2024-2025学年高中数学第二章解析几何初步2.1直线与直线的方程2.1.5第2课时点到直线的距离公式课时分层作业含解析北师大版必修2

PAGE课时分层作业二十一点到直线的距离公式一、选择题(每小题5分，共30分)1.若两直线3x+4y+3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.由两直线平行得m=8，将6x+my+1=0化为3x+4y+QUOTE=0，所求距离为QUOTE=QUOTE=QUOTE.2.原点到直线x+2y-5=0的距离是 ()A.1 B.QUOTE C.2 D.QUOTE【解析】选D.d=QUOTE=QUOTE.3.已知直线l1：3x+4y-2=0，l2：mx+2y+1+2m=0，当l1∥l2时，两条直线的距离是 ()A.QUOTE B.1 C.2 D.QUOTE【解析】选C.因为l1∥l2时，-QUOTE=-QUOTE，解得m=QUOTE，所以直线l2的方程为：3x+4y+8=0，所以d=QUOTE=QUOTE=2.4.(2024·江淮名校高二检测)与两直线3x+2y-4=0和3x+2y+8=0的距离相等的直线是 ()A.3x+2y+2=0 B.3x+2y-2=0C.3x+2y±2=0 D.以上都不对【解析】选A.由已知，设所求直线为3x+2y+C=0，则|C-(-4)|=|C-8|，所以C=2，所求直线方程为3x+2y+2=0.5.已知A(-1，a)，B(a，8)两点到直线2x-y+1=0的距离相等，则a的值为 ()A.8 B.2 C.5或2 D.2或8【解析】选D.由已知得QUOTE=QUOTE，解得a=2或8.6.(2024·重庆高二检测)直线l过点B(3，3)，若A(1，2)到直线l的距离为2，则直线l的方程为 ()A.y=3或3x+4y-21=0 B.3x+4y-21=0C.x=3或3x+4y-21=0 D.x=3【解析】选C.①若l的斜率不存在，即l：x=3，符合题意；②若l斜率存在，设为k，则l：y-3=k(x-3)，即kx-y-3k+3=0，所以A(1，2)到直线l的距离为d=QUOTE=QUOTE=2，解得k=-QUOTE，直线l的方程为3x+4y-21=0.二、填空题(每小题5分，共10分)7.已知直线l1与l2：x+y-1=0平行，且l1与l2的距离是QUOTE，则直线l1的方程为_________.

【解析】因为l1与l2：x+y-1=0平行，所以可设l1的方程为x+y+b=0.又因为l1与l2的距离是QUOTE，所以QUOTE=QUOTE，解得b=1或b=-3，即l1的方程为x+y+1=0或x+y-3=0.答案：x+y+1=0或x+y-3=08.已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0相互平行，则它们之间的距离是_________.

【解析】直线3x+2y-3=0变为6x+4y-6=0，所以m=4.由两条平行线间的距离公式得d=QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2024·安庆高二检测)分别求适合下列条件的直线l方程：(1)设直线l经过点P(-1，-3)且斜率等于直线y=3x斜率的-QUOTE.(2)设直线l经过点A(-1，1)，且点B(2，-1)与直线l的距离最大.【解析】(1)由已知，直线y=3x的斜率为3，所求直线l斜率为-QUOTE，又因为直线l经过点P(-1，-3)，所以所求直线方程为y+3=-QUOTE(x+1)，即3x+4y+15=0.(2)设点B(2，-1)到直线l的距离为d，当d=|AB|时取得最大值，此时直线l垂直于直线AB，即kl=-QUOTE=QUOTE，所以直线l的方程为y-1=QUOTE(x+1)，即3x-2y+5=0.10.求在两坐标轴上截距相等，且与点A(3，1)的距离为QUOTE的直线方程.【解析】(1)当直线过原点时，设直线的方程为y=kx，即kx-y=0.由题设知QUOTE=QUOTE，解得k=1或k=-QUOTE.所以所求直线的方程为x-y=0或x+7y=0.(2)当直线不经过原点时，设所求的直线方程为QUOTE+QUOTE=1，即x+y-a=0.由题意，有QUOTE=QUOTE，解得a=2或a=6.所以所求直线的方程为x+y-2=0或x+y-6=0.综上可知，所求直线的方程为x-y=0或x+7y=0或x+y-2=0或x+y-6=0.一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2024·南昌高二检测)已知直线l1：x+y+1=0，l2：2x+2y-3=0，则l1与l2之间的距离为 ()A.2QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.将l2化为x+y-QUOTE=0，所求距离为QUOTE=QUOTE.2.P点在直线3x+y-5=0上，且P到直线x-y-1=0的距离为QUOTE，则P点坐标为 ()A.(1，2) B.(2，1)C.(1，2)或(2，-1) D.(2，1)或(-1，2)【解析】选C.设P(x，5-3x)，则d=QUOTE=QUOTE，|4x-6|=2，4x-6=±2，即x=1或x=2，故P(1，2)或(2，-1).3.在直线3x-4y-27=0上到点P(2，1)距离最近的点的坐标是 ()A.(5，-3) B.(9，0) C.(-3，5) D.(-5，3)【解析】选A.过P垂直于3x-4y-27=0的直线为y-1=-QUOTE(x-2)即4x+3y-11=0，由QUOTE得QUOTE4.(2024·北京高二检测)已知点P(1，1)，Q为直线x+y-1=0上随意一点，那么|PQ|的最小值是 ()A.1 B.2 C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.|PQ|的最小值就是点P到直线x+y-1=0的距离，d=QUOTE=QUOTE.5.已知点A(a，6)到直线3x-4y=2的距离为4，则a= ()A.2 B.QUOTE C.QUOTE D.2或QUOTE【解析】选D.由点到直线距离公式得d=QUOTE=QUOTE=4，即|3a-26|=20，所以3a-26=20或3a-26=-20，即a=QUOTE或a=2.【补偿训练】(2024·宜昌高二检测)两平行直线5x+12y+3=0与10x+24y+5=0之间的距离为_________.

【解析】直线10x+24y+5=0化为5x+12y+QUOTE=0，所求距离为QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE二、填空题(每小题5分，共20分)6.在坐标平面内，与点A(1，2)距离为1，且与点B(3，1)距离为2的直线共有条.

【解析】由题意知，所求直线斜率必存在，设为直线y=kx+b，即kx-y+b=0.由d1=QUOTE=1，d2=QUOTE=2，解得QUOTE或QUOTE答案：27.若两条平行直线3x-2y-1=0和6x+ay+c=0之间的距离为QUOTE，则QUOTE=_________.

【解析】由两条直线平行得a=-4，应用距离公式得QUOTE=QUOTE.解得|c+2|=4，所以QUOTE=QUOTE=±1.答案：±18.已知两条平行直线，l1：mx+8y+n=0与l2：2x+my-1=0间的距离为QUOTE，则直线l1的方程为_________.

【解析】因为l1∥l2，所以QUOTE=QUOTE≠QUOTE，所以QUOTE或QUOTE①当m=4时，直线l1的方程为4x+8y+n=0，把l2的方程写成4x+8y-2=0，所以QUOTE=QUOTE，解得n=-22或18.故所求直线的方程为2x+4y-11=0或2x+4y+9=0.②当m=-4时，直线l1的方程为4x-8y-n=0，l2的方程为4x-8y-2=0，所以QUOTE=QUOTE，解得n=-18或22.故所求直线的方程为2x-4y+9=0或2x-4y-11=0.答案：2x±4y+9=0或2x±4y-11=09.点P在直线x+3y=0上，且它到原点与到直线x+3y-2=0的距离相等，则点P的坐标为_________.

【解析】设点P的坐标为(-3t，t)，则QUOTE=QUOTE，解得t=±QUOTE，所以点P的坐标为QUOTE或QUOTE.答案：QUOTE或QUOTE三、解答题(每小题10分，共30分)10.(2024·天津高一检测)已知点P(2，-1).(1)求过点P且与原点距离为2的直线l的方程.(2)求过点P且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？【解析】(1)①当l的斜率k不存在时l的方程为x=2，符合题意；②当l的斜率k存在时，设l：y+1=k(x-2)，即kx-y-2k-1=0，由点到直线距离公式得QUOTE=2，解得k=QUOTE，所以l：3x-4y-10=0，综上，所求l的方程为x=2或3x-4y-10=0.(2)数形结合可得，过点P且与原点O距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，由l⊥OP，得klkOP=-1，所以kl=-QUOTE=2，直线l的方程为y+1=2(x-2)，即2x-y-5=0，即直线2x-y-5=0是过点P且与原点O距离最大的直线，最大距离为QUOTE=QUOTE.11.求过点P(-1，2)且与点A(2，3)和B(-4，5)距离相等的直线l的方程.【解析】方法一：设直线l的方程为y-2=k(x+1)，即kx-y+k+2=0.由题意知，QUOTE=QUOTE，即|3k-1|=|-3k-3|，所以k=-QUOTE.所以直线l的方程为y-2=-QUOTE(x+1)，即x+3y-5=0；当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=-1，也符合题意.故所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.方法二：当AB∥l时，有k=kAB=-QUOTE，直线l的方程为y-2=-QUOTE(x+1)，即x+3y-5=0.当l过AB中点时，AB的中点为(-1，4)，所以直线AB的方程为x=-1.故所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.12.(2024·万州高二检测)如图，△ABC的顶点A(3，2)，∠C的平分线CD所在直线方程为y-1=0，AC边上的高BH所在直线方程为4x+2y-9=0.(1)求顶点C的坐标.(2)求△ABC的面积.【解析】(1)因为AC⊥BH，所以kAC=QUOTE，所以直线AC的方程为y=QUOTEx+QUOTE，由QUOTE解得QUOTE所以C(1，1).(2)由kBC=-kAC=-QUOTE，所以直线BC的方程为y=-QUOTEx+QUOTE，由QUOTE解得QUOTE所以BQUOTE，所以|AC|=QUOTE=QUOTE，又因为点B到直线AC的距离d=QUOTE，所以S△ABC=QUOTE|AC|d=1.【补偿训练】已知三条直线l1：2x-y+a=0(a>0)；l2：-4x+2y+1=0；l3：x+y-1=0，且l1与l2间的距离是QUOTE.(1)求a的值.(2)能否找到一点P，使P同时满意下列三个条件：①点P在第一象限.②点P到l1的距离是点P到l2的距离的QUOTE.③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是QUOTE∶QUOTE.若能，求点P的坐标；若不能，说明理由.【解析】(1)直线l2：2x-y-QUOTE=0，所以两条平行线l1与l2间的距离为d=QUOTE=QUOTE，所以QUOTE=QUOTE，即a+QUOTE=QUOTE，又a>0，解得a=3.(2)假设存在点P，设点P(x0，y0)，若P点满意条件②，则P点在与l1，l2平行的直线l′：2x-y+c=0上，且QUOTE=QUOTE，即c=QUOTE或QUOTE，所以2x0-y0+QUOTE=0或2x0-y0+QUOTE=0；若P点满意条件③，由点到直线的距离公式，有QUOTE=QUOTE