第三节三角函数的图像与性质(要点归纳夯实基础练)

第三节三角函数的图像与性质【要点归纳】一、正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|x≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}值域[－1，1][－1，1]R函数的最值最大值1，当且仅当x＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z；最小值－1，当且仅当x＝2kπ－eq\f(π,2)，k∈Z最大值1，当且仅当x＝2kπ，k∈Z；最小值－1，当且仅当x＝2kπ－π，k∈Z无最大值和最小值单调性增区间[2kπ－eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(π,2)](k∈Z)；减区间[2kπ＋eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(3π,2)](k∈Z)增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)增区间(kπ－eq\f(π,2)，kπ＋eq\f(π,2))(k∈Z)奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性周期为2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为2π周期为2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为2π周期为kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为π对称性对称中心(kπ，0)，k∈Zeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))，k∈Zeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z对称轴x＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Zx＝kπ，k∈Z无对称轴零点kπ，k∈Zkπ＋eq\f(π,2)，k∈Zkπ，k∈Z二、周期函数的定义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期；函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期均为T＝eq\f(2π,|ω|)；函数y＝Atan(ωx＋φ)的周期为T＝eq\f(π,|ω|).三、对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq\f(1,4)个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．四、函数具有奇偶性的充要条件函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．【夯实基础练】1．(2022•高考浙江卷)为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点()A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【解析】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．故选：D.【答案】D2．(2022•全国高考甲卷数学(文))将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是()A． B． C． D．【解析】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，解得，又，故当时，的最小值为.故选：C.【答案】C3．(2022•重庆市第八中学高三(下)第一次调研检测)为了得到函数的图象，只需将的图象()A．向右平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位【解析】，所以可以由向右平移个单位，故选：C【答案】C4．(2022•重庆市巴蜀中学高三第八次月考)将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则()A． B．C． D．【解析】由题意可知，将函数的图象向左平移个单位长度，可得到函数的图象，则.故选：B.【答案】B5．(2022•四川省成都市石室中学高三一模)函数是()A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数【解析】∵，∴是最小正周期为的偶函数.【答案】A6．(2022•山东省实验中学高三(上)二诊)函数在内的值域为，则的取值范围是()A． B． C． D．【解析】函数f(x)＝cos(ωx)(ω＞0)，当x∈[0，π]时，f(x)∈[﹣1，]，∴﹣1≤cos(ωx)，画出图形如图所示；则π≤ωπ，解得ω，∴ω的取值范围是[，]．故选B．【答案】B7．(2022•辽宁省沈阳市第二中学高三二模)(多选)为得到函数的图象，只需将的图象()A．先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度B．先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度C．先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)D．先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)【解析】如果是先伸缩再平移，那么需先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，得到，再向右平移个单位长度，即得，如果是先平移再伸缩，需先将向右的单位长度，得到，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，即得.故选：BC【答案】BC8．(2022•黑龙江省鹤岗市第一中学高三(上)期末)下列四个函数，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是()A． B． C．D．【解析】最小正周期为，在区间上单调递减；最小正周期为，在区间上单调递减；最小正周期为，在区间上单调递增；最小正周期为，在区间上单调递增；故选：A.【答案】A9．(2022•河南省鹤壁高中高三七模)已知函数，为了得到函数的图象只需将y=f(x)的图象()A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向左平移个单位【解析】函数，，所以为了得到函数的图象只需将y=f(x)的图象向左平移个单位.故选：C【答案】C10．(2022•河北省名校联盟高三(下)联考)(多选)已知函数(，)，则()A．存在的值，使得是奇函数B．存在的值，使得是偶函数C．不存在的值，使得是奇函数D．不存在的值，使得是偶函数【解析】因为，所以.因为，所以，所以不可能是奇函数，则A错误，C正确.当时，是偶函数，则B正确，D错误.故选：BC【答案】BC11．(2022•河北省衡水中学高三六调)要得到函数的图象，只需将函数的图象()A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向上平移个单位 D．向下平移个单位【解析】因为，所以由函数的图象得到函数的图象，根据左加右减，只需向左平移个单位.故选：A。【答案】A12．(2022•甘肃省兰州大学附属中学高三第三次月考)为了得到函数的图象，需要把函数的图象()A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【解析】函数，根据图像左加右减的变换原则，只需把函数的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图象，故选：．【答案】C13．(2022•天津市和平区三模)函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值是(

)A． B． C． D．【解析】因为，所以，而为偶函数，所以，即，而，所以的最小值是．故选：B．【答案】B14．已知函数的最小值周期为，将的图象向右平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个值是(

)A． B．C． D．【解析】由题可得，即，则函数的解析式为，将的图象向右平移个单位长度所得的函数解析式为：，又函数图象关于轴对称，当时，，则①，令，可得：，其余选项不适合①式.故选：B．【答案】B15．(2022•湖北省荆州中学模拟)已知函数在单调递减，则的最大值为(

)A． B． C． D．【解析】，令，解得，，因为，所以，则，故，解得，所以最大值为．故选：B．【答案】B16．(2022•安徽省淮南二模)对任意的，函数满足．若函数在区间上既有最大值又有最小值，则函数的最大值与最小值之和为(

)A．0 B．2 C．4 D．8【解析】依题意对任意的，函数满足，，所以函数为奇函数，，令()，，所以为奇函数，所以区间上的最大值与最小值之和为，所以，所以函数的最大值与最小值之和.故选：C【答案】C17．(2022•辽宁实验中学模拟)函数的最小正周期和最小值分别为(

)A．，1 B．， C．，1 D．，1【解析】由题设，，，所以的部分图象如下：所以最小正周期和最小值分别为，1.故选：C【答案】C18．(2022•黑龙江省大庆实验中学模拟)已知函数的最小正周期为，将其图象沿x轴向左平移个单位，所得图象关于直线对称，则实数m的最小值为(

)A． B． C． D．【解析】，即，由其最小正周期为，即，解得，所以，将其图象沿轴向左平移()个单位，所得图象对应函数为，其图象关于对称，所以，所以，由，实数的最小值为.故选：A.【答案】A19．(2022•四川省内江市教育科学研究所三模)若函数的图象关于直线对称，则(

)A． B．0 C． D．【解析】由于函数的图象关于直线对称，所以，即，两边平方整理得，解得，则.故选：B.【答案】B20．(2022•安徽省合肥一六八中学模拟)已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(

)A．该图象对应的函数解析式为B．函数的图象关于直线对称C．函数的图象关于点对称D．函数在区间上单调递减【解析】由图象可知，即，又，所以，又，可得，又因为所以，所以，故A错误；当时，.故B错误；当时，，故C正确；当时，则，函数不单调递减.故D错误．故选：C【答案】C21．(2022•北京市八十中模拟)已知函数与直线的交点中，距离最近的两点间距离为，那么此函数的周期是___________.【解析】根据正弦型函数的周期性，当，则：若，最近的另一个值为，所以，而，可得.故此函数的最小正周期是，则函数的周期为且.故答案为：且【答案】且22．(2022•高考北京卷)若函数的一个零点为，则________；________．【解析】∵，∴，∴，，故答案为：1，【答案】①1②23．(2022•四川省南充高级中学高三第一次月考)将函数的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数图象，则________．【解析】向左平移个单位长度后得到偶函数图象，即关于轴对称，关于对称，，即：，，本题正确结果：【答案】24．(2022•北京市一零一中学高三(上)统考(二))函数的单调增区间为___________.【解析】，令，，得，可得单调增区间为().故答案为：()..【答案】().25．(2022•贵州省贵阳高三期末)将函数的图像向右平移个单位，所得函数图象关于轴对称，则正数的最小值为__________．【解析】将函数的图像向右平移个单位变为，要使其为偶函数，则Z，则，∵，∴当时，为其最小值.故答案为：.【答案】##26．(2022•北京市一零一中学高三(上)统考(二))已知函数同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为π；②最大值为2；③；④.(1)给出函数的解析式，并说明理由；(2)函数在区间上的取值范围.【解析】(