高中数学必修2期末模拟卷05（解析版）

期末模拟卷5

一.选择题（共8小题）

I.复数z满足；・（l+2i）=4+3。贝l」z等于（）

A.2-/B.2+zC.1+2/D.1-2/

【分析】利用复数的运算法则、共规复数的定义即可得出.

【解答】解：・・・；・（l+2i）=4+3。

.一一4+3i（4+3i）（l-2i）10-5-?_.

*，z=l+2i（l+2i）（l-2i）5-'

；・z=2+i.

故选：B.

2.某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1000名志愿者服用此药，体重变化结果统计如

表：

体重变化体重减轻体重不变体重增加

人数600200200

如果另有一人服用此药，估计这个人体重减轻的概率约为（）

A.0.1B.0.2C.0.5D.0.6

【分析】用样本的数字特征估计总体的数字特征，可得结论.

【解答】解：由题意可得，这个人体重减轻的概率约为型"=06,

1000

故选：D.

3.若圆锥W的底面半径与高均为1,则圆锥卬的表面积等于（）

A.（V2+1）71B.V271c.2nD.—

3

【分析】求出圆锥的母线长，再计算圆锥的侧面积和表面积.

V

【解答】解：圆锥的轴截面如图所示，c

则圆锥的母线为，=正7?=/，

所以该圆锥的侧面积为S则而枳=irr/=TT1•加，

圆锥的表面积为S表曲枳=Sm面枳+S底而积=12=（V24-1）IT.

故选：A.

4.不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件

“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（）

A.2张卡片都不是红色

B.2张卡片不都是红色

C.2张卡片至少有一张红色

D.2张卡片至多有1张红色

【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接判断.

【解答】解：不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡

片，

对于A,2张卡片都不是红色与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件，故A正

确；

对于8,2张卡片不都是红色与事件”2张卡片都为红色”是对立的事件，故B错误；

对于C,2张卡片至少有一张红色与事件“2张卡片都为红色”能同时发生，不是互斥事

件，故C错误：

对于。，2张卡片至多有1张红色现事件”2张卡片都为红色”是对立事件，故。错误.

故选：A.

5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若A=45°,B=60。，a=^/2,则。的

值为（）

A.V2B.V3C.V6D.2V6

【分析】由已知利用正弦定埋即可求解.

【解答】解：因为A=45°,8=60°,a=V2，

.近x噂

所以由正弦定理『二产，,可得6=史史殳=—―"=“.

sinAsinBsinA-2

故选：B.

6.在三棱柱ABC-4物。中，上下底面均为等腰直角三角形，且a，AAil

平面A8C,若该三棱柱存在内切球，则A4=（）

A.2B.2-V2C.2+\/2D.V2

【分析】易知，AB=®BC=AC=1,由三角形内切圆的半径公式，可得△ABC内切

圆的半径r,而内切球的半径H=r,棱柱的高/?=2R,再由A4_L平面A8C,可推出该三

棱柱为直三棱柱，故人4=儿

【解答】解：由题可知，△ABC为等腰直角三角形，

•••A8=V^C=M，・・・A8=&,BC=AC=1,

.•・△48C内切圆的半径r=BOAC-AB=2-&

22

•・•此三棱柱存在内切球，

:.内切球的半径R=r=2-圾、且棱柱的高h=2R=2-圾，

2

•・・44|_1平面/18。，・,・该三棱柱为直三棱柱，

.*.AAi=h=2-V2-

故选：B.

7.甲、乙两人独立地破译一份密码，破译的概率分别为工，工，则密码被破译的概率为（）

32

A.AB.2C.苴D.1

636

【分析】密码被破译的对立事件是甲、乙同时不能破译密码，由此利用对立事件概率计

算公式和相互独立事件概率乘法公式能求出密码被破译的概率.

【解答】解：甲、乙两人独立地破译一份密码，

设事件A表示甲能破译密码，事件B表示乙能破译密码，

则p（A）=Xp（8）=-1,

32

密码被破译的对立事件是甲、乙同时不能破译密码，

・••密码被破译的概率为：

P=\-P（AB）=1・P（I）P（B）

=i-（1-A）（i-A）

对于4，DM=［（DE+DB>故A错误;

对于3,DECYffiACDE,BCD、F面AC£>E于C,CWDE,

・••由异面直线判定定理得直线。E与BC是异面直线，故B正确：

对于C,,,,点、M,N分别为BEBA的中点，：,MN//AE,

•：AE//CDt:.MN"CD,故C正确；

对于。，■:DMCCN=P,D£nCA=6，平面A3CC平面

:BP,。是平面ABC和平面8DE的公共点，

:・B,尸，。三点共线，故。正确.

故选：BCD.

10.某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为1〜1000的

1000名学生进行了调查.调查中使用了两个问题.问题1：您的编号是否为奇数？问题2：

您是否吸烟？被调杳者随机从设计好的随机装置（内有除颜色外完全相同的白球100个，

红球100个）中摸出一个小球：若摸出白球则回答问题1,若摸出红球则回答问题2,共

有270人回答“是。则下述正确的是（）

A.估计被调查者中约有520人吸烟

B.估计约有20人对问题2的回答为“是”

C.估计该地区约有4%的中学生吸烟

D.估计该地区约有2%的中学生吸烟

【分析】根据题意知被调查者回答第•个问题的概率为工，其编号是奇数的概率也是工，

22

计算可得随机抽出的1000名学生中回答第一个问题且为“是”的学生数，

由此求出回答第二个问题且为是的人数，由此估计此地区中学生吸烟人数的百分比，进

而估计出被调查者中吸烟的人数，判断选项可得结论.

【解答】解：随机抽出的1000名学生中，回答第一个问题的概率是工，

2

其编号是奇数的概率也是工，

2

所以回答问题1且回答是的人数为1000XJLX_1=250；

22

所以回答第二个问题，且为是的人数270・250=20；

由此估计此地区中学生吸烟人数的百分比为也=4%.

500

估计被调查者中约有1000X4%=40人吸烟.

故表述正确的是8c

故选：BC.

11.ZVIBC中，。为边AC上的一点，且满足腐」•沃，若P为边80上的一点，且满足

2

AP=mAB-^AC（机>0,〃>0），则下列结论正确的是（）

A.m+2n=1B.mn的最大值为」-

12

C.9二的最小值为6+喈D./+9〃2的最小值为▲

mn2

【分析】利用向量共线定理可得：，〃+3〃=1,再利用基本不等式以及“乘1法”逐一判

断即可.

【解答】解：因为前4而所以标［正，

/O

所以AP=mAB+nAC=/»AB+3//AD«

因为B、P、。三点共线，所以加+3〃=1,故A错误；

则严3n）2=2，则

'2"412

即〃?〃最大值为」一，当且仅当〃?=3〃，即〃?=」,〃=2时取等号，故8正确；

1226

44-（44）（/n+3/2）=坨+皿+724立+7,当且仅当工生=典时取等号，

mnmnmnmn

所以空二的最小值为4晶+7,故C错误；

mn

"P+9〃2=（由+3〃）2-6mn=1-・6X」-=工，当且仅当m=工，〃=工时取等号，

12226

所以加2+9次的最小值为故£）正确.

2

故选：BD.

12.如图，线段4B为圆O的直径，点E,尸在圆O上，EF//AB,矩形A8CO所在平面和

圆。所在平面垂直，且A8=2,EF=AD=\,则下述正确的是（）

A.0F〃平面8CE

B.8b_1_平面4。/

C.点A到平面C£>M的距离为近1

7

D.三棱锥C-BEF外接球的体积为遥兀

【分析】利用直线与平面平行的判定判断4证明直线与平面垂直判断&利用等体积法

求8到平面8庄的距离，可得点A到平面。尸E的距离判断C找出三棱锥C-8痔

外接球的球心，求出半径，进一步求得外接球的体积判断Q.

【解答】解：*：EF//AB,:,EF〃OB,

又48=2,EF=1,：,EF=OB=\,则四边形OFEB为平行四边形，

得OF〃EB,而ORt平面BCE,BEu平面8CE,

・・・0尸〃平面BCE,故A正确；

VDAIAH.平面4AC。I^FifiAFER,且平面4/?「。0平面人户内/?=人。.

，AO_L平面AFEB,则A£>_LB凡由8尸_LARADC\AF=A,

・・.8尸_1平面4。尸，故4正确;

由48〃上凡平面CEREFu平面CE凡可得4B〃平面CEF.

则点A到平面CDFE的距离等于B到平面CDFE的距离.

在△(?£/中，由已知可得06=。/=M=1,则aoE尸为等边三角形,

由对称性可知NBOE=NA。尸=60°,MOA=OF=OE=OB,

则△AO产与aBOE也是等边三角形，且边长均为1.

可知8E=M=1,BF=近,NBEF=120°,

由已知结合勾股定理求得CE=V^,CF=2,EF=1,

用打斗”CEF呼

则cosZCEF=

・Qi_1、，/T、八„V14夜c1…V3

..SHEF一工x版x\x4=厂SABEF而xix-^^.

设8到平面CDFE的距离为力,由Me-BEF=VB-CEF,

得工xY2xi』xtxh，・•♦〃='豆，故CIE确；

34347

△BE尸外接圆的圆心为O,则矩形ABCD对角线长的一半为三棱锥C-BEF外接球的半

径.

,则三棱锥C-BEF外接球的体积为V=A兀x3具中加故。错误.

36

故选：ABC.

13.向量之是单位向量,|bl=2,a±b.则1二+%=_加

【分析】由题意可得Z・E=o,进行向量的模的运算带入求值即可得答案.

【解答】解：•.•aJLga,b=O；

•.・A-=4盘产+(近2+2之吊=加・

故答案为：V5.

14.正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长和高均为2,点。为侧棱CC1的中点，连接40，

8Q,则与平面A3。所成角的正弦值为返.

一2一

【分析】建立空间直角坐标系。-孙z,求出平面AB。的法向量，利用空间向量的数量积

求解CiD与平面ABD所成角的正弦值即可.

【解答】解：如图，建立空间直角坐标系0-孙z,

。为的中点，由已知,A(-l,O,2),B(l,O,2),D(0,0，C1(0,正，0)，

所以标=(2,0,0)，AD=(1,V3，-I)-

设平面A3。的法向量为n=(x,y,z),

,fn*AB=2x=0人,miIrz

由，令y=l,贝!Jz=V3,

n*AD=x-h/3y-z=0

所以平面A4。的法向量为7=(0，1,陋),C^D=(O,0,1)，

则。。与平面48。所成角的正弦值为：[1上当.

InllCiDl2

故答案为：返.

2

_

15•设角AtB,C是△A8C的二个内角，已知向量m=(sinA+sinC,sinBsinA/

—T,TT

n=(sinA-sinC,sinB)，且m_Ln则角。的大小为——_.

J

【分析】由己知结合向量数量积的坐标表示及正弦定理，余弦定理即可求解.

【解答】解：由已知可得，m・n=sin2A-sin2C+sin2B-sirk4sinB=O,

所以sin2A-sin2C+sin2B=sinAsinB,

由正弦定理可得，a2+b2-cz=ab,

所以cosC」+b2-c22,

2ab2

因为C为三角形的内角，

所以。=匹；

3

故答案为：2L

3

16.某人有3把钥匙，其中2把能打开门，如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能打开门

的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率为1;如果试过的钥匙又混进去，第二

一3一

次才能打开门的概率为2.

-9-

【分析】3)第二次才能打开门是指第一次没有打开门，第二次打开门，由此利用相互

独立事件概率乘法公式能求出第二次才能打开门的概率；

(2)试过的钥匙又混进去，利用相互独立事件概率乘法公式能求出第二次才能打开门的

概率.

【解答】解：(1)某人有3把钥匙，其中2把能打开门，随机地取一把钥匙试着开门，

把不能打开门的钥匙扔掉，

第二次才能打开门是指第一次没有打开门，第二次打开门，

・•・第二次才能打开门的概率为「=工乂2=工：

323

(2)试过的钥匙又混进去，第二次才能打开门的概率为：P=lX-=".

339

故答案为：1,2.

39

四.解答题(共6小题)

17.已知i是虚数单位，复数z1=i,Z=l+i,Z/Y丁

i49Ji4l+i

(1)求|Z1|,|Z2|,|Z3|,|Z4|;

(2)随机从复数Z2,Z3,Z4中有放回的先后任取两个复数，求所取两个复数的模之积等

于1的概率.

【分析】(1)利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解|Z1|,|Z2|,

|Z3|,附；

(2)写出随机从复数Z2,Z3,Z4中有放回的先后任取两个复数的事件数，求出所取两个

爱数的模之积等于1的事件数，再由古典概型概率公式求解.

【解答】解：⑴由题意知：|Z1|=1,|z21=^171=72*

231+1=1-匕

Z「l+=(l+i)(l-i)-卜j2-2'氏1也丁2,

(2)设随机从复数Z2,Z3,Zi中有放回的任取两个复数的样本点为(a,b),

则该随机试验的样本空间为Q={(Z2,Z2),(Z2,Z3),(Z2,Z4),(Z3,Z2),(Z3,Z3),

(Z3,Z4),(Zt,Z2),(Z4,Z3),(Z4,Zl))

所以〃(0)=9,

设事件A="所取两个复数的模之积等于1”，

则事件4={(Z2,Zl),(Z3,Z4),(Z4,Z2),(Z4,Z3)},

"n⑷=4,故p(A)=^^普

18.己知在四面体A8c。中，AB=ACfDB=DC,点E,F,G,〃分别为棱40,BD,DC,

BC上的点，且DF=2FB,DG=2GC,AE=1AD(OW入Wl).

(I)当人=2时，求证：AM〃平面EFG；

3

(II)当入变化时，求证：平面人。/，平面£7P.

Hn

M

【分析】(I)当人=2时，AE』AD，推导出所〃AB,EG//AC,从而平面ABC〃平面

33

EFG,由此能证明AM〃平面EFG.

(II)推导出AM_L8C,DMIBC,BC//GF,从而8C_L平面ADM,GF_L平面ADM,

由此能证明当入变化时，平面ADM_L平面E/G.

【解答】证明：(I)当入=▲时，AE』AE，

33

;四面体人AC力中，AB=AC,DR=DC.

点、E,尸，G,M分别为棱AO,BD,DC,上的点，BM=MC,DF=2FB,DG=2GC,

：.EF//AB,EG"AC,又EF「EG=E,48nAe=4,

二平面ABC〃平面EFG,

•••AMu平面ABC,.'.AM〃平面EFG.

(II)9：AB=AC,DB=DC,点E,F,G,M分别为棱AD,BD,DC,BC上的点，

BM=MC,DF=2FB,DG=2GC,AE=\AD(OW入Wl).

••・AM_L8C,DMLBC,BC//GF,

'：AMr\DM=M,••・8C_L平面ADM,

,:GF〃BC,AGFXTEADM,

VGFcYfflEFG,

:.当A变化时，平面AOMJ_平面EFG.

19.在①sinBsinC=4；②tanB+tanC莘这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，

43

并进行作答.

在△4BC中，内角A,B,。的对边分别为mb,c,tanBtanC^a=2“，.

3

(1)求角A,&C的大小；

(2)求△ABC的周长和面积.

【分析】(1)若选择①：利用三角函数恒等变换的应用，结合范围B+CE(0,TT),可求

合，A=^，利用两角差的余弦函数公式可求cos（8-C）=l,结合

BYE（g上可求BC。,可得B©全

若选择②：（法一）由题意，利用基本不等式可求tanB+tanC>2jtanB・tanC邛，

0

可得B=c=g，利用三角形的内角和定理可求A的值;

/0应x」二o的两根，利用一元二次方程的解法可

（法二）设tanB,lanC为方程,

33

tanB=tanC=^,且从CG（0,TT）,可求B=C=着，利用三角形的内角和定理可求

o

4的值;

（2）由正弦定理可求力=c=2,利用三角形的面积公式即可求解.

【解答】解：(1)若选择①：

119

因为tanBtanCfsinBsinC^y所以cosBcosC-y(2分)

344

所以cos(BK);cosBcosC-sinBsinC,，

因为5+CW(0,n),所以B+C=-^~，A=2j(4分)

又因为cos(B-C)=cos8cosc+sin8sinC=1,B-CE,■—')

33

所以8-C=0,B=C=—(65b)

6

若选择②:

（法一）由题意知，tanB>0,tanOO,

”_______2-JQ

耳，以tanB+tanC〉2VtanB*tanC=&（2分）

o

因为当且仅当tanB二tanC当时，上式的等号成立，且&Ce（0,n）（3分）

所以B=c=,（5分）

所以A=7T-（B+C）N^（6分）

乂2乌①x+1=0的两根附分）

（法二）设lanB,lanC为方程,

解得tanB=tanC=、，r且8,CE(0>n)(4分)

O

所以B=c=匹(5分)

6

所以A=JT-（B+C）=^"（6分）

o

（2）由正弦定理知：.=,b=,c（7分）

sinAsinBsinC

因为A/j，B=C=-^-»a=2V3

所以b=c=2（9分）

所以△ABC的周长为4+2加（10分）

所以△ABC的面积SAABC^z-bcsinA=V3（“分）

20.如图1,/XABC是等腰直角三角形NC4B=90°,AC=2afE,尸分别为AC,BC的中

点，沿即将尸折起，得到如图2所示的四棱锥C'-ABFE

（I）求证：A8_L平面AEC'；

（II）当四棱锥C'・ARE/?体积取最大值时.

（D若G为BC中点，求异面直线G尸与AC'所成角；

（万）在C'-A8FE中AE交BF于C,求二面角4-CC'-B的余弦值.

图1图2

【分析】（I）推导出七工LAE,£?±C£,从而七”1.平面A《C,由此能证明A6J_平面

AEC.

（II）（i）取AC中点D,连接DE,EF,FG,GD,推导出四边形DEFG为平行四边形，

直线G尸与AC所成角就是OE与AC所成角，由此能求出直线GF与A。所成角.

（”）分别以丛、EF、所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用

向量法能求出平面C4七与平面C8r的平面角的夹角的余弦值.

【解答】证明：（I）因为△4BC是等腰直角三角形，NCAB=90°,E,F分别为4C,

BC的中点，

所以EF_LAE,EFVCE.

又因为4EGCE=E,所以E尸_L平面AEC.

由于E/〃AB,所以有AB_L平面4EC.4分

解：(II)(力取4C中点£>,连接£>£EF,FG,GD,

由于GO为△ABC中位线，以及E尸为△ABC中位线，

所以四边形OEFG为平行四边形.

直线GF与4c所成角就是DE与AC所成角.

所以四棱锥C-A8FE体积取最大值时，CE垂直于底面4BFE.

此时△AEC为等腰直角三角形，

ED为中线，所以直线EO_LAC.

又因为ED〃GR所以直线G尸与AC所成角为工.10分

2

(//)因为四棱锥C-ABFE体积取最大值，

分别以m、EF、EC所布直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图.

则C(0,0,a),B(a,2a,0),F(0,a,0),CB(a,2。，-a),CF(0,a,

设平面CB厂的一个法向量为;=(x,y,z),

由「・Wl=ax+2ay-az=0得,fey=I,得£(.i,i,,

n・C'F=ay-az=0

平面CAE的一个法向量7=<0,1,0).

m・n1V3

所以COSVn>=

ImI*InIV33

故平面CAE与平面C8广的平面角的夹角的余弦值为返.14分

3

c

21.有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的1.00〃〃小(即百万分之

一)时，人食用它，就会对人体产生危害.现从一批该鱼中随机选出30条鱼，检验鱼体

中的汞含量与其体重的比值(单位：ppm),数据统计如图：

0.070.240.390.540.610.660.730.820.820.82

0.870.910.950.980.981.021.021.081.141.20

1.201.261.291.311.371.401.441.581.621.68

(1)求上述数据的中位数、众数、极差，并估计这批鱼该项数据的80%分位数；

(2)有A,8两个水池，两水池之间有10个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在水下，

且可以同时通过2条鱼.

(i)将其中汞的含量最低的2条鱼分别放入4水池和8水池中，若这2条鱼的游动相

互独立，均有工的概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率；

3

(ii)将其中汞的含量最低的2条鱼都先放入A水池中，若这2条鱼均会独立地且等可

能地从其中任意一个小孔由A水池进入B水池且不再游回A水池，求这两条鱼由不同小

孔进入B水池的概率.

【分析】(1)由所给数据能求出数据的中位数，数据的众数，数据的极差，能估计这批

鱼该项数据的80百分位数.

(2)(i)记“两鱼最终均在A水池”为事件A,记“两鱼最终均在B水池”为事件8,

利用相互独立事件概率乘法公式求出尸(A),P(5),由事件4与事件B互斥，能求出

两条鱼最终在同一水池的概率.

(ii)记“两鱼同时从第一个小孔通过”为事件“两鱼同时从第二个小孔通过”为

事件C2,……依此类推.由两鱼的游动独立，得至UP(C,)二P(C力=…=—X!二」

1Q10100

由事件。，事件c2,……互斥，得到pQ)=p(c1Uc2U…Ug0)=1°x焉=±7

1IIJIJIIJ

记“两条鱼由不同小孔进入8水池”为事件C,由。与C1UC2U…UCo对立，能求出

这两条鱼由不同小孔进入B水池的概率.

【解答】解：(1)由题意如，数据的中位数为0・98+1.02;

2

数据的众数为0.82,

数据的极差为1.68-0.07=1.61,

估计这批鱼该项数据的80百分位数约为L31+L37口.3小

2

(2)(i)记“两鱼最终均在A水池”为事件4,则p(A)h|x£-1

记“两鱼最终均在8水池”为事件8,则p(B)=?x工上，

339

因为事件A与事件B互斥，

所以两条鱼最终在同一水池的概率为p(AUB);P(A)+P(B)工/

999

(ii)记“两鱼同时从第一个小孔通过”为事件Ci,

“两鱼同时从第二个小孔通过”为事件C2,……依此类推.

因为两鱼的游动独立，所以「(01)4(，力=・,二1-乂」^二」-，

10八10100

因为事件。，事件Q,……互斥，

所以P(^)=P(C]UC2U…ucjnox忐二，

记“两条鱼由不同小孔进入B水池”为事件C,

则C与C1UC2U…UC10对立，

所以P(C)=1-P(C1UC2U・・・UC1O)吟・

22