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文档简介
6.3.5平面向量数量积的坐标表示(精讲)目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1:平面向量数量积的坐标表示题型2:向量的平行、垂直及应用题型3:向量的模题型4:向量的夹角题型5:与向量夹角有关的参数问题题型6:向量数量积的最值题型7:向量的模的最值三、高考(模拟)题体验一、必备知识分层透析知识点1:平面向量数量积的坐标表示在平面直角坐标系中,设,分别是轴,轴上的单位向量.向量分别等价于,,根据向量数量积的运算,有:由于,为正交单位向量,故,,,,从而.即,其含义是:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.知识点2:两个向量平行、垂直的坐标表示已知非零向量,(1).(2)知识点3:向量模的坐标表示(1)向量模的坐标表示若向量,由于,所以.其含义是:向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根.(2)两点间的距离公式已知原点,点,则,于是.其含义是:向量的模等于A,B两点之间的距离.(3)向量的单位向量的坐标表示设,表示方向上的单位向量知识点4:两向量夹角余弦的坐标表示已知非零向量,是与的夹角,则.二、重点题型分类研究题型1:平面向量数量积的坐标表示典型例题例题1.(2023·全国·高三专题练习)已知向量,,那么等于(
)A. B. C.1 D.0【答案】A【详解】,,.故选:A.例题2.(2023·全国·高三专题练习)如图在中,,为中点,,,,则()A.15 B.13 C.13 D.14【答案】C【详解】建立如图所示的平面直角坐标系,则,,,,又,,,则,即,即,则,,则,;故选:C.例题3.(2023·全国·高三专题练习)在中,,,,为的重心,在边上,且,则______.【答案】【详解】解:因为为的重心,所以,因为,所以,则,因为,所以,即,所以,在中,.方法一:因为,,所以,.方法二:以坐标原点,为轴,为轴建立平面直角坐标系,则,,由方法一可知,,所以.同类题型演练1.(2023·全国·高三专题练习)如图在中,,为中点,,,,则(
)A. B. C. D.【答案】C【详解】解:建立如图所示的平面直角坐标系,则,,,,又,,,则,即,即,则,则,,则;故选:C.2.(2023·全国·高三专题练习)已知向量,,若,则(
)A. B. C. D.【答案】C【详解】因为向量,,,所以,,所以.故选:C.3.(2023春·北京大兴·高三校考阶段练习)如图,四边形是边长为4的正方形,若,且为的中点,则______.【答案】5【详解】以A为坐标原点,以,所在的直线分别为轴,轴建立如图所示的平面直角坐标系,则,,,则,,所以.故答案为:5.4.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC中,H,D分别是边BC,AC上一点,,,,则___________.【答案】12【详解】如图,以H为坐标原点,BC所在直线为x轴,HD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则,,设,所以,,所以.故答案为:题型2:向量的平行、垂直及应用典型例题例题1.(2023春·江西赣州·高三赣州市赣县第三中学校考期中)已知向量,且,若,则实数的值为(
)A. B. C. D.【答案】D【详解】解:因为,且,所以,即,解得(舍)或所以,,因为,所以,解得.故选:D例题2.(2022春·湖北武汉·高二武汉市第四十九中学校考开学考试)设,向量,且,则(
)A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【详解】由题意向量,且,故得:,解得,故,故选:A例题3.(2022春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考期中)已知向量,,若,则的值为___________.【答案】【详解】因为向量,,所以,,又因为,所以,即,解得,所以的值为.故答案为:.例题4.(2022秋·云南曲靖·高一校考期末)已知向量,,且.(1)求,并求在上的投影;(2)若,求实数的值,并确定此时它们是同向还是反向?【答案】(1);(2)k=1,反向.(1)向量,,则,而,则有,解得,于是得,所以,在上的投影是.(2)由(1)知,,,又,则,解得,所以实数的值是,向量与的方向是反向.同类题型演练1.(2023春·福建宁德·高三校考阶段练习)已知,,,若,则向量在向量上的投影向量为(
)A. B. C. D.【答案】B【详解】,因为,所以,解得,,所以向量在向量上的投影向量为.故选:B.2.(2023春·广西·高三期末)已知向量,若,则m=___________.【答案】【详解】由题意可知,,因为,所以,得.故答案为:3.(2023春·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习)已知向量,若向量满足,则_________.【答案】【详解】设,由题意得,,因为,所以,即,解得,所以.故答案为:4.(2023·全国·高三专题练习)已知向量,,若,则___________.【答案】##2.5【详解】由题意,又,所以,解得.故答案为:.题型3:向量的模典型例题例题1.(2023·全国·高三专题练习)已知向量,,若与反向共线,则的值为(
)A.0 B.48 C. D.【答案】C【详解】由题意,得,又与反向共线,故,此时,故.故选:C.例题2.(2022春·江西·高三校联考阶段练习)设平面向量,若,则等于(
)A. B. C. D.【答案】B【详解】因为,所以,即,解得,即,则,所以.故选:B.例题3.(2023春·贵州贵阳·高三统考阶段练习)已知向量,则___.【答案】【详解】解:因为,所以,故故答案为:例题4.(2022·全国·高三专题练习)已知对任意平面向量,把绕其起点沿逆时针方向旋转得到向量,叫做把点绕点沿逆时针方向旋转得到点.已知平面内点,点,把点绕点沿逆时针后得到点,向量为向量在向量上的投影向量,则__________.【答案】##【详解】因为,,所以,,所以P点坐标为,所以,所以.故答案为:.同类题型演练1.(2022·高二课时练习)已知,是单位向量,且,则(
)A. B. C. D.【答案】D【详解】因为,所以,因为,是单位向量,所以,所以,所以,所以,故选:D2.(2022·全国·高三专题练习)已知向量,满足,,,则(
)A. B. C. D.【答案】C【详解】因为,所以,所以,则,所以,即.故选:C.3.(2022秋·河南南阳·高一统考期中)已知向量,且与的夹角,则(
)A. B.13 C. D.10【答案】A【详解】解:由题得,所以.故选:A4.(2023春·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段练习)已知向量,,若,则______【答案】【详解】根据题意,,解得,此时,则.故答案为:题型4:向量的夹角典型例题例题1.(2023·全国·高三专题练习)向量,,若、的夹角为钝角,则的取值范围是()A. B.C. D.【答案】C【详解】因为、的夹角为钝角,则且、不共线,所以,,解得且,因此,实数的取值范围是.故选:C.例题2.(2023·全国·高三专题练习)已知非零向量、满足,,则向量与向量夹角的余弦值为(
)A. B.C. D.【答案】A【详解】因为,所以可设,,则,,因为,所以,即.则,故选:A.例题3.(2022秋·湖北武汉·高一校联考期末)已知矩形的边长满足,点满足,则的值为___________.【答案】【详解】以点A为坐标原点,AB、AD所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系,设,则点A(0,0)、B(1,0),C(1,3)、D(0,3),,则点P(1,),∴,,因此,,,..故答案为:.例题4.(2022秋·河南·高一校联考阶段练习)已知向量,.(1)若,求.(2)若向量,,求与夹角的余弦值.【答案】(1)(2)(1)因为,,所以,.由,可得,即4(m+2)-6=0,解得,所以,故.(2)依题意得因为,所以3(2m-2)+2×9=0,解得m=-2,则,,所以,故与夹角的余弦值为.同类题型演练1.(2023·全国·高三专题练习)在矩形中,,,若,则与的夹角为(
)A. B. C. D.【答案】B【详解】如图:以为原点,建立如图的平面直角坐标系,因为四边形是矩形,,,,则,,,,则,,故,因为,所以,故选:B.2.(2022·高一课时练习)已知向量,,,则与的夹角为(
)A. B. C. D.【答案】A【详解】设与的夹角为,则.∵,,∴,∴.故选:A3.(2023·全国·高三专题练习)已知,,,与的夹角为.若为锐角,则的取值范围是__.【答案】且【详解】,且为锐角,所以,解得,又当时,,夹角,不成立,所以且,故答案为:且.4.(2023·全国·高三专题练习)已知向量,,,,则__________.【答案】【详解】解:因为,,所以,,,所以.故答案为:题型5:与向量夹角有关的参数问题典型例题例题1.(2022春·山西临汾·高三统考期中)已知平面向量,,与的夹角为钝角,则的取值范围是(
)A. B. C. D.【答案】D【详解】因为与的夹角为钝角,所以.所以,即,解得:.而与反向时,,此时,即,解得:,不符合题意.所以且.故选:D例题2.(2022·全国·高三专题练习)若向量与的夹角为锐角,则的取值范围为(
)A. B.C. D.【答案】D【详解】解:与夹角为锐角,则且与不同向,即,即,由,共线得,得,故.故选:D.例题3.(2022·高一单元测试)已知向量,,.(1)若,,三点共线,求实数的值;(2)若为锐角,求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】(1)解:因为,,,所以,,因为,,三点共线,所以与共线,所以,解得.所以实数的值(2)解:因为向量,,,所以,,因为为锐角,所以且与不共线,即,解得且,所以,实数的取值范围是同类题型演练1.(2022秋·上海浦东新·高一校考期末)已知,,且与的夹角是钝角,则的取值范围是(
)A. B. C. D.【答案】D【详解】因为与的夹角是钝角,所以,且,解得且.故选:D.2.(2022春·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习)已知,,且与的夹角为钝角,则实数k的取值范围是______.【答案】;【详解】因为,,且与的夹角为钝角,所以且不共线,则,解得且,即.故答案为:.3.(2022秋·山西·高一校联考阶段练习)已知向量,.(1)若,求;(2)若和的夹角为锐角,求的取值范围.【答案】(1)(2)(1)因为,所以,解得,所以,,,所以.(2)因为和的夹角为锐角,所以,即,解得且,所以的取值范围是.题型6:向量数量积的最值典型例题例题1.(2023·全国·高三专题练习)在菱形中,,点在菱形所在平面内,则的最小值为(
)A. B. C. D.【答案】C【详解】解:由菱形中,,可得且,设交于点,以为坐标原点,直线分别为轴,轴建立直角坐标系,如图,取中点,则,,设,则,所以当,时,取得最小值.故选:C.例题2.(2023·全国·高三专题练习)如图,线段,点,分别在轴和轴的非负半轴上运动,以为一边,在第一象限内作矩形,,设为原点,则的取值范围是()A. B. C. D.【答案】C【详解】解:如图令,,由于,故,,如图,,故,,故,同理可求得,即,∴,∵,∴.∵,∴的最大值是3,最小值是1,故选:C.例题3.(2022秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第一二二中学校校考期末)在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上,贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴,象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界(如图①),顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形(如图②).己知正六边形的边长为1,点满足,则________________;若点是线段上的动点(包括端点),则的最小值是________________.
图①
图②【答案】
##
##【详解】建立如图所示的平面直角坐标系,则,则,,设,则,,当时,的最小值为故答案为:;.例题4.(2022春·天津滨海新·高三校考阶段练习)如图,梯形,且,,,则_________,在线段上,则的最小值为_________.【答案】
##
##【详解】,,,,,,又,;作,垂足为,以为坐标原点,正方向为轴,可建立如图所示平面直角坐标系,则,,,,,设,,,解得:,,,,,,则当时,取得最小值,最小值为.故答案为:;.同类题型演练1.(2023·全国·高三专题练习)已知是边长为2的正方形,为平面内一点,则的最小值是(
)A. B. C. D.【答案】B【详解】是边长为2的正方形,则以点A为原点,直线AB,AD分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图:则,设点,,于是得:,当时,取得最小值,所以的最小值是.故选:B2.(2023·全国·高三专题练习)已知直角梯形是边上的一点,则的取值范围为(
)A. B. C. D.【答案】D【详解】法一:因为在上,不妨设,则(其中)所以,因为,所以法二:如图,以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立直角坐标系.则,,,,其中∠ABC=45°,设点,其中,,∴∵∴故选:D.3.(2023·全国·高三专题练习)已知在直角三角形中,为直角,,,若是边上的高,点在内部或边界上运动,则的取值范围(
)A. B. C. D.【答案】D【详解】如图:在直角三角形中,为直角,,,所以,建立直角坐标系如图所示:,直线的方程为:,所以直线的方程:,所以,点在内部或边界上运动,与夹角大于等于90°由图可得:与夹角大于等于,点在线段上时,,且为最大值,点在线段上时,有最小值,设点,.综上所述:的取值范围是.故选:D4.(2023·全国·高三专题练习)在矩形ABCD中,,,点P在AB边上,则向量在向量上的投影向量的长度是_____,的最大值是__________.【答案】
【详解】由题意可得,即向量在向量上的投影向量的长度是;如图,以A为坐标原点,AB为x轴,AD为y轴,建立平面直角坐标系,设,则,故,则,当时,取最大值为,故答案为:;题型7:向量的模的最值典型例题例题1.(2022秋·江苏南通·高一统考期末)如图,为矩形边中点,,分别在线段、上,其中,,,若,则的最小值为__________.【答案】【详解】解:建立如图所示的平面直角坐标系,可知,,分别在线段、上,设(),则,所以,所以,,所以,设,则,当且仅当时,取等号,所以的最小值为.故答案为:例题2.(2022·全国·高一期中)已知,.(1)若与的夹角为钝角,求实数的取值范围;(2)当时,求的取值范围.【答案】(1)(2)(1)解:因为,,所以,,因为与的夹角为钝角,所以,且,解得且,所以的取值范围为;(2)根据题意,,则,所以,又,则,所以的取值范围是.例题3.(2022秋·河南南阳·高一统考期中)已知是坐标原点,,,点满足.(1)求;(2)设,求的最小值.【答案】(1);(2).(1),,即,,,,,,.(2)由(1)知,,,所以当时,取得最小值,最小值为.同类题型演练1.(2023·全国·高三专题练习)已知为单位向量,向量满足:,则的最大值为(
)A. B. C. D.【答案】C【详解】解:可设,,则,即,则,,,当时,取得最大值为6,即的最大值为6.故选:C2.(2022秋·四川甘孜·高一统考期末)已知向量.(1)当时,求向量与的夹角;(2)求的最大值.【答案】(1)(2)4(1)解:当时,,,设与的夹角为,则,而,,即与的夹角为;(2)解:,,当时,取等号,的最大值为.3.(2022秋·北京·高一北京八十中校考期中)已知两个向量(1)求以及与垂直的单位向量;(2)当实数取何值时,向量与方向相反?(3)若(其中,求的最小值.【答案】(1),或;(2);(3);(1)由模长公式,,,设该单位向量的坐标为,则,得或,所以与垂直的单位向量为或.(2),,当向量与共线时,,解得或,当时,与同向,不合题意;当时,与反向,符合题
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