86双曲线方程及其性质（精讲）

8.6双曲线方程及其性质【题型解读】【知识必备】1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e＝eq\f(c,a)∈(1，＋∞)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)xa，b，c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)必备结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为eq\f(2b2,a).(4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))，其中θ为∠F1PF2.(5)与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝t(t≠0)．【题型精讲】【题型一双曲线的定义及应用】例1（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线：的左、右焦点分别为，.双曲线上有一点，若，则______.【答案】1或13【解析】因为双曲线：，所以a=3，所以，又因为，所以或，故答案为：1或13.例2（2022·福建高三期末）已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A．x2－eq\f(y2,8)＝1B.eq\f(x2,8)－y2＝1C．x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)D．x2－eq\f(y2,8)＝1(x≥1)【答案】C【解析】设圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝2<6，所以点M的轨迹是以点C1(－3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支，且2a＝2，a＝1，又c＝3，则b2＝c2－a2＝8，所以点M的轨迹方程为x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)．例3（2022·全国·高三专题练习）（多选题）若曲线C的方程为，则（

）A．当时，曲线C表示椭圆，离心率为B．当时，曲线C表示双曲线，渐近线方程为C．当时，曲线C表示圆，半径为1D．当曲线C表示椭圆时，焦距的最大值为4【答案】BC【解析】选项A，时，曲线方程为，表示椭圆，其中，，则，离心率为，A错；选项B，时曲线方程为表示双曲线，渐近线方程为，即，B正确；选项C，时，曲线方程为，表示圆，半径为1，C正确；选项D，曲线C表示椭圆时，或，时，，，，时，，，，所以，即，无最大值．D错．故选：BC．例4（2022·河南高三高三模拟）已知双曲线：的左､右焦点分别为，，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值10时，面积的最大值为（）A．25 B． C． D．【答案】B【解析】由题意得，故，如图所示，则，当且仅当，，三点共线时取等号，∴的最小值为，∴，即，当且仅当时，等号成立，而到渐近线的距离，又，故，∴，即面积的最大值为.故选：B.【跟踪精练】1.（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与该双曲线的右支交于，两点，若，则周长为（）A．16 B．24 C．36 D．40【答案】C【解析】因为双曲线为，所以；由双曲线的定义得，所以，所以周长为，故选：C.2.(2022·深圳模拟)“”是“为双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为方程表示双曲线，所以，又当时，方程表示双曲线，因此“”是“方程表示双曲线”的充要条件.故答案为：C3.（2022·全国高三模拟）已知是双曲线的左焦点，点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（）A．9 B．5 C．8 D．4【答案】A【解析】设右焦点为F'，则F'(4，0)，依题意，有PF|=|PF'|+4，

|PF|+|PA|=|PF'|+|PA|+4≥|AF'|+4=5+4=9(当P在线段AF'上时，取等号)

故|PF|+|PA|的最小值为9.故答案为：A

4.（2022·全国·高三专题练习）一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆的轨迹方程是（

）A．（） B．（）C． D．【答案】D【解析】设动圆的半径为，由题意知，圆的圆心坐标为，半径为4．动圆与圆相切有两种情况，即内切或外切，所以，所以，即动点到两定点的距离之差为常数4，所以点在以，为焦点的双曲线上，所以，，所以，所以动圆的轨迹方程是．故选：D.【题型二焦点三角形问题】例5（2022·青岛高三模拟）已知、为双曲线的左、右焦点，点P在C上，，则的面积为____________【答案】【解析】双曲线，则，所以，利用双曲线定义知，，两边平方得，且，由余弦定理，解得：，则.故答案为：例6（2022·山东日照高三模拟）已知､是双曲线的左､右焦点，点为双曲线右支上一点，且在以为直径的圆上，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解法一：设，，则.由双曲线定义知，，又，故，由于在以为直径的圆上，所以，故有从而解法二：同解法一，得到，，则，从而得到双曲线方程为.设，联立，解得，即.因此，选项A正确.故选：A【跟踪精练】1．（2022·武功县普集高级中学期末）设，是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当时，面积为（）．A． B． C． D．【答案】B【解析】∵双曲线，∴，又点P在双曲线C的右支上，，所以，，即，又，∴面积为.故答案为：B.2．（2022·全国高三模拟）已知双曲线的左､右焦点分别为，，为双曲线上一点，且，则___________.【答案】【解析】依题意，设，不妨设，，设，根据双曲线的定义、余弦定理、三角形的面积公式得，，，，，，，，由于，所以，所以.故答案为：【题型三双曲线的标准方程】方法技巧求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2.(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．例7（2022·全国高三专题练习）若双曲线经过点(3，eq\r(2))，且渐近线方程是y＝±eq\f(1,3)x，则双曲线的标准方程是________．【答案】y2－eq\f(x2,9)＝1【解析】设双曲线的方程是y2－eq\f(x2,9)＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点(3，eq\r(2))，所以λ＝2－eq\f(9,9)＝1，故双曲线的标准方程为y2－eq\f(x2,9)＝1.例8（2022·全国高三专题练习）设双曲线C：（，）的左焦点为F，直线过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，，其中O为坐标原点，则双曲线C的方程为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设左焦点F的坐标为，由点F过直线，所以，解得，设右焦点为N，连接，，.由，故三角形为直角三角形，即，又因为直线斜率为，设直线倾斜角为，则.又，则，，由双曲线定义，则，所以，所以所以双曲线C的方程为.故答案为：D.【题型精练】1．（2022·全国·高三专题练习）经过点P(3,2eq\r(7))，Q(－6eq\r(2)，7)的双曲线的标准方程为________．【答案】eq\f(y2,25)－eq\f(x2,75)＝1【解析】设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9m－28n＝1，,72m－49n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(1,75)，,n＝－\f(1,25).))∴双曲线的标准方程为eq\f(y2,25)－eq\f(x2,75)＝1.2.（2022·全国·模拟预测）已知中心在原点的双曲线的离心率为2，右顶点为，过的左焦点作轴的垂线，且与交于，两点，若的面积为9，则的标准方程为.【答案】【解析】设双曲线标准方程为令，则，得，所以，易知，所以…①，又…②，…③，联立①②③求解得，所以双曲线方程为。故答案为：。3.（2022·山西太原五中高三期末）在平面直角坐标系中，已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线，则曲线的方程为.【答案】【解析】因为在线段的垂直平分线上，所以，所以，由双曲线的定义知点的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线，则，，得，所以曲线的方程为，故答案为：【题型四双曲线的几何性质】方法技巧求双曲线的离心率的方法求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝eq\f(c,a)转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．例9（2022·湖北模拟）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线与的左支交于、两点，且，，则的渐近线方程为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，得，；根据双曲线的定义，，所以，．在直角三角形中，，即，解得；在直角三角形中，，即，即，解得，所以的渐近线方程为.故答案为：C．例10（2022·江苏省前黄高级中学高三月考）已知，是双曲线的左､右焦点，点P在双曲线的右支上，且，，则双曲线C的离心率是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知，，，又，，即，∴，即，∴.故答案为：C.例11(2022·滨州模拟)已知F1，F2分别是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为()A．(1,2) B．(1,3)C．(3，＋∞) D．(2,3)【答案】A【解析】在△PF1F2中，sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，由正弦定理得，|PF1|＝3|PF2|，又点P是双曲线C上在第一象限内的一点，所以|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，在△PF1F2中，由|PF1|＋|PF2|>|F1F2|，得3a＋a>2c，即2a>c，所以e＝eq\f(c,a)<2，又e>1，所以1<e<2.【题型精练】1.（2022·德阳三模）设双曲线的右焦点是F，左､右顶点分别是，过作轴的垂线与双曲线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设双曲线的半焦距为，则，将，代入双曲线，得，不妨取，，又，，∴的斜率分别为：，，因为，故，即，即，所以，故渐近线方程是.故答案为：C2.（2022·江西·高三开学考试）已知双曲线的左焦点为，右焦点为，，为双曲线右支上一点，为坐标原点，满足，且，则该双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】∵，O为的中点，∴△为直角三角形，设，则，则，∴，∴e＝.故答案为：B.3.(2022·威海模拟)若双曲线C1：eq\f(y2,4)－eq\f(x2,9)＝1与双曲线C2：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共点，则双曲线C2的离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(13),2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(13),3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(13),2)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(13),3)，＋∞))【答案】D【解析】因为双曲线C1：eq\f(y2,4)－eq\f(x2,9)＝1的渐近线方程为y＝±eq\f(2,3)x，双曲线C2：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，为使双曲线C1：eq\f(y2,4)－eq\f(x2,9)＝1与双曲线C2：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共点，只需eq\f(b,a)>eq\f(2,3)，则离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)>eq\r(1＋\f(4,9))＝eq\f(\r(13),3).【题型五直线与双曲线的位置关系】例12（2022·湖北模拟）已知直线l的方程为，双曲线C的方程为.若直线l与双曲线C的右支相交于不同的两点，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】联立整理得，因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，所以，解得，所以实数k的取值范围为.故选：D.例13（2022·江苏省前黄高级中学高三月考）直线与双曲线没有公共点，则斜率k的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】联立直线和双曲线：，消去得，当，即时，此时方程为，解得，此时直线与双曲线有且只有一个交点；当，此时，解得或，所以时直线与双曲线无交点；故选：A【题型精练】1.（2022·德阳三模）直线与双曲线没有交点，则的取值范围为_____.【答案】【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为：，因为直线过原点且与双曲线没有交点，故需满足，故答案为：2.（2022·江西·高三开学考试）设直线l：与双曲线C：相交于不同的两点A，B，则k的取值范围为___________.【答案】【解析】联立消去y：，，得到，又直线不与渐近线平行，所以.故答案为：.【题型六弦长与中点弦】例14（2022·湖北模拟）过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为______．【答案】【解析】双曲线的右焦点为，所以直线l的方程为．由，得．设，，则，，所以．故答案为：例15（2022·江苏省前黄高级中学高三月考）直线l交双曲线于A，B两点，且为AB的中点，则l的斜率为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】设点，，因为AB的中点，则有，又点A，B在双曲线上，则，即，则l的斜率，此时，直线l的方程：，由消去y并整理得：，，即直线l与双曲线交于两点，所以l的斜率为2.故选：C【题型精练】1.（2022·德阳三模）已知双曲线的左､右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】设、，则，，两式相减可得，为线段的中点，，，，又，，，即，，故选：D.2.（2022·江西·高三开学考试）（多选）已知双曲线的一条渐近线方程为，过点作直线交该双曲线于和两点，则下列结论中正确的有（

）A．该双曲线的焦点在哪个轴不能确定B．该双曲线的离心率为C．若和在双曲线的同一支上，则D．若和分别在双曲线的两支上，则【答案】BC【解析】对于A选项，若双曲线的焦点在轴上，则，可得，且有，解得，则双曲线的方程为，其焦点在轴上；若双曲线的焦点在轴上，则双曲线的标准方程为，则，可得，且有，无解，A错；对于B选项，，，，所以，双曲线的离心率为，B对；对于CD选项，当直线不