平面A4C£平面PAE|'1平面A3c£=AE,

BEu平面ABCE且BE,AE,所以〃E_L平面RAE，

因为QAu平面Q4£,所以AE_LQ4,

因为B4J_庄，且PEcBE=E，

所以R4_L平面阳E.

(2)

取AE的中点。，AB的中点产，连PO，OF,

因为P4=PE,所以PO_LAO,因为OF//BE,BE1AE,所以OA_LN,

因为4E_L平面P4E,所以BE_LPO,所以OFJ.PO,

所以尸0,04。尸两两垂直，

以O为原点，OA。尸分别为X，)。轴建立空间直角坐标系，如图：

设平面Q4M的法向量〃=(x,，,z),

/?-PA=—x--z=0

22

,令彳=1,得y=5,z=l,得〃=(1,5,1),

44

V2_15>/2

8730

44

所以直线AM与平面所成角的正弦值为

x/1+25+1-21845

16+16

10.（2022•山东临沂・统考三模）在正方体A8CO-A/CR中，£为弓倒的中点，过44七的

平面截此正方体，得如图所示的多面体，尸为棱C&上的动点.

（1）点”在棱8C上，当时，PH//平面从七片，试确定动点?在棱CG上的位置,

并说明理由:

（2）若A8=2,求点。到平面4"的最大距离.

【答案】（1）尸为CG中点，证明见解析

【分析】（1）取8C中点G,利用线面平行性质定理和面面平行性质定理推出GG〃口，

即可得到点尸的位置.

（2）建立空间直角坐标系，计算平面A所的法向量，然后用公式求解点。到平面AE尸的

最大距离.

（1）

设平面BCC.B,与平面AEB1的交线为/,

因为"/〃平面AE81,平面BCGBQ平面NEB】=/,FHu平面BCC4

所以尸H/〃.

由正方体ABC。-A4GR知，平面石〃平面8。。圈，

又因为平面4。。渡、平面4£旦二4e，平面BCG及平面AEB|=/,

所以AE/〃，所以AE〃四

取8C中点G,连接CG,易知AE〃GG，所以GC"FH,

又因为〃为CG中点，所以F为cq中点.

以点。为原点，DAOCDR分别为X轴，轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则

有D(0,Q0),A(2,Q0),E(l,0,2)1(Q2j)・其中/«0.2]

AE=(-l,0,2)MF=(-2,2,r),DA=(2,0,0)

设平面AEF的法向量为n=(x,y,z)

n-AE=O-x+2z=0

则有《不妨取x=2,

n-AF-0-2x+2y+Zz=0

2s/6

亍，当/=2,即点产与点G重合时，取等.

所以点。到平面AEF的最大距离为.

3

B

x

11.（2022•山东潍坊・统考三模）如图所示，已知平行六面体ABC。-中，侧面

的G底面从皿"3=2,"作幺。弓,a为线段w勺中点.

（I）证明：AQ〃平面C/）；

（2）已知二面角4-G。-C的余弦值为电，求直线4c与平面。出。所成角的正弦值.

7

【答案】（1）见解析

〃、3闹

—

【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可；

（2）先建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解线面角即可.

（1）

连接AC,BD交于点O,连接AG

由平行六面体。—知，且。

ABCA4GRO]C1=^A1C1=^AC=AO,qq〃A

所以四边形为平行四边形，所以a月〃。G

又因为QAa平面。产。，。Gu平面C8。，

所以A«〃平面GB。.

（2）

取AB中点”，

在GA上取点G,使得GD_LDC,

因为/W3=4O=2,ZBAD=y,所以△84。为正三角形，所以O”_LAB，

又因为A5CD,所以OH_LCD

因为平面CDD©"L'『•面ABCD，平面CORGI平面ABCD=CD,

H.O"u平面A5CO,所以平面A8CD.所以

以。为原点，。〃,。。,。(；分别为工轴，丁轴，z轴正方向建立空间直角坐标系.

设。。=/，有

4(6-1,0)制"1,0)1(020)

。'肌-争，争-0(0,0,0)

OG=加,2-奉卓,08二便」,0)

易知平面G的法向量〃=(1,0,0),设平面C8。的法向量/”=(x,y,z),

卜。5=。=吁也]

[mDCl=0tJ

因为二面角5-£。一C的余弦值为立，所以cos<皿〃>=jti=g?

V2

7曲〃|7

所以A(X/5,-2,1),CA=|X/3,-4,1)

所以sigcosvmCAj」"^2+4肉叫_3阿

所以s%-8SV'〃O”丽丁力+16+1?13+3

故直线AC与平面C/。所成角的正弦值为

35

12.(2022.山东济南,统考三模)如图I,正方形八“6中，E,尸分别为边4C,八。的中点，

将四边形EFQC沿直线"'折起，使得平面COFE_L平面ABEE如图2,点M,N分别满足

AM=2MC，FN=NE.

(I)求证：4V工平面BMN；

(2)求平面AEW与平面8WV夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵芈

10

【分析】(1)连接4E交8N于点G,连接MG,则由面面垂直的性质可得CE_L平面4BER

由己知可得MG〃CE,则MG_L平面A3ERMG工AN,AN工NB,再由线面垂直的判定

可得结论，

(2)分别以杼1,FE,广。所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解

即可

(1)

连接4E交8N于点G,连接MG,设48=2，

因为平面8庄_1平面ABEF,

平面COFEc平面A8£V=律，CEc=T;iECDFE,CE工EF,

所以CE_L平面A8EF,

因为点N是E产的中点，NE〃A8,

所以AG=2GE,

又因为AM=2WC,所以MG〃C£,

所以MG_L平面48EF,因为ANu平面ABEF,

所以MG_LAN,

又AB=2,AN=NB=C，所以AN上NB,

因为N8cMG=G,NB,MGu平面ZM/N,

所以AN工平面8MM

(2)

因为平面8庄_L'F面4龙匕平面CD/rEc平面4%户二EADF入EF,

所以OF/平面ASM,

因为4尸u平面人肝尸,所以。尸_LA厂.

所以以，FE,尸。两两垂直，

所以分别以以，FE,五。所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示

所以尸(0,0,0),71(1,0,0).加(；,*|),

所以£4=(1,0,0),FM=

\。DJ

设平面4EM的法向量为〃=(x,y,z),

n-FA=x=0,,,

由IFA/0n1令y=l，得〃=(°，1，-2),

由(1)知平面BMN的法向量为4V=(—1,1,0),

n-AN\Jjo

设平面AQW与平面8MN的夹角为。，所以cos6=-n~=—,

〃AN10

13.(2022•山东•烟台二中校联考模拟预测)如图，平面48CQL平面A/犯点石为半圆弧AB

上异于A,8的点，在矩形48C。中，AB=^BC，设平面48E与平面CQE的交线为/.

⑴证明：/〃平面A8CQ；

⑵当/与半圆弧AB相切时，求二面角A-OE-C的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

（2）4

【分析】（1）根据线面平行的性质定理，可得线线平行，进而可得线面平行.

（2）根据空间坐标法，计算法向量，进而可得二面角大小，或者根据长度关系，可用几何

法找到二面角，进而利用余弦定理求解.

【详解】（1）证明：:四边形A8C。为矩形，・・・A8〃CO,

TABu平面ABE,CZ）（Z平面ABE，

CD〃平面ABE

又COu平面COE,平面A8Ec平面C£>E=/,

••・/〃C。，

••.CQu平面A8CQ,・•・/〃平面ABC。.

（2）（法一）取AMrc的中点分别为O.F,连接OE,OF,则

•・•平面"C。工平面AM、且交线为A8,，。尸1平面AM,

又OEu平面ABE,OF±OE,

当/与半圆弧A8相切时，OE工I,即O£_LA8,

以OE,OB,。尸所在的直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设BC=g，易得A（0,T,0）,C（0,l,V2）,D（0,-l,x/2）,E（LO,O）,

则=/\D=（0,0,V2）,DC=（0,2,0）,

设，〃=（E.y.zJ为平面/ME的•个法向量，

则［3八?即［岛］。，

DEm=0$+x—\j2zi=0

z.=0r/、

・•・1，令&=1,则m=。,TO）,

〔芭=->1

DCn=O

设亢=（孙%/2）为平面DCE的一个法向量，则，

DEn=0

2y=0fy=0（厂\

即《2,2，令马=-1,则"=_&,o,7）,

V

x2+y2-\l2z2=0[X2=>J2Z2

./、〃八〃-72X

・•COS<772,72）=7——7=-j=--j==一/一5—,

IHHIV2-x/33

易知二面角A-O6C的平面角大小即为〈科公，

••・二面角4-QE-C的余弦值为一走.

3

（法二）当/与半圆弧A/3相切时，AE上EB，A£=所，，A8=V^AE，

•・•平面A3CZ）工平面ABE其交线为A3，D4u平面43CD,

I.D4_L平面/WE,又AEu平面ABE,ADA1AE,

同理C8_L8E,

不妨设6c=0，则6E=AE=AO=0，AB=DC=2,

・•・由勾股定理得DE=CE=2,

取DE的中点凡连接4尸，FC,AC,

贝”DE上AF,DEICF.

，NAAC是二面角A-QE-C的平面角，

易知A/7=KZ)E=1,CF=DE=>/3»\IAC=\lAB2+BC2=46»

工在△AFC中，有cos4尸C■何=-四，

2xlxV33

，二面角A-DE-C的余弦值为-立.

3

14.（2022.山东滨州.山东省北镇中学校考模拟预测）如图所示，在直三棱柱43C

A4G，AA=6,△ABC是边长为4的等边三角形，。、E、尸分别为棱B£、AA,^的

中点，点P在棱8c上，且BC=4CP

G

(I)证明：A尸〃平面。CE；

(2)求点B到平面APF的距离.

【答案】(1)证明见解析

⑵竽

【分析】(1)取8C的中点。，取C。的中点Q,利用中位线可以证得四边形AEQP为平行

四边形，从而得到用2AP,再利用线面平行的判定定理即可；

(2)利用等体积法求解点B到平面4尸尸的距离即可.

【详解】(1)如图，取的中点。，连接。。，取CO的中点Q,连接PQ,EQ.

VBC=4CPf:.CP=PO.：.PQHDO,PQ=^DO.

VAEDO,AE=-DO,PQAE,PQ=AE

2

・••四边形4EQ尸为平行四边形，・・・£QIAP

•・・EQu平面。CE,平面。C£

・•・AP〃平面OCE.

(2)V.._.=-x-x3x4xsin60x3=3>73

32

AP2=16+9-2x12x1=13AP=内.易得P少=3右，AF=5

在△出尸中，由余弦定理cos/PA尸=223父=名叵.・.sm/pAb=上^

2x5x7131313

:・S=-x5xV13x-^^=—

2132

设点8到平面A尸尸的距离为d

^F-ABP=VB-"F即3J5=—Xt/XS.APF，：•d=~~~'

J3

G

15.(2022•山东济宁・统考三模)如图1,在平行四边形A8CO中，A4=2,40=6,

NBAD=30"，以对角线B。为折痕把△A8O折起，使点A到达图2所示点。的位置，且

PC=@.

B

图1图2

(1)求证：PD上BC；

(2)若点E在线段PC上，且二面角E-A力-C的大小为45,求三棱锥E-8CO的体积.

【答案】(1)证明见解析

【分析】(I)利用余弦定理结合勾股定理可证得结合平形四边形的几何性质可

得出8C_L8O,利用勾股定理可得出PD_LCO,利用线面垂直的判定和定义“J'证得结论成

立；

(2)以点4为坐标原点，BC、BD、OP的方向分别为彳、丁、z轴的正方向建立空间直角

坐标系，'设PE=2PC，其中0W2W1,利用空间向量法可得出关于力的等式，解出义的值，

确定点E的位置，然后利用锥体的体积公式可求得结果.

(1)

证明：在△AB。中，由余弦定理可得8£>2=A82+4)2-248・4Z)COSN84。

=4+3-2X2XGX等=1,

所以，AD2+BD2=AB2»:.AD±BD,

又因为四边形ABC。为平行四边形，所以，BCA.BD,

在，PCD中，PC=y/l,。。=6，8=2,:.PD2+CD2=PC2则尸£>_LC£>,

因为PD上BD,8OcCQ=O,.•.?£>_L平面BCD,

3Cu平面8CQ,:.PD±BC.

(2)

解：因为PD1平面AC。，以点A为坐标原点，BC、BD、的方向分别为X、

丁、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

则8(0,0,0)、C(75,O,O),£)(0,1,0)、40,1,6),

设PE=%PC=%(G,T,-G)=(G%-4-&),其中0W4W1,

BE=8P+PE=e,1,G)+(包,一尢一向)=(G/U—4档一6%),

设平面BDE的法向晟为〃;=(八,)，,z),Z?D=(0,1,0).

[m-BD=y=0

则|m.BE=ar+(lT)y+(G-网z=0'取"也可得加=(”1，°，孙

易知平面BCD的一个法向量为〃=(0,0,1),

।।m-nDI&因为0W/IW1,解得％=；,

由已知可得cos<阳,/2>=LYJ=[J=—

।|叶MV2A2-22+l2

所以，石为PC的中点，因此，Vf_BCD=^_^=lxl5ABCDPD=7x^xlxV3xx/3=l

223624

16.(2022•山东东营・胜利一中校考模拟预测)如图，A8,C。分别是圆台上、下底面的直径,

且ABCD,点E是下底面圆周上一点，AB=2母，圆台的高为JR.

（1）证明：不存在点E使平面平面AOE；

（2）若OE=CE=4,求二面角的余注值.

【答案】（1）证明见解析；

3屈

⑵一

【分析】（1）引入辅助线先假设若题干成立，借此证明出AEL底面，显然是不

对的；（2）建立坐标系，利用空间向量求解.

【详解】（1）假设存在这样的皮E使平面4EC_L平面4QE，C。是底面直径，故ECLDE,

作O〃_LAE,乖足为，，由卜平血AEC_L平面AOE,平面AEC1平面AOE=AE，DHu

平面AOE,根据面面垂直的性质定理，O〃_L平面/止C，又ECu平面田故DHtEC,

乂DH?DED,DH,DE\平面AO£,故EC1平面AOE，故ECJ_AE,同理可证£D_LAE，

又DEcCE=E,DE,CEu平面CDE于是4E_L平面EC。，又圆台上下底面圆心连线垂直于

底面，但显然上下底的圆心连线不和4£平行，于是假设矛盾，故不存在点E使平面AECJ.

平面AOE.

（2）过。作AF_1_C。，垂足为尸，下以尸为原点，尸反尸力为MZ釉，过尸垂直于5。且落

在底面的射线为轴，建立空间直角坐标系.列出各点坐标

。（3忘,0,0）,A（2忘,0,阿,E（&2叵0）,8（0,0,阿

AF=（->/2,2>/2,-V14）,