陕西省西安市2024−2025学年高二上学期10月月考数学试题含答案

陕西省西安市2024−2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知，则点A关于平面的对称点的坐标是（

）A． B． C． D．2．直线l：的一个方向向量为（

）A． B． C． D．3．已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，若与的夹角为，则m等于（）A．1 B． C． D．04．已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（

）A．，3 B．，2 C．1，3 D．，25．“”是“直线与直线平行”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（）A． B．C． D．7．在棱长为的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．8．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（

）A． B．C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知，则下列说法正确的是（

）A．是平面的一个法向量 B．四点共面C． D．10．已知直线，直线，则下列结论正确的是（

）A．在轴上的截距为 B．过定点C．若，则或 D．若，则11．如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（

）

A．三棱锥的体积是定值B．存在点P，使得与所成的角为C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为D．若，则P的轨迹的长度为三、填空题（本大题共3小题）12．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则13．在空间直角坐标系中，点为平面外一点，其中、，若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为．14．等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，M，N分别是的中点，则所成角的余弦值等于．四、解答题（本大题共5小题）15．已知的三个顶点为.(1)求边上的高所在直线的一般式方程；(2)求边上的中线所在直线的一般式方程.16．已知，，求：(1)；(2)与夹角的余弦值．17．已知平行六面体，底面是正方形，，，设．(1)试用表示；(2)求的长度．18．在四棱锥中，底面．(1)证明：；(2)求PD与平面所成的角的正弦值．19．如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．(1)求A到平面的距离；(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．

参考答案1．【答案】B【详解】点A关于平面的对称点的坐标是，故选：B．2．【答案】B【详解】由直线方程为，则是直线的一个方向向量.故选：B3．【答案】C【详解】因为直线的方向向量为，直线的方向向量为，与的夹角为，所以，解得.故选：C4．【答案】D【分析】由A，B，C三点共线，得与共线，然后利用共线向量定理列方程求解即可.【详解】因为，，，所以，，因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使，所以，所以，解得.故选D.5．【答案】C【详解】若直线与直线互相平行且不重合，则，解得，故.所以“”是“直线与直线互相平行且不重合”的充要条件．故选：C．6．【答案】B【详解】

设直线的倾斜角为，，当直线的斜率不存在时，，符合，当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，因为点，，，则，，因为直线经过点，且与线段总有公共点，所以，因为，又，所以，所以直线的倾斜角范围为.故选：B.7．【答案】A【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，，所以，，所以，，，所以点到直线的距离.故选：A8．【答案】A【详解】由重心坐标公式可得：重心，即.由，，可知外心在的垂直平分线上，所以设外心，因为，所以，解得，即：，则，故欧拉线方程为：，即：，故选：A.9．【答案】AD【详解】，所以平面，所以平面，所以是平面的一个法向量，故A正确；设，则，无解，所以四点不共面，故B错误；，所以与不平行，故C错误；，故D正确；故选：AD.10．【答案】ABD【详解】由易知，故A正确；由，故B正确；若两直线平行，则有且，解得，故C错误；若两直线垂直，则有，故D正确.故选：ABD11．【答案】ACD【详解】对于A，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，是定值，A正确；以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，设，则对于B，，使得与所成的角满足：，因为，故，故，而，B错误；对于C，平面的法向量，所以直线与平面所成角的正弦值为：，因为，故故，而，，故即的取值范围为，C正确；对于D，，由，可得，化简可得，在平面内，令，得，令，得，则P的轨迹的长度为，D正确；故选：ACD.12．【答案】【详解】因为平面的一个法向量为，平面β的一个法向量为，，所以，则，所以，解得，所以.故答案为：.13．【答案】/【详解】因为、，所以,记平面的一个法向量为，则，解得，故平面的一个法向量为.因为，所以,所以点到平面的距离为.故答案为：.14．【答案】【详解】设AB=2,作CO⊥面ABDEOH⊥AB，则CH⊥AB，∠CHO为二面角C−AB−D的平面角，，OH=CHcos∠CHO=1，结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，故EM,AN所成角的余弦值，15．【答案】(1)；(2).【详解】（1）因为的三个顶点为，所以直线的斜率为，所以边上的高所在直线的斜率为，所以直线的方程为，化为一般式方程为；（2）因为，所以的中点为，又因为，所以直线的斜率为，所以直线的点斜式方程为，化为一般式为.16．【答案】(1)，(2)－【分析】（1）根据向量平行，设，进而得到方程组，求出，根据向量垂直得到，求出，从而求出答案；（2）先计算出，，从而利用向量夹角公式求出答案.【详解】（1）因为，所以设，即，所以，解得，故又，所以，即，解得，于是．（2）由（1）得，，设与的夹角为，因为，所以与夹角的余弦值为.17．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量线性运算，结合几何体特征确定与的线性关系；（2）由（1），结合空间向量数量积的运算律及已知条件求的长度.【详解】（1）.（2），，所以.所以.18．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）作于，于，利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.（1）证明：在四边形中，作于，于，因为，所以四边形为等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因为平面，平面，所以，又，所以平面，又因为平面，所以；（2）解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，，则，则，设平面的法向量，则有，可取，则，所以与平面所成角的正弦值为.19．【答案】(1)(2)【详解】（1）在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h，则，解得，所以点A到平面的距离为；（2）取的中点E,连接AE,如图