云南省2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题（含答案）

2024-2025学年上学期高三年级期中考数学试卷考试时间：120分钟；满分：150分一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知集合，若，则可能是（）A.B.1C.2D.32.已知是虚数单位，若与互为共轭复数，则（）A.B.C.D.3.已知，则（）A.B.C.D.4.下列命题中，真命题的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则5.函数的图象大致为（）A.B.C.D.6.设是数列的前项和，且，则（）A.B.C.D.7.已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.8.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（）A.B.C.D.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知为非零实数，则下列说法一定正确的有（）A.若成等差数列，则成等差数列B.若成等比数列，则成等比数列C.若成等差数列，则成等比数列D.若成等比数列，则成等比数列10.在中，内角所对的边分别为，若成等差数列，是中点，则下面正确的是（）A.周长的最大值为B.面积的最大值为C.中线长度的最大值为D.若A为锐角，则11.若是平面内两条相交成角的数轴，和是轴､轴正方向上的单位向量，若向量，则规定有序数对为向量在坐标系中的坐标，记作，设，则（）A.B.C.若，则D.若构成锐角三角形，则三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.向量满足与的夹角为，则__________.13.已知正四棱台上底面边长为2cm，侧棱和下底面边长都是4cm，则它的体积为__________.14.已知函数满足下列条件：①为的极值点；②在区间上是单调函数，则的取值范围是__________.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）15.（13分）已知数列的前项和为，且，__________.在①；②成等比数列；③三个条件中任选一个补充在横线上，并解答下面问题：（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和，求证：.16.（15分）如图，在四棱锥中，平面，分别是棱的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.17.（15分）在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为.（1）求的方程；（2）过作直线与交于两点，若，求直线的斜率.18.（17分）已知函数.（1）若函数在处的切线平行于轴，求的值；（2）讨论的单调性；（3）若有两个不同的零点，求的取值范围.19.（17分）我们之前学习了用斜率刻画直线的倾斜程度，那如何刻画曲线的弯曲程度呢？考察如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点A处的曲率.（其中分别表示在点A处的一阶､二阶导数）（1）已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点处的曲率是多少？（2）若函数，不等式对于恒成立，求的取值范围；（3）若动点的切线沿曲线运动至点处的切线，点的切线与轴的交点为.若是数列的前项和，证明.2024-2025学年上学期高三年级期中考数学试卷参考答案一､选择题题号12345678910答案DCADCBCABCACD题号11答案BCD二､填空题12.213.14.三､解答题15.（1）（2）证明见解析【详解】（1）由，得，得，所以数列为等差数列，公差.若选①，因为，所以，得，所以，所以，若选②，因为成等比数列，所以，所以，所以，所以，所以.若选③，因为，所以，所以，（2），所以，又因为，所以.16.（1）证明见解析（2）【详解】（1）如图所示，连接.因为分别是棱的中点，所以.因为，所以，所以四边形是平行四边形，则.因为平面平面，所以平面.（2）因为平面平面，所以，又因为，所以两两垂直，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由题中数据可得，，设平面的法向量为，则令，得.设平面的一个法向量为，则，令，得.设平面与平面的夹角为，则.即平面与平面的夹角的余弦值为.17.（1）（2）【详解】（1）（1）根据题意由可知，动点的轨迹为以为焦点，实轴长为的双曲线，即，所以，所以可得的方程为.（2）由（1）知，显然当直线的斜率不存在或的斜率为0时，不成立，故直线的斜率存在，且不为0，设，联立，则，且即，，又，所以，所以，所以由得，解得，故，故直线的斜率为或.18.（1）（2）答案见解析（3）【详解】（1），故，则.（2），当时，令，解得或，令，解得，故此时在单调递增，在的单调递减，当时，在上恒成立，故此时在单调递增，当时，令，解得或，令，解得，故此时在单调递增，在的单调递减，当时，，故在的单调递减，在单调递增，当时，令，解得，令，解得，故此时在的单调递减，在单调递增，（3），令，则，记，则，当时，，当时，，故在单调递增，在单调递减，且，当时恒成立，要使有两个零点，则由两个交点，故，解得19.（1）（2）（3）证明见解析【详解】（1）抛物线的焦点到准线的距离为，即扡物线方程为，即，则，又抛物线在点处的曲率，则，即在该抛物线上点处的曲率为；（2）在上为奇函数，又在上为减函数.对于恒成立等价于对于恒成立.又因为两个函数都是偶函数，记，则曲线恒在曲线上方，，