中考初中数学基础巩固复习专题（九） 图形的变换与四边形

中考初中数学基础巩固复习专题（九）

图形的变换与四边形

【知识要点】

知识点1：图形的变换与镶嵌

轴对称I-

函

图■I生活中的对称顼豪出

案

形中心对称卜

变

欣

换

___________________.H平移规律H平移作图不赏

与

生活中的平移与旋转H二.._与

镶___________________q旋转规律I旋转作图F-

设

嵌

计

一型号能镶嵌的画

-I生活中的锂蔽

边形的组合镶嵌卜

知识点2：四边形的定义、判定及性质

内角和

多边/形

富夕卜角和

情

平

境丝

行判

四定

边L|对角线;I

形边

角

而鬲缓

知识点3：矩形、菱形及正方形的判定

矩形

加：一个内角为90°且一缜邻;池相等

平行四边形正方形

菱形

知识点4：矩形、菱形及正方形的性质

矩5.对角线相等

形6.四个内角为90°

正Ti.而边平声］

方mj

形K|2.对边相等

菱边T3.对角相等1

形篝形।

T4.对角线互相平分I

47.四条边相辱］

48.对角线互相垂直|

19.对角线平分各内角I

直角梯形

-

四

边

形

一等腰梯形

【复习点拨】

1、掌握平移、旋转、对称的性质，灵活地运用平移、旋转、对称解决生活中的问题。

2、掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形的定义、判定、性质，利用这些特殊四边

形进行综合计算和证明。

【典例解析】

例题1:（2017山东枣庄）将数字“6”旋转例0°,得到数字例"，将数字例”旋转180°,

得到数字“6”，现将数字“69”旋转180°,得到的数字是（）

A.96B.69C.66D.99

【考点】R1：生活中的旋转现象.

【分析】直接利用中心对称图形的性质结合69的特点得出答案.

【解答】解：现将数字“69”旋转180°,得到的数字是：69.

故选：B.

例题2：（2017山东枣庄）如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折

痕为MN,再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB的长为2,则

FM的长为（）

【考点】PB：翻折变换（折叠问题）.

【分析】根据翻折不变性，AB=FB=2,BM=1,在Rt^BFM中,可利用勾股定理求出FM的值.

【解答】解：•••四边形ABCD为正方形，AB=2,过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F

处，

；.FB=AB=2,BM=1,

则在Rt^BMF中,

FM=VBF2-BM2地2_12=弧,

故选：B.

例题3：（2017山东枣庄）在矩形ABCD中，NB的角平分线BE与AD交于点E,NBED的角

平分线EF与DC交于点F,若AB=9,DF=2FC,则BC="万+3.（结果保留根号）

【考点】LB：矩形的性质；KI：等腰三角形的判定；S9：相似三角形的判定与性质.

【分析】先延长EF和BC,交于点G,再根据条件可以判断三角形ABE为等腰直角三角形，

并求得其斜边BE的长,然后根据条件判断三角形BEG为等腰三角形，最后根据AEEDsaGFC

得出CG与DE的倍数关系，并根据BG=BC+CG进行计算即可.

【解答】解：延长EF和BC,交于点G

,/矩形ABCD中，ZB的角平分线BE与AD交于点E,

AZABE=ZAEB=45°，

；.AB=AE=9,

，直角三角形ABE中，BE=V92+92=

又•；NBED的角平分线EF与DC交于点F,

ZBEG=ZDEF

VAD//BC

ZG=ZDEF

ZBEG=ZG

；.BG=BE=972

由/G=NDEF,ZEFD=ZGFC,可得△EFDs/\GFC

.CG二CF二CF二1

，eDE'DF"2CF

设CG=x,DE=2x,则AD=9+2x=BC

,/BG=BC+CG

W^9+2X+X

解得X=M-3

；.BC=9+2（班-3）=班历+3

故答案为：65/2+2

例题4：(2017山东枣庄)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A

(2,2),B(4,0),C(4,-4).

(1)请在图中，画出AABC向左平移6个单位长度后得到的△ABG；

(2)以点0为位似中心，将aABC缩小为原来的费,得到△A2B2C2,请在图中y轴右侧，画

出4A262c2,并求出NA2cB的正弦值.

【考点】SD：作图-位似变换；Q4：作图-平移变换；T7：解直角三角形.

【分析】(1)直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；

(2)利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案.

【解答】解：(1)如图所示：△ABG,即为所求；

(2)如图所示：△A2B2C2,即为所求，

由图形可知，ZA2C2B2=ZACB,

过点A作AD1BC交BC的延长线于点D,

由A(2,2),C(4,-4),B(4,0),易得D(4,2),

故AD=2,CD=6,AC=^22+62=2^>

/.sinZACB=皿匝，

AC2V1010

即sinNA2c2B2=Y50.

10

例题5：

例题6：(2017甘肃张掖)如图，矩形ABCD中，AB=6,BC=4,过对角线BD中点。的直线分

别交AB,CD边于点E,F.

(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；

(2)当四边形BEDF是菱形时，求EF的长.

【考点】LB：矩形的性质：L7：平行四边形的判定与性质；L8：菱形的性质.

【分析】(1)根据平行四边形ABCD的性质，判定ABOE岭ADOF(ASA),得出四边形BEDF

的对角线互相平分，进而得出结论；

(2)在RtZ\ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE,由勾股定理求出BD,得出0B,

再由勾股定理求出E0,即可得出EF的长.

【解答】(1)证明：•..四边形ABCD是矩形，0是BD的中点，

，NA=90°,AD=BC=4,AB〃DC,OB=OD,

/.ZOBE=ZODF,

"ZOBE=ZODF

在ABOE和△DOF中，，OB=OD，

ZBOE=ZDOF

.,.△BOE^ADOF(ASA),

/.EO=FO,

四边形BEDF是平行四边形；

(2)解：当四边形BEDF是菱形时，BE±EF,

设BE=x,则DE=x,AE=6-x,

在Rt/XADE中，DE2=AD2+A£Z,

.\xM2+(6-x))

解得：x=*^,

7BD=VAD2+AB2=2V13>

.*.OB=yBD=V13，

VBD1EF,

；•E0=VBE2-OB2='

，EF=2E0=&fi^.

3

例题7：（2017重庆B）如图，正方形ABCD中，AD=4,点E是对角线AC上一点，连接DE,

过点E作EFLED,交AB于点F,连接DF,交AC于点G,将aEEG沿EF翻折，得到

连接DM,交EF于点N,若点F是AB的中点，则AEMN的周长是5亚WI3.

~2~

DC

H

AFB

【分析】如图1,作辅助线，构建全等三角形，根据全等三角形对应边相等证明FQ=BQ=PE=1,

△DEF是等腰直角三角形，利用勾理计算DE=EF=JT5,PD={DE2-PE2=3,如图2,由平行

相似证明△DGCS^FGA,列比例式可得FG和CG的长，从而得EG的长，根据aGHF是等腰

直角三角形，得GU和F1I的长，利用DE〃GM证明△DENS/\MNH,则述上此，得EN=2/S,

MHNH2

从而计算出AEMN各边的长，相加可得周长.

【解答】解：如图1,过E作PQLDC,交DC于P,交AB于Q,连接BE,

VDCZ/AB,

.*.PQ±AB,

:四边形ABCD是正方形，

.,.NACD=45°,

•••△PEC是等腰直角三角形，

Z.PE=PC,

设PC=x,则PE=x,PD=4-x,EQ=4-x,

；.PD=EQ,

,/ZDPE=ZEQF=90°,ZPED=ZEFQ,

/.△DPE^AEQF,

.*.DE=EF,

易证明aDEC丝△BEC,

・・・DE=BE,

AEF=BE,

VEQ±FB,

.-.FQ=BQ=ABF,

2

VABM,F是AB的中点,

ABF=2,

AFQ=BQ=PE=1,

・・・CE=加,

RtZ\DAF中，DF=3+22=2V^,

VDE=EF,DE±EF,

•••△DEF是等腰直角三角形,

.,.DE=EF=军心,

V2

•',PD=VDE2-PE2=3,

如图2,；DC〃AB,

.".△DGC^AFGA,

•CGDCDG_4_

••--------------------—----乙9，

AGAFFG2

ACG=2AG,DG=2FG,

.-.FG=AX2娓

33

VAC=22=4

V4+4V2«

二.CG=2X472=-^^.

33

...EG=8M-后殳②

33

连接GM、GN,交EF于H,

VZGFE=45°,

...△GIF是等腰直角三角形,

2娓

.,.GH=FH=_3=VIo,

近3

AEH=EF-FH=VTO-y叵一入叵,

33

由折叠得：GM_LEF,MH=GH=

3

AZEHM=ZDEF=90°，

，DE〃HM,

.,.△DEN^AMNH,

•・•—DE二—EN，

MHNH

AEN=3NH,

VEN+NH—EH=.?VJ^,

_3

2___

.\NH=EH-£2型匝-,

326______________

RSGNH中，6加而病］（粤_/+（噜产平,

由折叠得:MN折N,EM=EG,

.附的周-fe=EN+MN+EM=£返+=5后W1U.

__2632

故答案为：旦立叵.

2

B

图2

【点评】本题考查了正方形的性质、翻折变换的性质、三角形全等、相似的性质和判定、勾

股定理，三角函数，计算比较复杂，作辅助线，构建全等三角形，计算出PE的长是关键.

例题8：(2017山东枣庄)已知正方形ABCD,P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF,

使点F在线段CB的延长线上，连接EA,EC.

(1)如图1,若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；

(2)如图2,若点P在线段AB的中点，连接AC,判断4ACE的形状，并说明理由；

(3)如图3,若点P在线段AB上，连接AC,当EP平分/AEC时，设AB=a,BP=b,求a：b

及/AEC的度数.

【考点】L0：四边形综合题.

【分析】(1)根据正方形的性质证明AAPE岭aCFE,可得结论；

(2)分别证明NPAE=45°和NBAC=45°,则/CAE=90°,即4ACE是直角三角形；

(3)分别计算PG和BG的长，利用平行线分线段成比例定理列比例式得：善里，即

BCGB

b_a-b

a2b-a

解得：a=&b,得出a与b的比，再计算GH和BG的长，根据角平分线的逆定理得：/HCG=

ZBCG,由平行线的内错角得：ZAEC=ZACB=45°.

【解答】证明：(1)•••四边形ABCD和四边形BPEF是正方形，

/.AB=BC,BP=BF,

.\AP=CF,

在4APE和4CFE中，

'AP=CF

NP=/F，

PE=EF

/.△APE^ACFE,

.\EA=EC；

(2)4ACE是直角三角形，理由是：

如图2,；P为AB的中点,

；.PA=PB,

；PB=PE,

；.PA=PE,

/.ZPAE=45",

又"BAC=45°,

.-.ZCAE=90°,即AACE是直角三角形;

(3)设CE交AB于G,

；EP平分NAEC,EP_LAG,

/.AP=PG=a-b,BG=a-(2a-2b)=2b-a,

VPE^CF,

_

.PEPGHHbab

••—，IA|J~~—,

BCGBa2b-a

解得：a=

/•a：b-^2：1,

作GH1AC于H,

VZCAB=45°,

.-.HG=^AG=^.(272b-2b)=(2-&)b,

22

又・・"6=21)-4=(2-亚)b,

・・・GH=GB,GH±AC,GB±BC,

.\ZHCG=ZBCG,

VPE//CF,

JNPEG=NBCG,

AZAEC=ZACB=45°.

图3

【达标检测】

一、选择题

1.（2017浙江义乌）在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图.该

图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，ZACF=ZAFC,ZFAE=

，则NECD的度数是（）

23°D.24°

【考点】LB：矩形的性质；JA：平行线的性质.

【分析】由矩形的性质得出/D=90°,AB〃CD,AD〃BC,证出NFEA=NECD,ZDAC=ZACB=21°,

由三角形的外角性质得出NACF=2NFEA,设NECD=x,则NACF=2x,ZACD=3x,在RtAACD

中，由互余两角关系得出方程，解方程即可.

【解答】解：..♦四边形ABCD是矩形,

.•.ZD=90°,AB〃CD,AD/7BC,

AZFEA=ZECD,NDAC=NACB=21°,

ZACF=ZAFC,ZFAE=ZFEA,

Z.ZACF=2ZFEA,

设NECD=x,则NACF=2x,

；./ACD=3x,

在RtZiACD中,3x+21°=90°,

解得：x=23°；

故选：C.

2.（2017甘肃张掖）下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（）

【考点】R5：中心对称图形.

【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可.

【解答】解：A图形不是中心对称图形；

B图形是中心对称图形；

C图形不是中心对称图形；

D图形不是中心对称图形，

故选：B.

3.

4.

5.

二、填空题：

6.

7.

8.（2017浙江义乌）如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角

线BD上,GE±CD,GF1BC,AD=1500m,小敏行走的路线为B-A-E,小聪行走的路线为

B-A-DfE-F.若小敏行走的路程为3100m,则小聪行走的路程为4600m.

【考点】LE：正方形的性质；KI）：全等三角形的判定与性质；LD：矩形的判定与性质.

【分析】连接CG,由正方形的对称性，易知AG=CG,由正方形的对角线互相平分一组对角，

GE±DC,易得DE=GE.在矩形GECF中，EF=CG.要计算小聪走的路程，只要得到小聪比小敏

多走了多少就行.

【解答】解：连接GC,

•••四边形ABCD为正方形，

所以AD=DC,ZADB=ZCDB=45°,

VZCDB=45°,GE1DC,

••.△DEG是等腰直角三角形，

；.DE=GE.

在AAGD和4GDC中，

rAD=DC

,ZADG=ZCDG

DG=DG

.,.△AGD^AGDC

.*.AG=CG

在矩形GECF中，EF=CG,

.\EF=AG.

VBA+AD+DE+EF-BA-AG-GE

=AD=1500m.

:小敏共走了3100m,

.,•小聪行走的路程为3100+1500

=4600（m）

故答案为：4600

9.（2017浙江衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4,BC=6,将AABC沿AC折叠，使点B

落在点E处，CE交AD于点F,则DF的长等于（）

E

D

B：......................7C

A.—B.—C.—D.—

5334

【考点】PB：翻折变换(折叠问题)；LB：矩形的性质.

【分析】根据折叠的性质得到AE=AB,ZE=ZB=90°,易证Rt^AEF且RtaCDF,即可得到结

论EF=DF；易得FC=FA,设FA=x,则FC=x,FD=6-x,在RtZ\CDF中利用勾股定理得到关于

x的方程X2=42+(6-x)2,解方程求出X.

【解答】解：•.•矩形ABCD沿对角线AC对折，使aABC落在AACE的位置，

AAE=AB,ZE=ZB=90°,

又•..四边形ABCD为矩形，

.\AB=CD,

.*.AE=DC,

而/AFE=/DFC,

•.•在4AEF与aCDF中，

fZAFE=ZCFD

■ZE=ZD，

AE=CD

AAAEF^ACDF(AAS),

.\EF=DF；

,••四边形ABC!)为矩形，

；.AD=BC=6,CD=AB=4,

VRtAAEF^RtACDF,

；.FC=FA,

设FA=x,则FC=x,FD=6-x,

在RSCDF中,CF2=CD2+DF2,BPX2=42+(6-X)2,解得x=^,

3

则FD=6-x=^.

3

故选：B.

E

D

B

10.（2017张家界）如图，在正方形ABCD中，AD=2«，把边BC绕点B逆时针旋转30°

得到线段BP,连接AP并延长交CD于点E,连接PC,则三角形PCE的面积为6、质-10.

【考点】R2：旋转的性质；LE；正方形的性质.

【分析】根据旋转的想知道的PB=BC=AB,/PBC=30°,推出AABP是等边三角形，得到N

BAP=60°,AP=AB=2>/3,解直角三角形得到CE=2«-2,PE=4-2«,过P作PF±CD于F,

于是得到结论.

【解答】解：•••四边形ABCD是正方形，

ZABC=90°,

•••把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP,

.\PB=BC=AB,ZPBC=30°,

ZABP=60°,

AABP是等边三角形,

ZBAP=60°,AP=AB=2次,

：AD=2避，

；.AE=4,DE=2,

；.CE=2/-2,PE=4-2«,

过P作PF±CD于F,

...PF=2^PE=2F-3,

三角形PCE的面积="1CE・PF=£X(273-2)X(4-273)=6b-10,

故答案为：65/3-10.

D

B

三、解答题

11.（2017湖南岳阳）求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

小红同学根据题意画出了图形，并写出了己知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写

出证明过程.

己知：如图，在QABCD中，对角线AC,BD交于点0,知，BD

求证：四边形ABCD是菱形.

【分析】由命题的题设和结论可填出答案，由平行四边形的性质可证得AC为线段BD的垂直

平分线，可求得AB=AD,可得四边形ABCD是菱形.

【解答】已知：如图，在口ABCD中，对角线AC,BD交于点0,AC±BD,

求证：四边形ABCD是菱形.

证明:

•••四边形ABCD为平行四边形,

.\B0=D0,

VAC1BD,

；.AC垂直平分BD,

；.AB=AD,

...四边形ABCD为菱豚

故答案为：AC±BD；四边形ABCD是菱形.

【点评】本题主要考查菱形的判定及平行四边形的性质，利用平行四边形的性质证得AB=AD

是解题的关键.

12.如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E,交CB的延长线于点F,

连接AF,BE.

(1)求证：AAGE丝△BGF；

(2)试判断四边形AFBE的形状，并说明理由.

【考点】L5：平行四边形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；KG：线段垂直平分线的性

质.

【分析】(1)由平行四边形的性质得出AD〃BC,得出NAEG=NBFG,由AAS证明△AGE^4

BGF即可；

(2)由全等三角形的性质得出AE=BF,由AD〃BC,证出四边形AFBE是平行四边形，再根据

EF1AB,即可得出结论.

【解答】(1)证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

NAEG=NBFG,

•；EF垂直平分AB,

；.AG=BG,

'NAEG=NBFG

在aAGEH和△BGF中，，NAGE=NBGF，

AG=BG

/.△AGE^ABGF(AAS)；

(2)解：四边形AFBE是菱形，理由如下：

VAAGE^ABGF,

，AE=BF,

VAD//BC,

四边形AFBE是平行四边形，

又；EF_LAB,

...四边形AFBE是菱形.

13.定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形.

(1)如图1,等腰直角四边形ABCD,AB=BC,ZABC=90",

①若AB=CD=1,AB〃CD,求对角线BD的长.

②若AC_LBD,求证：AD=CD,

(2)如图2,在矩形ABCD中，AB=5,BC=9,点P是对角线BD上一点，且BP=2PD,过点P

作直线分别交边AD,BC于点E,F,使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长.

【考点】L0：四边形综合题.

【分析】(1)①只要证明四边形ABCD是正方形即可解决问题；

②只要证明4ABD丝Z\CBD,即可解决问题；

(2)若EFLBC,则AEWEF,BFWEF,推出四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件.若

EF与BC不垂直，①当AE=AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，②当BF=AB

时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，分别求解即可；

【解答】解：(1)①：AB=AC=1,AB〃CD,

.,.S四边形ABCD是平行四边形，

VAB=BC,

四边形ABCD是菱形，

•••ZABC=90°,

二四边形ABCD是正方形,

*'•BD=AC=41]2=

⑵如图1中，连接AC、BD.

VAB=BC,AC±BD,

NABD=NCBD,

VBD=BD,

/.△ABD^ACBD,

；.AD=CD.

(2)若EFJ_BC,则AEKEF,BFKEF,

四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件.

若EF与BC不垂直，

①当AE=AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形,

；.AE=AB=5.

②当BF=AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形,

；.BF=AB=5,

：DE〃BF,

ADE：BF=PD：PB=1：2,

；.DE=2.5,

.,.AE=9-2.5=6.5,

综上所述，满足条件的AE的长为5或6.5.

14.(2017浙江衢州)在直角坐标系中，过原点0及点A(8,0),C(0,6)作矩形0ABC、

连结0B,点D为0B的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE,作DFJ_DE,交0A于点F,

连结EF.已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间

为t秒.

(1)如图1,当t=3时，求DF的长.

(2)如图2,当点E在线段AB上移动的过程中，/DEF的大小是否发生变化？如果变化，

请说明理由；如果不变，请求出tan/DEF的值.

(3)连结AD,当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值.

【考点】L0：四边形综合题.

【分析】(1)当t=3时，点E为AB的中点，由三角形中位线定理得出DE〃OA,DE=^0A=4,

2

再由矩形的性质证出DE，AB,得出N0AB=NDEA=90°,证出四边形DFAE是矩形,得出DF=AE=3

即可；

(2)作叫_LOA于M,DNLAB于N,证明四边形DMAN是矩形，得出NMDN=90°，皿〃AB,

DN/70A,由平行线得出比例式段吃，黑=罂，由三角形中位线定理得出DM=4AB=3,

DONABDMA2

DN=40A=4,证明△DMFSADNE,得出些关=g，再由三角函数定义即可得出答案；

2DEDN4

(3)作作DML0A于M,DNLAB于N,若AD将ADEF的面积分成1：2的两部分，设AD交

EF于点G,则点G为EF的三等分点；

q

①当点E到达中点之前时，NE=3-t,由△DMFs/XDNE得：MF=—(3-t),求出AF=4+MF=

4

-gt+尊，得出G(坐0，?t),求出直线AD的解析式为y=-gx+6,把G(空舁，

44123412

-1t)代入即可求出t的值；

②当点E越过中点之后，NE=t-3,由△DMFs^DNE得：MF=—(t-3),求出AF=4-MF=-

4

St+空，得出G(空空，=t),代入直线AD的解析式y=-ax+6求出t的值即可.

44634

【解答】解：(1)当t=3时，点E为AB的中点，

VA(8,0),C(0,6),

；.0A=8,0C=6,

I•点D为OB的中点,

；.DE〃OA,DE=_0A=4,

2

•••四边形OABC是矩形,

AOAIAB,

ADElAB,

/.ZOAB=ZDEA=90°,

XVDF1DE,

ZEDF=90°,

...四边形DFAE是矩形,

；.DF=AE=3；

(2)/DEF的大小不变；理由如下:

作DM_LOA于M,DNJ_AB于N,如图2所示:

.•四边形OABC是矩形，

\OA±AB,

•.四边形DMAN是矩形，

ZMDN=90",DM〃AB,DN〃OA,

•BD_BNDO=0M

'DO^NA，BD一加’

.,点D为OB的中点,

,•M>N分别是OA、AB的中点,

\DM=—AB=3,DN=—0A=4,

22

ZZEDF=90°,

•.ZFDM=ZEDN,

XVZDMF=ZDNE=90°,

,.△DMF^ADNE,

.DFDM_3

-DE=DN-'4,

ZEDF=90°,

tanZDEF="^-=—

DE4

(3)作DM_LOA于M,DN_LAB于N,

若AD将4DEF的面积分成1：2的两部分,

设AD交EF于点G,则点G为EF的三等分点;

①当点E到达中点之前时，如图3所示，NE=3-t,

q

由△DMFsZkDNE得：MF=—(3-t),

4

.\AF=4+MF=-—1+—,

44

•.•点G为EF的三等分点，

小喑，尹,

设直线AD的解析式为y=kx+b,

(8k+b=0

把A(8,0),I)(4,3)代入得:

l4k+b=3'

\J_

解得：〈=4，

b=6

，直线AD的解析式为y=-gx+6,

4

3t+71>4t)代入得：t=1^；

把G(

12341

②当点E越过中点之后，如图4所示，NE=t-3,

由△DMFs/\DNE得：MF=—(t-3),

4

.\AF=4-MF=--1+—,