专题19直线与平面平行

专题19直线与平面平行1．直线与平面的位置关系叙述位置关系记法一条直线a与平面α有两个不同的公共点直线在平面内直线a与平面α只有一个公共点A直线与平面相交一条直线a与平面α没有公共点直线与平面平行2．直线与平面平行的判定定理文字语言图形语言符号语言线线平行线面平行如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行3．直线与平面平行的性质定理文字语言图形语言符号语言线面平行线线平行如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行考点一线面平行的概念考点二直线与平面平行的判定定理1.利用中位线证明平行2.构造平行四边形证明平行考点三直线与平面平行的性质定理考点四直线与平面平行中的点存在问题考点一 线面平行的概念例1．（2023春·全国·高一专题练习）已知a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面其中正确的命题（

）①，；②，；③，；④，；

⑤，，．A．①⑤ B．①② C．②④ D．③⑤【答案】A【分析】分析各直线，平面的关系即可得出结论.【详解】由题意，①，，故，故正确；②，，则与有可能平行、相交、异面，故错误；③，则或，故错误；④，；则与可能平行或相交，故错误；⑤，，，由线面平行的判定定理可得，故正确.故选：A.练习1．（2021秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期中）在平面内，存在无数条直线与直线l平行，则l与的位置关系可以是____________．【答案】或【分析】线与面的关系可分为线在面外与线在面内两种，对此分类讨论，利用线面平行的判定定理与平行线的传递性判断即可.【详解】因为在平面内，存在无数条直线与直线l平行，不妨设其中一条直线为，当直线l在面外时，因为，所以；当直线l在面内时，由及平行线的传递性，显然可以在面内作无数条直线与l平行，故成立；综上：l与的位置关系可以是或.故答案为：或.练习2．（2023春·全国·高一专题练习）已知为三条不重合的直线，是两个不重合的平面，给出下列四个说法：①，则；②，则；③，则；④，则.其中正确的是（

）A．①④ B．①② C．②④ D．③④【答案】C【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系对各选项逐一判断即可．【详解】对①，，则，可以平行、相交或异面，故①不正确；对②，根据平行线的传递性，可知②正确；对③，，则或，故③不正确；对④，根据线面平行的判定定理，可知④正确．故选：C练习3．（2022秋·上海金山·高二上海市金山中学校考期末）平面外的两条直线、，且，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用线面的平行关系及充分必要条件的定义即可判断【详解】，，且，故，充分；，，则，或相交，或异面，不必要.故为充分不必要条件，故选：A考点二 直线与平面平行的判定定理1.利用中位线证明平行例2．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，已知M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．求证：(1)四边形是平行四边形；(2)平面．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用中位线性质及平行四边形的判定即可证结论；（2）由中位线性质得，再应用线面平行的判定即可证结论.【详解】（1）由M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，所以且，所以为平行四边形.（2）由M、N分别是空间四边形ABCD的边AB、BC的中点，所以，由（1）知面，且面，故面，即平面.练习1．（2023·高一课时练习）如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E为PB的中点，为AC、BD的交点.(1)求证：平面PCD；(2)图中EO还与图中哪个平面平行？【答案】(1)证明见解析(2)平面【分析】由结合线面平行的判定定理证明即可.【详解】（1）因为E，为PB，BD的中点，所以，又平面PCD，平面PCD，所以平面PCD.（2）因为，平面，平面，所以平面.练习2．（2023·全国·高一专题练习）长方体中，是矩形的中心，是矩形的中心．证明：平面.【答案】证明见详解【分析】连结、、.由已知可推得，进而根据线面平行的判定定理，即可证明平面.【详解】证明：连结、、.由已知可得，点是的中点，点是的中点，所以，是的中位线，所以.又平面，平面，所以平面.练习3．（2021·陕西渭南·统考二模）如图，四棱锥的底面是矩形，平面分别是、的中点，且，.求证：平面；【答案】证明见解析【详解】证明：取的中点，连接、，为的中点，为的中点，为的中位线，且.四边形为矩形，为的中点，且，且，四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面.2.构造平行四边形例3．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在正方形中，M，N分别是，的中点，则直线AM与平面BND的位置关系是（

）．A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法确定【答案】B【分析】连接交于，连接，由中位线、正方体性质易得为平行四边形，即，再根据线面平行的判定证结论.【详解】连接交于，连接，而M，N分别是，的中点，所以，即，且，即，则为平行四边形，故，由面，面，则面.故选：B练习1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为AC的中点D，且.若M、N分别为棱AB、的中点，求证：；【答案】证明见解析【详解】证明：连接MD，为AB的中点，D为AC的中点，且，为的中点，则在三棱柱中，且，且，四边形为平行四边形，，平面CDN，且平面CDN，；练习2．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在正方体中，，，分别是，，的中点，有下列四个结论：①与是异面直线；②，，相交于一点；③；④平面．其中所有正确结论的编号是（

）A．①④ B．②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【分析】根据、可判断①；设，根据平面，平面，又面面，可判断②；令，根据为平行四边形，可判断③；由线面平行的判定定理可判断④．【详解】对于①，因为，，所以，又，所以与是相交直线，则①不正确；对于②，设，面面，面面，所以平面，平面，又面面，所以，，相交于一点，②正确；对于③，令，连接，因为，分别是，的中点，所以，，则为平行四边形，所以，而，所以③不正确；对于④，因为平面，平面，所以平面，④正确．综上所述，②④正确，故选：B．练习3．（2021秋·吉林辽源·高三校联考期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，E、F分别为AB、PC的中点．证明：直线平面PAD；【答案】证明见解析【详解】证明：取的中点，连，，∵为的中点，∴，且，又，且，则，∴四边形AEFG为平行四边形，∴，又平面PAD，平面PAD，∴平面.练习4．（2021秋·陕西渭南·高一校考阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，点，分别为棱，的中点．求证：平面；【答案】证明见解析【详解】证明：点，分别为棱，的中点，且，，且，四边形为平行四边形，．又平面，平面，平面．考点三 直线与平面平行的性质定理例4．（2023·全国·高一专题练习）若直线平面，，且直线与点位于的两侧，，，，分别交平面于点，，若，，，则的长为（

）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】根据线面平行可得线线平行，从而可求.【详解】∵，平面，平面，∴，∴，即，∴.故选：B.练习1．（2023·全国·高一专题练习）如图，E、F分别是空间四边形中边和的中点，过平行于的平面与交于点．求证：是中点．【答案】证明见详解【分析】根据线面平行的性质定理可得，即可得出证明.【详解】证明：由已知可得，平面.又平面，平面平面，所以.又因为点是的中点，所以是中点．练习2．（2023春·全国·高一专题练习）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.【答案】证明见解析【分析】先证明线面平行，由AP∥平面BDM的性质可得AP∥GH.【详解】证明如图，连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点．又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴AP∥平面BDM.又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.练习3．（2023·全国·高一专题练习）点是所在平面外一点，是中点，在上任取点，过和作平面交平面于．证明：．【答案】证明见详解【分析】连结，交于点，连结，可推得，进而得到平面.然后根据线面平行的性质定理可得．【详解】证明：连结，交于点，连结.因为四边形为平行四边形，所以是的中点.又是中点，所以.因为平面，平面，所以平面.又平面平面，平面，所以．练习4．（2022秋·四川·高二四川省峨眉第二中学校校考阶段练习）如图，为空间四边形的边上的点（除端点外），且(1)求证：；(2)若为的中点，点满足，求证：必交于一点.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）根据给定的条件，利用线面平行的判定、性质推理作答.（2）由已知结合梯形的性质，利用平面基本事实推理作答.【详解】（1）在空间四边形中，因为为上的点，即平面，而，平面，则平面，又平面，平面平面，所以.（2）由（1）知，，且为的中点，则，又，则有，因此，即四边形为梯形，与必相交，令，显然，平面，即平面，，平面，即平面，则为平面和平面的公共点，而平面平面，因此，所以必交于一点.考点四 直线与平面平行中的点存在问题例5．（2021秋·青海西宁·高二校考阶段练习）如图，在多面体中，，且，，F在上，要使平面，则的值为（

）A．3 B．2 C．1 D．【答案】B【分析】连接相较于点，连接，由得，再由下面平行的性质可得，从而得到答案.【详解】连接相较于点，连接，因为，且，，所以，因为平面，平面，平面平面，所以，所以.故选：B.练习1．（2022春·安徽安庆·高一校考期中）如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，__________.【答案】##0.5【分析】根据线面平行的性质得出线线平行，从而得出结果.【详解】如图，连结交于点，连结.，E为AD的中点，,PA∥平面EBF，平面EBF平面PAC，PA平面PAC，PA∥OF，.故答案为：.练习2．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在正方体中，分别是的中点.(1)证明：平面；(2)棱上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，【分析】（1）利用三角形中位线性质和平行四边形性质可证得，根据线面平行的判定可证得结论；（2）假设存在点，延长交于，连接交于，根据三角形中位线性质可确定，利用线面平行的性质可证得四边形为平行四边形，由此可确定.【详解】（1）连接，分别为中点，，，，四边形为平行四边形，，，又平面，平面，平面.（2）假设在棱上存在点，使得平面，延长交于，连接交于，，为中点，为中点，，，，平面，平面，平面平面，，又，四边形为平行四边形，，；当时，平面.练习3．（2023春·全国·高一专题练习）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，且，点在棱上，若直线平面，求的值【答案】1∶2【分析】连接与交于点，连接，进而根据线面平行性质定理得.【详解】解：连接与交于点，连接，∵，，∽，，又∵平面，平面，且平面平面∴，即练习4．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，是上的点．若平面，求的值；【答案】．【分析】连接，交于点，连接，由线面平行的性质定理得线线平行，由平行线得比例线段．【详解】连接，交于点，连接；平面，平面，平面平面，，；，，，，即的值为．一、单选题1．（2021秋·河南安阳·高一安阳一中校考期末）设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则．其中正确的命题是（）A．（1）（3） B．（2）（4） C．（3）（4） D．（1）（2）【答案】C【分析】根据线线，线面位置关系，数形结合解决即可.【详解】对于（1），，则可能平行，也可能相交，参照正方体同一顶点处相邻的三个面即可，故（1）错误；对于（2），当时，就不能得出，如图，故（2）错误；对于（3），若，则平面与平面无公共点，又，所以直线与平面也没有公共点，所以，故（3）正确；对于（4），因为，由得，又，所以，同理，所以，故（4）正确.故选：C2．（2023秋·湖南长沙·高二长郡中学校考期末）如果直线平面，直线平面，且，则a与b（

）A．共面 B．平行C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线【答案】D【分析】根据线面和面面的位置关系直接得出结论.【详解】，说明a与b无公共点，与b可能平行也可能是异面直线．故选：D．3．（2022秋·陕西渭南·高一校考期末）一平面截空间四边形的四边得到四个交点，如果该空间四边形只有一条对角线与这个截面平行，那么这四个交点围成的四边形是（）A．梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．任意四边形【答案】A【分析】根据题意，不妨设该面截空间四边形ABCD的四边得到四个交点E、F、G、H，AC∥平面EFGH，BD不平行于平面EFGH，利用线面平行的性质可得AC∥EF，AC∥GH，则GH∥EF，然后只需要判断EH与FG是否平行，即可得答案．【详解】解：根据题意，不妨设该面截空间四边形ABCD的四边得到四个交点E、F、G、H，AC∥平面EFGH，BD不平行于平面EFGH.因为AC∥平面EFGH，AC平面ABC，且平面ABC平面EFGH=EF，所以AC∥EF，同理可得：AC∥GH，所以GH∥EF；下面证明EH与FG不平行.假设EH∥FG,由FG平面BCD，平面，得EH∥平面BCD，又因为EH平面ABD，且平面ABD平面BCD=BD，由线面平行的性质可得：EH∥BD，又EH平面EFGH，平面所以BD∥平面EFGH，与题设BD不平行于平面EFGH矛盾，所以EH与FG不平行，所以四边形EFGH是梯形.故选：A．【点睛】4．（2022·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点E，F分别是棱A1C1，BC的中点，则下列结论中不正确的是（）A．CC1∥平面A1ABB1 B．AF∥平面A1B1C1C．EF∥平面A1ABB1 D．AE∥平面B1BCC1【答案】D【分析】利用线面平行的判定定理逐项判断即可．【详解】解：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，可得CC1∥AA1，AA1⊂平面A1ABB1，CC1⊄平面A1ABB1，∴CC1∥平面A1ABB1，故A正确；AF⊂平面ABC，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，可得平面ABC∥平面A1B1C1，∴AF∥平面A1B1C1，故B正确；取A1B1中点N，又E是A1C1中点，∴NE∥C1B1，且NE＝C1B1，又F是棱BC的中点，所以BF＝C1B1，AF∥C1B1，∴BF∥NE，BF＝NE，∴四边形BFEN是平行四边形，∴EF∥BN，BN⊂平面A1ABB1，EF⊄平面A1ABB1，∴EF∥平面A1ABB1，故C正确；∵EC1∥AC，但EC1≠AC，∴AE与CC1相交，从而有AE不平行于平面B1BCC1，故D错误．故选：D．5．（2022春·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）下列有五个命题：①若直线a平面，a平面，则am；②若直线a平面，则a与平面内任何直线都平行；③若直线α平面，平面平面β，则α平面β；④如果ab，a平面，那么b平面；⑤对于异面直线a、b存在唯一一对平面、β使得a⊂平面，b⊂平面β，且β.其中正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据空间中直线，平面间的位置关系判断命题正误.【详解】对于①，直线平面，直线平面，，过a作平面交平面于c，作平面交平面于d，则，，所以，因为平面，所以平面，因为，所以，所以，①正确；对于②，直线平面，则直线与平面内的直线平行或异面，所以②错误；对于③，直线平面，平面平面，可能平面，所以③错误；对于④，，直线平面，可能平面，所以④错误；对于⑤，一对异面直线a，b，过a作与b平行的平面，过b作与a平行的平面，使得，所以⑤正确；故选：C.6．（2023·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（

）A．若两条直线和同一条直线所成的角相等，则这两条直线平行B．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行C．若一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内的任意直线平行D．若两个平面平行，则分别在这两个平行平面内的直线平行【答案】B【分析】对于ACD，举反例排除即可；对于B，利用线面平行的判定定理与性质定理可证得结论正确；【详解】对于A，如图1第一个图，显然与所成角和与所成角相等，但与不平行，故A错误；对于C，如图1第二个图，，则，而不平行于，故不平行于，故C错误；对于D，如图1第三个图，，则，而与不平行，故与不平行，故D错误；对于B，如图2，，面面，所以，同理，所以，又因为，所以，又，所以，故，故B正确.故选：B.7．（2022秋·河北石家庄·高二河北新乐市第一中学统考期中）在长方体ABCDA1B1C1D1中，M为A1B1中点，下列说法正确的是（

）A．BC1平面D1MC B．C1D1平面ACM C．CM平面A1BD D．B1C平面D1MB【答案】D【分析】在长方体中，判断选项中直线与各平面的平行关系，可以通过取正方体棱的中点，找到各平面与长方体的表面的交线，即找到长方体的截面，再判断选项中直线与平面的位置关系.【详解】选项A，如图1，取的中点，连结，，，又M为A1B1中点，则，根据长方体的对称性可知，所以，四点共面，直线与相交，所以与平面相交，所以选项A错误；选项B，如图2，取的中点，由选项A同理可证，，四点共面，在平面内，直线与相交，所以与平面相交，所以选项B错误；选项C，如图3，在平面内，直线与相交，所以与平面相交，所以选项C错误；选项D，如图4，取的中点，连结，，，由长方体的对称性，，四点共面，在平面内，直线，平面D1MB，平面D1MB，所以B1C平面D1MB，选项D正确.故选：D.8．（2023·新疆·统考一模）如图，在长方体中，，则下列说法错误的是（

）A．B．与异面C．平面D．平面平面【答案】A【分析】根据题目信息和相似比可知，不可能平行于，与异面，可得A错误，B正确；再利用线面平行和面面平行的判定定理即可证明CD正确.【详解】如下图所示，连接，根据题意，由可得，，且；同理可得，且；由，而，所以不可能平行于，即A错误；易知与不平行，且不相交，由异面直线定义可知，与异面，即B正确；在长方体中，所以，即四边形为平行四边形；所以，又，所以；平面，平面，所以平面，即C正确；由，平面，平面，所以平面；又，平面，平面，所以平面；又，且平面，所以平面平面，即D正确.故选：A二、多选题9．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在平行六面体中，点，，分别为棱，，的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则以下说法正确的是（

）A． B．C．平面 D．平面【答案】ACD【分析】根据题意可证明，由此可判断A、C、D选项；根据与平面相交，平面//平面可知与互不平行，由此可判断B选项.【详解】连接MP，因为，别为棱，中点，所以MP//AD且因为为平行六面，所以且，所以且，故为平行四边形，，故A正确；因为平面，平面，所以平面；同理平面，故C、D正确因为与平面相交，且平面//平面，所以与平面相交，又因为平面相交，所以与互不平行.故B错误故选：ACD10．（2022秋·河北沧州·高三统考期末）如图所示，已知几何体是正方体，则（

）A．平面B．平面C．异面直线与所成的角为60°D．异面直线与所成的角为90°【答案】BC【分析】结合线面垂直、线面平行、异面直线所成角、线线垂直等知识逐一对选项进行分析，从而确定正确答案【详解】对于A，由几何体是正方体可知，而平面,故平面相交，故A错误；对于B，平面平面，且平面，所以平面，故B正确；对于C，，与均为正方体面对角线，故，三角形是等边三角形，则直线与所成的角为60°，故C正确；对于D，,同理，三角形是等边三角形，直线与所成的角为60°，故D错误.故选：BC.三、填空题11．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，三棱