《数学实验 第4版》课件 2.1 线性方程组的解

数学实验国家“十二五”规划教材山东省优秀教材一等奖主编：李秀珍庞常词2第二章方程及方程组的解实验2.1线性方程组的解

实验2.2非线性方程的解数学实验3若系数矩阵的秩，则方程组有唯一解；

线性方程组的通解=对应齐次方程组的通解+非齐次方程组的一个特解,其特解的求法属于解的第一类问题，通解部分属第二类问题．我们将线性方程组的求解分为两类：一类是求方程组的唯一解或求特解;

另一类是求方程组的无穷解即通解．可以通过系数矩阵的秩来判断：若系数矩阵的秩，则方程组可能有无穷解；数学实验4二、应用举例一、解线性方程组的MATLAB实现实验2.1线性方程组的解数学实验5一、解线性方程组的MATLAB实现1．求线性方程组的唯一解或特解

若是线性方程组的矩阵形式，则可以直接用矩阵的除法或初等变换法求线性方程组的唯一解或特解。例1

求方程组的解．A=[56000;15600;01560;00156;00015];B=[10001]';R_A=rank(A)%求秩X=A\B↙%求解解

方法一实验2.1线性方程组的解6R_A=5X=2.2662-1.72181.0571-0.59400.3188运行后结果如下方法二

用函数rref求解：C=[A,B]%由系数矩阵和常数列构成增广矩阵CR=rref(C)↙%将C化成行最简形R=1.000000002.266201.0000000-1.7218001.0000001.05710001.00000-0.594000001.00000.3188则R的最后一列元素就是所求之解．7例2

求方程组的一个特解．A=[11-3-1;3-1-34;15-9-8];B=[140]';X=A\B↙%由于系数矩阵不满秩，该解法可能存在误差解警告:秩亏，秩=2，tol=8.837264e-15.X=[00-0.53330.6000]’

可以验证所求X是方程组一个特解的近似值.这是因为系数矩阵奇异，方程组的解不存在或者不唯一，通过下述方式判断方程组是否有解.实验2.1线性方程组的解8R=1.00000-1.50000.75001.250001.0000-1.5000-1.7500-0.250000000因此，该方程组有无穷解.要求得一个特解，可使用函数rrefA=[11-3-1;3-1-34;15-9-8];B=[140]';C=[A,B];%构成增广矩阵

R=rref(C)↙C=[A,B];R_A=rank(A)R_C=rank(C)R_A=2R_C=2输出结果为令

，得方程组的一个特解X=(1.2500–0.250000)'．由此可见，不同的求解命令适用的条件不同，需要先判定适用的命令再进行求解.92.求线性齐次方程组的通解

在Matlab中，函数null用来求解零空间，即满足A·X=0的解空间，实际上是求出解空间的一组基（基础解系）．基本格式：z=null(A)%z的列向量为方程组的正交规范基，满足z=null(A,′r′)%z的列向量是方程AX=0的有理基实验2.1线性方程组的解10例3

求方程组的通解：解A=[1221;21-2-2;1-1-4-3];formatrat%指定有理式格式输出B=null(A,'r')↙%求解空间的有理基运行后显示结果如下：B=25/3-2-4/31001进一步写出通解，在命令窗口输入：实验2.1线性方程组的解symsk1k2X=k1*B(:,1)+k2*B(:,2)%写出方程组的通解pretty(X)↙

11运行后结果如下：X=[2*k1+5/3*k2][-2*k1-4/3*k2][k1][k2]实验2.1线性方程组的解或通过行最简形得到基：B=rref(A)↙B=1.00000-2.0000-1.666701.00002.00001.33330000123．求非齐次线性方程组的通解

非齐次线性方程组需要先判断方程组是否有解，若有解，再去求通解．因此，步骤为：第四步：的通解为的通解加上的一个特解．是否有解，若有解则进行第二步第一步：判断的一个特解第二步：求第三步：求的通解实验2.1线性方程组的解13例4

求解方程组解在Matlab中建立M文件如下：A=[1-23-1;3-15-3;212-2];b=[123]';B=[Ab];n=4;R_A=rank(A)R_B=rank(B)formatratifR_A==R_B&R_A==n%判断有唯一解

X=A\belseifR_A==R_B&R_A<n↙%判断有无穷解实验2.1线性方程组的解14X=A\b%求特解

C=null(A,'r')%求AX=0的基础解系elseX='equitionnosolve'%判断无解end运行后结果显示：R_A=2R_B=3X=equitionnosolve说明该方程组无解.15例5

求方程组的通解：解法一在Matlab编辑器中建立M文件如下：A=[11-3-1;3-1-34;15-9-8];b=[140]';B=[Ab];n=4;R_A=rank(A)R_B=rank(B)formatrat ifR_A==R_B&&R_A==nX=A\b elseifR_A==R_B&&R_A<nC=rref(B)%求增广矩阵的行最简形elseX='Equationhasnosolves'end实验2.1线性方程组的解16对应齐次方程组的基础解系为：非齐次方程组的特解为：所以，原方程组的通解为：运行后结果显示为：R_A=2R_B=2C=10-3/23/45/401-3/2-7/4-1/40000017二、应用举例

１．投入产出综合平衡分析

国民经济各个部门之间存在着相互依存的关系，每个部门在运转中将其他部门的产品或半成品经过加工（称为投入）变成自己的产品（称为产出），问题是如何根据各部门之间的投入产出关系，确定各部门的产出水平，以满足社会的需要，下面考虑一个简化的问题：

设国民经济仅有农业、制造业和服务业三个部门构成，已知某年它们之间的产出关系、外部需求、初始投入等如表2.1所示（数字表示产值，单位为亿元）．实验2.1线性方程组的解18

假定每个部门的产出与投入是成正比的，由表2.1能够确定这三个部门的投入产出表，如表2.2农业制造业服务业外部需求总产出农造业301045115200服务业2060/70150初始投入3511075总投入100200150表2.1国民经济各个部门间的关系产出投入表2.2投入产出表农业制造业服务业农业0.150.100.20制造业0.300.050.30服务业0.200.300产出投入实验2.1线性方程组的解19（1）设有个部门，记一定时期内第个部门的总产出为个部门的投入为，满足的外部需求为,则：（2.1）记第个部门的单位产出需要第个部门的投入为.在每个部门的产出与投入

成正比的假定下，有：

（2.2）式（2.2）代入式（2.1）得

（2.3）实验2.1线性方程组的解，其中对第20记投入系数矩阵，产出向量，需求向量

，则（2.3）式可写作

（2.4）（2.5）可逆，则：（2.6）或若和外部需求给定后，即可算出各部门的总产出.当投入系数实验2.1线性方程组的解21（2）将表2.2中的投入系数即对各部门的外部需求输入MATLAB，用以下程序：formata=[0.150.10.2;0.30.050.3;0.20.30];d=[50150100]';b=eye(3)-a;x=b\dc=inv(b)xx=c*d↙实验2.1线性方程组的解输出结果为x=139.2801267.6056208.1377c=1.34590.25040.34430.56341.26760.49300.43820.43041.2167xx=139.2801267.6056208.1377即三个部门的总产出分别应为139.2801，267.6056，208.1377（亿元）22（3）式（2.6）表明总产出对外部需求是线性的，增加一个单位时，单位时，农业、制造业和服务业的总产出应分别增加1.3459，0.5634，0.4382单位，其余类似，这些数字称为部门关联系数．的增量由决定，其第一列数字表明，当农业的需求增加一个实验2.1线性方程组的解所以当23２．大型输电网络设电源电压为一种大型输电网络可简化为图2.1所示电路，其中表示线路内阻，图2.1输电网络简化电路(1)

列出各负载上电流的方程；记上的电流为

（2.7）实验2.1线性方程组的解表示负载电阻，24（2.８）消去得：

（2.9）25

（2.9）记则方程（2.9）表示为：式（2.9）或式（2.10）