12空间向量基本定理-2022-2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性）

1.2空间向量基本定理备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：空间向量基底的概念；用空间基底表示向量；空间向量基本定理的应用课堂知识小结考点巩固提升知识归纳空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使.若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使.考点讲解考点讲解考点1：空间向量基底的概念例1．已知是空间一个基底，，，一定可以与向量，构成空间另一个基底的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意和空间向量的共面定理，结合向量（）+（）＝2，得与是共面向量，同理与是共面向量，所以与不能与、构成空间的一个基底；又与和不共面，所以与、构成空间的一个基底．故选：C．【方法技巧】1.根据空间向量共面的判定定理及空间向量基底的概念判断2.根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，即可判断出结论．【变式训练】【变式1】．在空间四点O，A，B，C中，若是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（

）A．O，A，B，C四点不共线B．O，A，B，C四点共面，但不共线C．O，A，B，C四点不共面D．O，A，B，C四点中任意三点不共线【答案】B【解析】【分析】根据基底的含义，非零向量不在同一平面内，即O，A，B，C四点不共面，即可判断【详解】因为为基底，所以非零向量不在同一平面内，即O，A，B，C四点不共面，所以A、C、D选项说法正确，B错误．故选：B【变式2】（多选）．已知，，是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（

）A．若，，则B．若，，两两共面，则，，共面C．对于空间的任意一个向量，总存在实数，，，使得D．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底【答案】AD【解析】【详解】根据空间向量共面的判定定理及空间向量基底的概念逐项判断即可.【解答】解：，，是空间的三个单位向量，由，，则，故A正确；，，两两共面，但是，，不一定共面，，，可能两两垂直，故B错误；由空间向量基本定理，可知只有当，，不共面，才能作为基底，才能得到，故C错误；若是空间的一组基底，则，，不共面，可知也不共面，所以也是空间的一组基底，故D正确．故选：AD.【变式3】．已知空间四边形各边及对角线长都相等，分别为的中点，求与夹角余弦值．【答案】【解析】【分析】设，且各长度均为，根据空间向量的基本定理，得到，，根据数量积的公式和夹角公式，可得答案.【详解】设，且各长度均为，则，因为，，且，，所以，所以.与所成角的余弦值为.考点2：用空间基底表示向量例2．三棱柱中，为棱的中点，若，则（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：．故选：B【方法技巧】1.空间向量的基底2.由空间向量的线性运算求解．【变式训练】【变式1】．如图所示，在平行六面体中是的中点，点是上的点，且，用表示向量的结果是______.【答案】【解析】【分析】由空间向量的线性运算求解．【详解】是的中点，．故答案为：．【变式2】．已知四棱柱的底面是正方形，底面边长和侧棱长均为2，，则对角线的长为________．【答案】【解析】【分析】由向量的方法计算，将表示成，平方即可.【详解】由题可知四棱柱为平行六面体，，所以，所以.故答案为：.【变式3】．如图所示，在平行六面体中，，分别在和上，且，．(1)证明：、、、四点共面．(2)若，求．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）在上取一点，使得，连接、，根据平行六面体的性质、，即可得到，即可得证；（2）结合图形，根据空间向量线性运算法则计算可得.（1）证明：在上取一点，使得，连接、，在平行六面体中，，，，且，且，所以四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，所以，且，又且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，所以，、、、四点共面．（2）解：因为，即，，，．考点3：空间向量基本定理的应用例3．已知向量可作为空间的一组基底，若，且在基底下满足，则__．【答案】2【解析】【分析】根据题意利用向量相等列出方程组求出的值．【详解】因为，且，所以，解得故答案为：2．【方法技巧】1.利用基底概念.2.结合各种计算，求出所需结果【变式训练】【变式1】．如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】利用向量加法减法的几何意义并依据空间向量基本定理去求向量【详解】连接AG并延长交BC于N，连接ON，由G是的重心，可得，则则故选：D【变式2】．已知O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则一定有（

）A．，，共线 B．O，A，B，C中至少有三点共线C．与共线 D．O，A，B，C四点共面【答案】D【解析】【分析】根据空间向量基本定理即可判断【详解】由于向量，，不能构成空间的一个基底知，，共面，所以O，A，B，C四点共面故选：D【变式3】．（多选）如图，在平行六面体中，，点分别是棱的中点，则下列说法中正确的有（

）A．B．向量共面C．D．若，则该平行六面体的高为【答案】ACD【解析】【分析】选定空间的一个基底，表示出相关向量，计算数量积判断A；利用共面向量定理判断B；求出正四面体的高判断D作答.【详解】在平行六面体中，令，不妨令，依题意，，，因点M，N分别是棱的中点，则，，则有，A正确；，若向量共面，则存在唯一实数对使得，即，而不共面，则有，显然不成立，B不正确；由,则，故C正确.连接，依题意，，即四面体是正四面体，因此，平行六面体的高等于点到平面的距离，即正四面体的高h，由知，由选项A知，，则平面，是平面的一个法向量，，，则，所以平行六面体的高为，D正确.故选：ACD知识小结知识小结空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使.若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使.巩固提升巩固提升一、单选题1．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设＝，＝，＝，则＝（）A．++ B．+C．++ D．+【答案】B【解析】【分析】利用向量三角形法则、平行四边形法则、向量共线定理即可得出．【详解】如图所示，∵＝+，又＝，＝－，＝，∴＝+，故选：B．2．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形．若，且，则的长为（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】【分析】利用基底向量可求的长.【详解】，故，故，故选：A3．已知三棱锥O—ABC，点M，N分别为线段AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用空间向量基本定理进行计算.【详解】.故选：A4．设向量是空间一个基底，则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是A． B． C． D．或【答案】C【解析】【分析】根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，从而判断出结论．【详解】解：由题意和空间向量的共面定理，结合，得与、是共面向量，同理与、是共面向量，所以与不能与、构成空间的一个基底；又与和不共面，所以与、构成空间的一个基底．故选：．5．已知是一个空间的基底，向量，，，，若则x，y，z分别为（

）．A．，， B．，1，C．，1， D．，1，【答案】A【解析】【分析】利用空间向量的基本定理即可求解.【详解】，，解得,故选：A6．如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，E为延长线上一点，，则为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】根据空间向量运算求得正确答案.【详解】.故选：B7．已知四棱锥，底面为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】由图形可得，根据比例关系可得，，再根据向量减法，代入整理并代换为基底向量．【详解】即故选：D．8．已知是所在平面外一点，是中点，且，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】【分析】利用向量减法的三角形法则进行计算即可.【详解】因为M是PC中点，，又，，∴.故选：A.二、多选题9．下列说法正确的是（

）A．任何三个不共面的向量可构成空间的一个基底B．空间的基底有且仅有一个C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D．直线的方向向量有且仅有一个【答案】AC【解析】【分析】根据基底、直线的方向向量等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A，任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底，所以A正确，B错误；对于C，两两垂直的三个非零向量不共面，可构成空间的一个基底，C正确；对于D，直线的方向向量有无数个，所以D错误.故选：AC10．关于空间向量，以下说法正确的是（

）A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面C．已知向量是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底D．若，则是钝角【答案】ABC【解析】【分析】对于A，根据共线向量的概念理解判断；对于B：根据且P，A，B，C四点共面，分析判断；对于C：基底向量的定义是空间的一个基底不共面，分析判断；对于D：根据数量积的定义可得，结合向量夹角的范围分析判断．【详解】对于A，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以A正确；对于B，若对空间中任意一点O，有因为，根据空间向量的基本定理，可得P，A，B，C四点一定共面，所以B正确；对于C，由于是空间的一个基底，则向量不共面∵，则共面∴可得向量不共面，所以也是空间的一个基底，所以C正确；对于D，若，即，又，所以，所以D不正确．故选：ABC．三、填空题11．如图，在四面体中，是的中点，设，，，请用､､的线性组合表示___________.【答案】【解析】【分析】先求出，再由求解即可.【详解】在中，因为是的中点，所以，所以.故答案为：.12．正方体中，点是上底面的中心，若，则___________.【答案】【解析】【分析】根据向量线性运算，利用表示出，由此可得的值.【详解】，，，，.故答案为：.13．已知非零向量，，且不共面．若，则_______.【答案】【解析】【分析】先由向量平行，得到，，利用系数对应相等构建关系，即可求出，即得结果.【详解】不共面，故可看作空间向量的一组基底，，故存在，使得，即，，解得：，则．故答案为:.14．已知是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，用基底表示向量___________.【答案】【解析】【分析】设，然后整理解方程组即可.【详解】设，即有，因为是空间的一个单位正交基底，所以有，所以.故答案为：四