专题26空间向量与立体几何知识点与综合提升题-寒假作业26（解析版）-2020-2021学年高二数学（理）寒假复习巩固练习（人教A版）

专题26人教(A)版空间向量与立体几何知识点与综合提升题

一寒假作业26(解析版)

1、直线的方向向量和平面的法向量

⑴.直线的方向向量：若A、B是直线/上的任意两点，则AB为直线/的一个方向向

量；与A5平行的任意非零向量也是直线/的方向向量.

⑵.平面的法向量：若向量〃所在直线垂直于平面则称这个向量垂直于平面

记作〃如果〃那么向量〃叫做平面a的法向量.

⑶.平面的法向量的求法'待定系数法)：

①建立适当的坐标系.

②设平面a的法向量为九=(x,y,z).

③求出平面内两个不共线向量的坐标々=(4,4,6),Z?=(4，Z?2,4).

④根据法向量定义建立方程组《

〃•/?=()

⑤解方程组，取其中一组解，即得平面a的法向量.

2、用向量方法判定空间中的平行关系

⑴线线平行、设直线4,4的方向向量分别是a、〃，则要证明4〃4,只需证明。〃人,

即a=kb{keR).

⑵线面平行，设直线/的方向向量是a,平面a的法向量是〃，则要证明/〃a,只需

证明a_L〃，即a-M=O.

⑶面面平行,若平面a的法向量为〃，平面£的法向量为v,要证a〃夕，只需证〃〃

v,即证〃=

3、用向量方法判定空间的垂直关系

⑴线线垂直。设直线4的方向向量分别是。、匕，则要证明4，4，只需证明。，匕，

即a•b=0.

⑵线面垂直

①(法一)设直线/的方向向量是a,平面a的法向量是“，则要证明只需

证明。〃〃，即。二4〃.

②（法二）设直线/的方向向量是。，平面a内的两个相交向量分别为加、〃，若

a-m=0…

，则/1a.

〃•〃=0

⑶面面垂宜。若平面a的法向量为〃，平面夕的法向量为u,要证。，尸，只需证

H±V,即证43=0.

4、利用向量求空间角

⑴求异面直线所成的角

已知a”为两异面直线，A,C与B,D分别是出人上的任意两点，所成的角为

ACBD

贝|Jcos0=-----------

ACn\\BD

⑵求直线和平面所成的角

求法：设直线/的方向向量为。，平面a的法向量为〃，直线与平面所成的角为。，a

与“的夹角为0，则。为0的余角或。的补角

的余角.即有：sin6=|cos（f\

⑶求二面角

二面角的平面角是指在二面角。-/-6的棱上任取一点0,分别在两个半平面内

求法：设二面角的两个半平面的法向量分别为〃八〃，再设加、〃的夹角为

中,二面角。一/一万的平面角为。，则二面角。为加、〃的夹角。或其补角4一

根据具体图形确定。是锐角或是钝角：

试卷第2页，总25页

m•nm-n

如果。是锐角，则cos，=|cose|=—jj—,即6=arccos—厂；

mnnv\n

(

m・nm-n

如果。是钝角，则cose=-|cos*|=---n—即。=arccos---n—

irn\nm\\n

5、利用法向量求空间距离

点Q到直线/距离

若Q为直线/外的一点，P在直线/上，〃为直线/的方向向量，b=PQ,则点Q到直

=^/\a\\b\y-(a-b)2

线/距离为h

⑵点A到平面a的距离

若点P为平面a外一点，点M为平面a内任一点，平面a的法向量为〃，则P到平

面a的距离就等于MP在法向量〃方向上的投影的绝对值.

即d=|MPj|cos^n,MP^=|

⑷两平行平面名，之间的距离

利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即

，,阳

⑸异面直线间的距离

设向量〃与两异面直线a,b都垂直，M&a,P^b,则两异面直线a,b间的距离d就是

\n-MP\

MP在向量〃方向上投影的绝对值。即d=l।।L

\n\

一、单选题

1.已知向量。=（一3,2,5）,A=（l,x,—1）且则x的值为（）

A.4B.1C.3D.2

【答案】A

【分析】

代入空间向量垂直的坐标表示，直接求》的值.

【详解】

a±b>a-A>=(-3)xl+2x+5x(-l)=2x-8=0,解得：x=4.

故选：A.

【点睛】

本题考查向量数量积的坐标表示，意在考查基本公式的应用，属于简单题型.

UUU

2.如图，直三棱柱ABC-AB|G中，若C4=a，CB=b，CC\=c.则等于

()

A.a+b-cB.q-b+cC.b-a-cD.b-a+c

【答案】C

【分析】

根据向量的加减法运算，计算结果.

【详解】

AtB=AB-AA]=(CB-CA^-AAi,

A4]=CC)=c,••A^B—b—a—c.

故选：C.

【点睛】

本题考查空间向量的运算，属于简单题型.

3.已知向量4=(1,-3,2),&=(-2,1,1),则|2a+b|=()

A.50B.14C.572D.V14

【答案】C

【分析】

根据空间向量运算的坐标表示公式、空间向量模的坐标表示公式进行求解即可.

【详解】

因为向量。=(1,-3,2),〃

试卷第4页，总25页

所以2a+6=(0,—5,5);.Ja+〃卜7o2+(-5)2+52=5&

故选：C

【点睛】

本题考查了空间向量数乘运算、加法运算、模的坐标表示公式，考查/数学运算能力.

4.在四面体045。中，空间的一点M满足OM=LQ4+」OB+；IOC,若

46

共面，则4=()

1157

A.-B.-C.—D.—

231212

【答案】D

【分析】

根据四点(M,AB,C)共面的向量表示OM=xOA+yOB+zOC{x+y+z=1),可得

结果.

【详解】

由共面知，

11一「

4612

故选：D

【点睛】

本题主要考查空间中四点共面的向量表示，属基础题.

5.已知向量”=(0,2,1)"=(-1』,〃。，若凡6分别是平面a,4的法向量，且a_L£,

贝!I"?=()

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】C

【分析】

根据题意可得再利用空间向量数量积的坐标表示，使数量积等于零即可求解.

【详解】

由题可知，a_Lb，则。2=2+，〃=0，即加=一2.

故选：C

【点睛】

本题考查了空间向量数量积的坐标表示以及向量垂直数量积等于零，属于基础题.

6.设直线/的方向向量为〃z=(2,平面a的一个法向量为〃=(4,-2,-2),若

直线/〃平面a,则实数z的值为()

A.-5B.5C.-1D.1

【答案】B

【分析】

根据线面平行的向量关系，可得加,〃，根据〃?〃=0,可得结果.

【详解】

由直线///平面a，知向量〃?与〃垂直,

则有2x4+(—1)x(—2)-2z=0,

解得z=5.

故选：B

【点睛】

本题主要考查线面平行的向量表示，属基础题.

7.在空间直角坐标系O-xzy中，已知点A(3,-1,0),向量A8=(4,10,—6),则线段

A8的中点坐标为()

A.(1,-6,3)B.(—1,6,—3)C.(5,4,—3)D.(2,5,—3)

【答案】C

【分析】

先根据已知条件求解出8点坐标，然后根据中点坐标公式求解出AB的中点坐标.

【详解】

因为A(3,—l,0),AB=(4,10,-6),所以B(7,9,-6),

(3+7—1+9—6+0、z\

所以AB的中点为(一，-y-，一J，即(5,4,—3),

故选：C.

8.在三棱柱ABC—44a中，侧棱垂直于底面，ABLBC,AB=BC,AC=2也，

丛=亚，点E为AG的中点，点厂在的延长线上且则异面直线

4

8E与所成的角为()

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E

A.90°B.60°C.45°D.30°

【答案】B

【分析】

以BC,BA,54分别为x,Xz轴建立空间直角坐标系，再写出向量BE=（1,1,、历），

CF=r05,由向量法可求出答案.

【详解】

在三棱柱ABC-A4G中，侧棱垂直于底面，AB1BC

故以BC,BA,BB1分别为羽y,z轴建立空间直角坐标系.

由AB=BC，AC=2A/2>A4,=y/2.则AB=BC=2

所以A（O,2,0），G（2,O,啦）£（1,1,^）

由CE=，BC,则

4

CF=-（2,0,0）5，。,。

C,F=C,C+CF=（0,0,-V2）+^,0,0

,0,

_3

-2_1

所以cos（BE,CF）,___

32

叫时"x

所以向量BE,C尸夹角为120°

由异面直线BE与。尸所成的角的范围是［O，5

所以异面直线BE与6尸所成的角为60°

故选：B

【点睛】

方法点睛：向量法求解空间几何问题的步骤：建、设、求、算、取

1、建：建立空间直角坐标系，以三条互相垂直的直线的交点为原点，没有三条垂线时

需做辅助线；建立右手直角坐标系，尽可能的使得较多的关键点落在坐标轴或坐标平面

内.

2,设：设出所需的点的坐标，得出所需的向量坐标.

3、求：求出所需平面的法向量

4、算：运用向量的数量积运算，验证平行、垂直，利用线面角公式求线面角，或求出

两个平面的法向量的夹角的余弦值

5、取：根据题意，或二面角的范围，得出答案.

9.已知向量a=(1,1,()),/?=(-1,(),2),且ka+b与2a—b互相平行,则k的值是()

457

A.—2B.—C.—D.一

335

【答案】A

【分析】

求得履+人与2。-。的坐标，根据向量平行，得到方程组，即可求得A的值.

【详解】

解：67=(1,1,0),"=(_1,0,2),

ka+b=k(y,1,0)4-(-1,0,2)=(k-l,k，2),

2a-b=2(\,1,0)-(-1,0,2)=(3,2,—2),

又ka+b与2a—b互相平行,

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%—1=34

所以存在；I,使得姐+b=2（2a—6）,即（攵一1,£2）=4022），所以卜=24,

2=-22

A=-1

解得匕C

k=-2

故选：A.

10.如图，平行六面体ABC。-4片GA，以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两

两夹角为60°,则AG的长为（）

A.1B.6C.V6D.3

【答案】C

【分析】

利用空间向量加法的几何意义，结合空间向量数量积的定义，直接求解即可.

【详解】

ACX=AB+BC+CCI>

222

ACt=(AB+3C+CG)2=AB+BC~+CC}~+2ABBC+2BCCQ+2ABCC,>

因此有：

AC,2=1+1+1+2|Afi|■|BC|-cos60°+8cHec11-cos60°+2kBi.|CGI.cos60°=6,所以

AG的长指.

故选：c.

11.在四棱锥P—ABCD中，P£>_L平面A8C。，四边形A8C。为正方形，AB=2,

E为P8的中点，若cos〈DP,AE）=^,则（）

p

匕

AB

3

A.1B.-C.3D.2

2

【答案】D

【分析】

由已知以。为原点建立空间直角坐标系，设P(O,O,a),求得。P,AE的坐标，由数量积

公式可得答案.

【详解】

由已知。尸、DA.0c两两垂直，所以以。为原点，建立如图所示的坐标系，

设PD=a(a>0),则2(0,0,〃)，4(2,0,0),

连接8。取中点尸，连接EE，所以EF7/PD，EE_L平面ABCD，

auma

所以41,1，5),所以0P=(O,O,a),A£=(-l,l,-),

9

CT

DPAEy_V3

由COS(DP,AE)=3,得cos(OP,AE)

一必•网:扃彳一3’

解得a=2.

故选：D.

X/AB

【点睛】

本题考查了空间向量的数量积公式的应用，关键点是建立空间直角坐标系，由数量积公

式求得。，考查了学生的空间想象力.

12.如图，在正方体ABCZ)-AB|C|D1中,,点民F分别是棱aA，A。上的动点.给

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出下面四个命题

①直线族与直线AC平行；

②若直线AF与直线CE共面，则直线AE与直线CE相交;

③直线EF到平面ABCD的距离为定值；

TT

④直线AF与直线CE所成角的最大值是y.

其中，真命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】

利用特殊位置可判断①②的正误，可证明呼〃平面ABCD,据此可判断③的正误，利

用向量的数量积可求4ECE夹角的余弦值，从而可求其最大值.

【详解】

如图1,当尸与A重合时，E与。重合时，"线所与直线AC是异面直线，故①错

误.

/曲/?1（£）

如图2,当F4A重合时，E厉C,重合时，四边形ACEF为矩形,

因为平面A8C£>〃平面44GA，而防U平面A4G。，故E尸〃平面ABC。，

所以直线EF到平面ABC。的距离为定值（正方体的棱长），故③正确.

建立如图3所示的空间直角坐标系,

设正方体的棱长为1,则尸（0,。的）,E仅,1,1）,其中OWaWLOVTWl,

而C（l,l,0）,故4尸=（0,a,l）,CE=（匕一1,0,1）,

设直线AF与直线CE所成角为0,

milcos0—Icos（A.F,CE）|=~~—1----------2-7=x―-=——

则।'八百LgfTI夜夜2，

若直线与直线CE不平行，则,故，

故直线AP与直线CE所成角的最大值是，所以④正确.

故选：B.

【点睛】

方法点睛：空间中与直线与直线的位置关系有关的判断，应该让几何对象动态变化，在

变化过程中确定位置关系，而角的最值判断，则需构建平面角，也可以通过直线的方向

试卷第12页，总25页

向量的夹角来处理.

二、填空题

13.已知向量a=(l,1,1),%=(-1,0,2),且版+。与2a-互相垂直，则々=.

3

【答案】-

【分析】

利用向量垂宜数量积等于零即可求解.

【详解】

由向量a=(l/,l)，力=(—1,0,2),,

则ka+b=[k—l,k,k+2),2a—Z?=(3,2,0)

因为h/+b与2。一人互.相垂直,

所以+(2a-/?)=0,即3(左一1)+2攵+(%+2)x0=0,

3

解得女=--

5

3

故答案为：—

14.在空间直角坐标系中，A(l,l,l)、8(2,3,4),平面BCD的一个法向量是(-1,2,1),

则点4到平面BCD的距离为.

【答案】V6

【分析】

\n-AB\

利用点到平面的距离公式d=(〃为平面38的一个法向量)可求得点A到平

H

面BCD的距离.

【详解】

由己知条件可得A3=(1,2,3),平面BCO的一个法向量为n=(—1,2,1),

\n-AB\|-lxl+22+3xl|

所以，点A到平面BCD的距离为d=L-L=I,।=V6.

rHrJi)+22+F

因此，点A到平面5co的距离为".

故答案为：＞/6.

【点睛】

方法点睛：求点A到平面SCO的距离，方法如下：

（1）等体积法：先计算出四面体A3CD的体积，然后计算出△BCD的面积，利用锥

体的体积公式可计算出点A到平面的距离：

（2）空间向量法：先计算出平面BCD的一个法向量〃的坐标，进而可得出点A到平

\AB-rA

面BCD的距离为d=.

15.四棱锥。一ABC。中，底面A5CD,底面A6C。是正方形，且。。=1,4?=3,

G是ABC的重心，则PG与面R18所成角。的正弦值为.

【答案】叵

30

【分析】

建立空间直角坐标系，求出平面以8的一个法向量加及PG，由

।।\m-PG\

sin0=1cos<m,PG>1=Ip4-r-Mi——y即可得解.

【详解】

因为P£>J_底面A8CD,底面A8CO是正方形，

所以P£>,D4,DC两两垂直，以。为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系,

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则D（0,0,0）,P（O,O,1）,A（3,0,0）,3（3,3,0）,C（0,3,0）,则重心G（2,2,0）,

因而PG=（2,2,—1）,^4=（3,0,-1）,PS=（3,3,-1）,

设平面PAB的一个法向量为m=(x,y,z)，

m-PA=3x-z=Q

则〈令X=1则772=（1,0,3）,

m•PB=3x+3y-z=0

II"PG|ITio

则sin0=cos<m,PG>=T-T-I——T=-7=——=---.

1|硝PG]V10X330

故答案为：叵.

30

16.如图所示，正方体A3CO-A4GA的棱长为4,MN是它内切球的一条弦(我们把

球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度

最大时，的PM-PN取值围是.

【答案】[0,8]

【分析】

首先确定弦MV过球心。，再通过建立空间直角坐标系，利用坐标法得到

PM-PN=(2—x『+(2-一z(4-z),再通过构造几何意义求PM-PN的最大值

和最小值.

【详解】

当弦MN的长度最大时，弦过球心。，

如图，建立空间直角坐标系，不妨设是上下底面的中心,

则M(2,2,4),N(2,2,0),

尸(x,y,z),PM^(2-x,2-y,4~z),PN^(2-x,2-y,-z),

则PM.PN=(2_xy+(2_y)2_z(4_z)

=(X-2)2+(J-2)2+(z-2)2-4,

而(》—2)2+(丁—2)2+(2—2)2表示点2(％乂2)和定点(2,2,2)距离的平方，很显然

正方体的顶点到定点(2,2,2)距离的平方最大，最大值是+42+4?)=12正方

体面的中心到定点的距离的平方最小，最小值是4,所以PAZ.PN的最小值是

4—4=0,最大值是12—4=8.

故答案为：[0,8]

【点睛】

关键点点睛：本题第•个关键点是确定过球心。，利用对称性设"(2,2,4),

N(2,2,0),第二个关键点是构造两点间距离的几何意义

PM-PN=(无一2『+(y—2『+(z—2)2—4求最大值和最小值.

三、解答题

17.如图，直四棱柱的底面是菱形，AAi=4,AB=2,ZBAD=M)°,

E,M,N分别是BC,BBi,40的中点.

(1)证明：A/N〃平面GOE；

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(2)求AM与平面AMD所成角的正弦值.

【答案】(1)见解析(2)叵

5

【分析】

要证线面平行，先证线线平行

建系，利用法向量求解。

【详解】

(1)连接ME,BC

VM,E分别为&B,8c的中点

：.ME=-B.C

21

又,：AB/AB=CD

•••4QC物是平行四边形

A}D=B,C

"ND=ME

.•.NC£M是平行四边形

.'.NM//DE

又MWZ平面CQE

〃平面C\DE

(2)由题意得DE与BC垂直，所以DE与AD垂直：以。为原点，DA,DE,三边分别

为羽y,z轴，建立空间坐标系O-xyz

则A(2,0,0),4(2,0,4),M(1,6，2)

设平面4M。的法向量为〃=(x,y,z)

(nD\=0

则彳1

n-DM-0

2x+4z=0

x+6y+2z=0

解得〃=(2,0,—1)

又AM=(一1,百,2)

V10

.'.AM与平面所成角的正弦值

丁

【点睛】

要证线面平行，可证线线平行或面面平行。

求线面所成角得正弦值，可用几何法做出线面角，再求正弦值；或者建立空间直角坐标

系，利用法向量求解。

18.三棱柱ABC-A向G中，M,N分别是48,86上的点，且8M=24M,CiN=

28iN.设AB=a,AC-b,AA^=c.

(1)试用a,A,c表示向量MN；

(2)若NR4C=90。，ZBAAi=ZCAAi=60°,AB=AC=AAi=l,求MN的长.

【答案】(1)—ad—bH—c；(2).

3333

【分析】

(1)根据向量线性运算的几何含义，由几何图形知MN=M4,+A4+4N,确定

MA^,Bt,BfN与AB,AC,AAt的关系，即可用a,b,c表示向量MN；

(2)由(I)知A/N=；a+gb+；c,结合已知可求|a+Z?+c|,进而得到|MN|即

为MN的长.

【详解】

(1)由题图知MN—MA^+44+BtN——BA^+AB+—B^C^,而BA^=—Afi,

B©=AG-44，AG—AC,44=AB,

MN=—(c-a)-^-a+—(b-a)=—a+—b+—c,

、222

(2)由题设条件知，(Q+0+C)2=Q+b+。+2ab+2ac+2b-c=5,

JIa+。+c|=逐，

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由(1)知|MN|=；|a+/?+c|=『，

19.已知A(0,2,3),B(-2,l,6),C(l,-1,5).

(1)求平面ABC的一个法向量；

(2)证明:向量a=(3,T,l)与平面ABC平行.

【答案】(1)平面ABC的一个法向量为〃=(1』,1)(答案不唯一)：(2)证明见解析.

【分析】

(1)先由题中条件，求出AB与AC的坐标，设「=(x,y,z)为平面A8C的一个法向

量，根据向量的垂直关系，列出方程求解，利用赋值法，即可得出结果；

(2)设存在实数加，"，使a=〃2AB旬4C，由向量线性运算的坐标表示，求出山，

n,即可证明结论成立.

【详解】

⑴因为A(0,2,3),5(-2,1,6),C(l,-1,5),

所以AB=(—2,—1,3),AC=(1,-3,2),

设n=(x,y,z)为平面ABC的一个法向量，

n-AB=-2x-y+3z=0

则有〈,所以x=y=z,不妨令x=i,

n-AC=x-3y+2z=0

则〃=(1,1,1),

所以平面4BC的一个法向量为

(2)若存在实数”,〃,使a=加仔B+nAC>

即(3,-4,1)=制一2,-1,3)+n(l,-3,2),

-2m+n=3=__

m7

则《一加一3〃二-4,解得'u,

3m+2〃=1^=—

所以a=—+即向量a=(3,T,l)与平面ABC平行.

【点睛】

方法点睛：

求平面法向量的步骤:

(1)建立空间直角坐标系，设平面的•个法向量为E=(x,y,z)：

(2)找出(求出)平面内两个不共线的向量的坐标a=(44,q),b=(a2,b2,c2)；

(3)根据法向量的定义建立关于％)'，z的方程组；

(4)解方程组，取其中的一组解，即可得出平面的一个法向量.

7T

20.如图，四棱锥P—A8CD中，24，底面4?。£),AD//BC,ZABC=~,

2

AB=BC=-AD=2,且PA=a,E,F分别为PC,的中点.

2

(1)若a=2,求证：依，平面ADE尸；

(2)若四棱锥P—A3C。的体积为2,求二面角A—P。—C的余弦值.

【答案】(1)详见解析；(2)旦,

6

【分析】

(1)依据线面垂直的判定定理，可证明总上”和依，A£＞：(2)首先求刑的长

度，再建立空间直角坐标系，求平面PAD和平面PCD的法向量，再求二面角的余弦

值

【详解】

(1)当。=2R寸，AP=A8，点F是BP的中点，

.-.AFA.BP，

又转，平面川。。，..?!/)，/1/5，ftAD±AB.APAB=A,

..AD，平面Q4B，6Pu平面/VLB，..ADLBP，

又A/7AD=A,

.•.BP_L平面AD砂；

(2)VfBen=§XSABCDXAP=§X/X(2+4)x2xAP=2,

解得：AP=1，

试卷第20页，总25页

如图，以A为原点，AB,AD,AP,为x，Kz轴的正方向，建立空间宜角坐标系,

A(0,0,0),P(O,O,1),C(2,2,0),£>(0,4,0),PC=(2,2,-1),PD=(0,4,-l),

设平面PCD的法向量加=(x,y,z),

,\m-PC=012x+2y-z=0,

则〈，即4,八，令y=1,则x=1,z=4,

m-PD=0[4y-z=0

.,.m=(1,1,4),

显然AB，平面尸AD，设平面PAD的法向量n=(1,0,0),

m-n1<2

cos<m,n>=：~~|7—r=；■==-----,

|列|〃|Vl+l+426

二面角A-尸。一。是锐二面角，

二面角A-PD-C的余弦值是走.

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21.在四棱锥P—ABC。中，24_L平面ABCO,底面四边形A8CQ为直角梯形，

AD//BC,ADYAB,PA=AD=2,AB=BC=\,Q为PD中点.

(1)求证：PD±BQ.

（2）求异面直线PC与BQ所成角的余弦值.

【答案】（1）详见解析：（2）也.

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【分析】

（1）以A为原点，分别以AB，AD，A尸为无轴，V轴，z轴，建立空间直角坐标

系，计算得刊＞30=0,即可证明结论；

（2）先求出产。，再利用向量夹角公式即可得出.

【详解】

（1）由题意在四棱锥P—ABCD中，K4_L平面A8CD，底面四边形45CD为直角

梯形，AD±AB^

以A为原点，分别以AB，AD-AP为x轴，y轴，z轴，建立空