2024-2025学年广东省佛山市南海中学高二（上）第一次段考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省佛山市南海中学高二（上）第一次段考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.经过点(−3,2)，倾斜角为60°的直线方程是(

)A.y+2=3(x−3) B.y−2=332.在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，用计算机产生1∼5之间的随机数，当出现1、2、3时表示一局比赛甲获胜，当出现4、5时表示一局比赛乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，现产生20组随机数，结果如下：

423 123 423 344 114 453 525 332 152 342

534 443 512 541 125 432 334 151 314 354

则估计在本次比赛中甲获得冠军的概率是(

)A.0.35 B.0.55 C.0.6 D.0.653.已知两个向量a=(2,−1,3),b=(4,m,n)，且a//b，则A.1 B.2 C.4 D.84.下列命题中正确的是(

)A.点M(3,2,1)关于平面yoz对称的点的坐标是(−3,2,−1)

B.若直线l的方向向量为a=(1,−1,2)，平面α的法向量为m=(6,4,−1)，则l⊥α

C.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角为120°，则直线l与平面α所成的角为30°

D.已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若OP5.已知|a|=1，|b|=2，〈a,b〉=60°A.1 B.277 C.6.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，点M为棱AB的中点，点N为上底面A1B1A.MN=16CA−16CB+7.从甲袋中随机摸出1个球是红球的概率是13，从乙袋中随机摸出1个球是红球的概率是12，从两袋中有放回的各摸两次球且每次摸出一个球，则4个球中恰有3个红球的概率是(

)A.112 B.16 C.298.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，M，N，G，H分别为棱AB，BC，AD，CD，A1B1，C1D1的中点，P为DH的中点，连接EH，FG.对于空间任意两点I，J，若线段IJ上不存在也在线段EHA.D

B.P

C.M

D.N二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中任意摸出两个球.设事件A1=“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件A2=“摸出的两个球的编号都大于2”，事件A3=A.事件A1与事件A2是互斥事件 B.事件A1与事件A3是对立事件

C.事件A1与事件A3是相互独立事件 10.若A，B为两个随机事件，且P(A)>0，P(B)>0，则(

)A.当A−⊆B时，P(A)+P(B)≤1

B.当A和B互斥时，P(A−B−)=1−P(A)−P(B)

C.当A和B独立时，P(A11.如图，在多面体ABCDES中，SA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且DE//SA，SA=AB=2DE=2，M，N分别是线段BC，SB的中点，Q是线段DC上的一个动点(含端点D，C)，则下列说法正确的是(

)A.存在点Q，使得NQ⊥SB

B.存在点Q，使得异面直线NQ与SA所成的角为60°

C.三棱锥Q−AMN体积的最大值是23

D.当点Q自D向C处运动时，直线DC与平面QMN三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.经过点A(m,3)和B(−2,m)的直线l与斜率为−4的直线互相垂直，则m的值是______．13.如图，线段AB，BD在平面α内，BD⊥AB，AC⊥α，且AB=3，BD=4，AC=5.则C，D两点之间的距离为______．14.某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”.“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为m、13、n，已知三个社团他都能进入的概率为124，至少进入一个社团的概率为34，且m≥n.该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分.求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

柜子里有3双不同的鞋，分别用a1，a2；b1，b2；c1，c2表示6只鞋，其中a1，b1，c1表示每双鞋的左脚，a2，b2，c2表示每双鞋的右脚.如果从中随机地取出2只，那么

(1)写出试验的样本空间；

16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PD=2，AD=1，PD⊥DA，PD⊥DC，底面ABCD为正方形，M，N分别为AD，PD的中点．

(1)求点B到平面MNC的距离；

(2)求直线MB与平面BNC所成角的余弦值．17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AD=CD=2，BC=3，PC=23，BE：EP=1：2，CF=2，CD⊥BC．

(1)证明：平面AEF//平面PCD；

(2)在棱PC上是否存在一点G，使得DG//平面PAB？若存在，求PGGC18.(本小题17分)

图1是边长为2的正方形ABCD，将△ACD沿AC折起得到如图2所示的三棱锥P−ABC，且PB=2．

(Ⅰ)证明：平面PAC⊥平面ABC；

(Ⅱ)点M是棱PA上不同于P，A的动点，设AMAP=λ(0<λ<1)，若平面PBC与平面MBC的夹角的余弦值为19.(本小题17分)

甲、乙、丙三人玩“剪刀、石头、布”游戏(剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀)，规定每局中：

①三人出现同一种手势，每人各得1分；

②三人出现两种手势，赢者得2分，输者负1分；

③三人出现三种手势均得0分.当有人累计得3分及以上时，游戏结束，得分最高者获胜，已知三人之间及每局游戏互不受影响．

(1)求甲在一局中得2分的概率P1；

(2)求游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率P2；

(3)求游戏经过两局就结束的概率P3参考答案1.C

2.D

3.C

4.C

5.D

6.B

7.B

8.D

9.ACD

10.BCD

11.ACD

12.2

13.514.1615.解：(1)该试验的样本空间可表示为Ω={(b1,b2)，(b1,c1)，(b1,c2)，(b2,c1)，(b2,c2)，(c1,c2)(a1,a2)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,c1)，

(a1,c2)，(a2,b1)，(a2,b216.解：(1)∵PD=2，AD=1，PD⊥DA，PD⊥DC，底面ABCD为正方形，

以D为原点，如图建立空间直角坐标系Dxyz，

则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，

∵M，N分别为DA，DP中点，∴M(12,0,0)，N(0,0,1)，

则MN=(−12,0,1)，MC=(−12,1,0)，MB=(12,1,0)，

设平面MNC的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅MN=−12x+z=0n⋅MC=−12x+y=0，

令x=2，则y=1，z=1，所以n=(2,1,1)，

则MB⋅n=2×12+1×1+1×0=2，|n|=22+12+12=6，

∴点B到平面MNC的距离d=|MB⋅n||n|=217.(1)证明：如图，连接AC，由于PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，则PA⊥AC．

且PA=2，PC=23，则AC=PC2−PA2=22．

又AD=CD=2，则AD2+DC2=8=AC2，故CD⊥AD．

又CD⊥BC，则AD/​/FC，又AD=FC=2，则四边形ADCF为平行四边形．则AF/​/DC．

AF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，则AF//平面PCD(∗)．

由于BC=3，CF=2，则BF=1.又BE：EP=1：2，则BE：BP=BF：BC=1：3，

则△BEF～△BPC，则∠BEF=∠BPC，则EF//CP．

EF⊄平面PCD，CP⊂平面PCD，则EF/​/平面PCD(∗∗)．

EF∩AF=F，EF，AF⊂平面AEF，结合

(∗)，(∗∗)，得到平面AEF/​/平面PCD．

(2)解：由前面证明知道，四边形ADCF为矩形，PA⊥平面ABCD，

则PA，AF，AD两两垂直，可建立空间直角坐标系A−xyz．

则P(0,0,2)，C(2,2,0)，A(0,0,0)，B(2,−1,0)，D(0,2,0)，

设PG=λPC=λ(2,2,−2)=(2λ,2λ,−2λ),λ∈[0,1]，则G(2λ,2λ,−2λ+2)，λ∈[0,1]．

设m=(x,y,z)为平面ABP的一个法向量，且AP=(0,0,2),AB=(2,−1,0)，

则m⋅AP=2z=0m⋅AB=2x−y=0，取x=1，则m=(1,2,0)，

18.解：(Ⅰ)由于正方形ABCD的边长为2，所以AC=2．

取AC的中点O，连接PO，BO，由题意，得PO=BO=12AC=1，

再由PB=2，可得PO2+BO2=PB2，即PO⊥BO，

由题易知PO⊥AC，又AC∩BO=O，所以PO⊥平面ABC，又PO⊂平面PAC，

所以平面PAC⊥平面ABC．

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知PO⊥OB，PO⊥OC，又OB⊥AC，

于是可分别以OC，OB，OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

则C(1,0,0)，B(0,1,0)，A(−1,0,0)，P(0,0,1)．

所以AP=(1,0,1)，BC=(1,−1,0)，PC=(1,0,−1)，

由题意知AM=λAP=(λ,0,λ)，所以M(λ−1,0,λ)．

所以MC=(2−λ,0,−λ)．

设平面MBC的法向量为m=(x,y,z)，

则BC⋅m=x−y=0MC⋅m=(2−λ)x−λz=0，

令x=1，得平面MBC的法向量为m=(1,1,2−λλ)，

同理可得平面PBC的一个法向量为19.解：(1)根据题意画出树状图，如图：

∴每局共有27种情况，其中甲在一局中得2分的情况有(出手顺序按甲乙丙)：

(剪刀、剪刀、布)，(剪刀、布、剪刀)，(剪刀、布、布)，(石头、石头、剪刀)，(石头、剪刀、石头)，

(石头、剪刀、剪刀)，(布、布、石头)，(布、石头、布)，(布、石头、石头)，有9种情况，

∴甲在一局中得2分的概率P1=927=13．

(2)游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的情况有2种：

①第一局甲得2分，第二局甲得1分，则第一乙丙得负一分，第二局得1分，

由(1)中树状图得满足情况有：

第一局：(剪刀、布、布)，(石头、剪刀、剪刀)，(布、石头、石头)，

第二局：(剪刀、剪刀、剪刀)，(布、布、布)(石头、石头、石头)，

此时概率为327×327=181；

②第一局甲得1分，第二局甲得2分，则第一局乙丙得负1分，

由(1)种树状