2024-2025学年陕西省宝鸡市高二上学期10月月考数学阶段检测试题（含解析）

2024-2025学年陕西省宝鸡市高二上学期10月月考数学阶段检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．设是不同的直线，是不同的平面，下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则2．已知三角形ABC的三个顶点分别为，，，则AB边上的中线所在直线的方程为（

）A． B．C． D．3．过点P（1，1）作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积为1，则直线l有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条4．已知圆过点A(1,0),则圆C的圆心的轨迹是（

）A．点 B．直线 C．线段 D．圆5．若a2＋b2＝2c2（c≠0），则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为（

）A． B．1 C． D．6．如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为（

）A． B． C． D．17．是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小为（

）A． B． C． D．8．若圆C1与圆C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|等于()A．4 B．42C．8 D．82二、多选题（本大题共3小题）9．下列说法中正确的是（

）A．是直线与直线平行的充分不必要条件B．是直线与直线垂直的充分不必要条件C．经过点，且在两坐标轴上的截距相反的直线方程是D．若一条直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为10．已知圆，圆，，且，不同时为交于不同的两点，，下列结论正确的是（

）A．B．C．D．11．一块正方体形木料如图所示，棱长为，点在线段上，且，过点将木料锯开，使得截面过，则（

）A．B．截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱台C．截面的面积为D．以为球心，为半径的球面与截面的交线长为三、填空题（本大题共3小题）12．已知O为坐标原点，，，若与的夹角为120°，则实数．13．如图所示，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，是椭圆的顶点，是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率是．

14．已知直线与曲线有两个交点，则m的取值范围为．四、解答题（本大题共5小题）15．设两点的坐标分别为，．直线相交于点，且它们的斜率之积是．(1)求点的轨迹方程．(2)若，在的轨迹上任取一点（异于点），求线段长的最大值．16．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且．(1)求A；(2)若，则的面积为，求b，c．17．从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人.（1）分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间.（2）在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率.18．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面平面．

(1)求证：；(2)求平面APB与平面夹角的余弦值；(3)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．19．已知点为圆上的动点，点，延长至点使得为的中点．(1)求点的轨迹方程．(2)过圆外点向圆引两条切线，且切点分别为两点，求最小值．(3)若直线l：与圆交于两点，且直线的斜率分别为，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

答案1．【正确答案】C【详解】对于A，由可能得到平行于的交线，不一定有，即A错误；对于B，不妨取正方体的一部分如下图所示：此时，可得，即B错误；对于C，由面面垂直的判定定理即可得出C正确；对于D，由可得，可在平面内找一条直线满足，可得，即D错误.故选：C2．【正确答案】C【详解】边的中点为，∴边上的中线所在直线的方程，即.故选：C3．【正确答案】B【详解】由题意可知，直线的斜率存在，则设直线的方程为，令，解得；令，解得.，化为，即①，②，由于方程①，方程②无解，可得两个方程共有2个不同的解.因此直线共有2条.故选：B.4．【正确答案】D【详解】圆的圆心为，半径为.由于在圆上，故，也即圆的圆心满足方程，所以圆的圆心的轨迹方程是，所以圆C的圆心的轨迹是圆.故选：D5．【正确答案】D【详解】试题分析：因为，所以设弦长为，则，即.考点：本小题主要考查直线与圆的位置关系——相交.6．【正确答案】B【详解】过点B作BE垂直A1C，垂足为E，设点E的坐标为(x，y，z)，则A1(0,0,3)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，＝(1,2，－3)，＝(x，y，z－3)，＝(x－1，y，z)．因为，所以，解得，所以＝(－，，)，所以点B到直线A1C的距离||＝，故答案为B7．【正确答案】B【详解】是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，，，，，在中，，，故选．8．【正确答案】C∵两圆与两坐标轴都相切,且都经过点(4,1),∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等.设两圆的圆心坐标分别为(a,a),(b,b),则有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2,即a,b为方程(4-x)2+(1-x)2=x2的两个根,整理得x2-10x+17=0,∴a+b=10,ab=17.∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32,∴|C1C2|=(a−b)9．【正确答案】BD【详解】对A，若直线与直线平行，即，故是直线与直线平行的即不充分又不必要条件，A错；对B，直线与直线垂直，即或，故是直线与直线垂直的充分不必要条件，B对；对C，截距相反的直线可能过原点，C错；对D，该直线显然有斜率，设直线为，则沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后的直线为，即有，由两直线重合则有，D对.故选：BD10．【正确答案】ABC【详解】根据题意：圆和圆交于不同的两点A，，两圆方程相减可得直线的方程为：，即，分别把点Ax1,y1，，上面两式相减得：，即，所以选项正确；由上得：，所以选项B正确；两圆的半径相等，由圆的性质可知，线段与线段互相平分，则有，变形可得，，故C正确，D错误.故选：ABC.11．【正确答案】ACD【详解】对于A，是正方体的对角面，则四边形为矩形，，由平面，平面，得，而，平面，则平面，又平面，因此，A正确；对于B，过点作直线平行于交分别于，连接，显然，则四边形为过点及直线的正方体的截面，截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱柱，B错误；对于C，由选项B得，则，，因此截面矩形面积，C正确；对于D，过作于，由平面，平面，得，而平面，则平面，因此为以为球心，为半径的球面被平面所截小圆圆心，球面与截面的交线为以为圆心，为半径的半圆弧，显然，，因此交线长为，D正确.故选：ACD12．【正确答案】【详解】，，，，，，，，，，，，，，，与的夹角为，，解得．故13．【正确答案】【详解】根据题意设椭圆的标准方程为，如图所示则有，直线方程为，代入方程可得，所以，又，所以，即，整理可得；所以，即，即可得椭圆的离心率为.故14．【正确答案】【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点，又曲线可化为，其表示以为圆心，半径为2的圆的下半部分，如图.当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得，设，则，由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，须得，即m的取值范围为.故答案为.15．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）设点，因为，如下图所示：所以直线的斜率，同理直线的斜率；由已知可得，化简可得；即点的轨迹方程为，即点M的轨迹是除去，两点的椭圆．（2）设，则，所以，即，根据椭圆范围可得，所以时，最大为，所以线段PQ长的最大值为．16．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）根据正弦定理可得，又易知，所以，可得，又，整理得，即，又，所以，即．（2）由，，得．由余弦定理得，所以，又，所以．17．【正确答案】（1）详见解析（2）;;（1）设第一次抽取的人记为，第二次抽取的人记为，则可用数组表示样本点.，有放回地抽样，任取一个，然后与所有的组合，包括自身；无放回抽样，任取一个，然后与剩下的所有组合；按性别等比例分层抽样，取一个男的，只能与一个女的组合，同样取一个女的，只能与一个男的组合．这样可一一列举出所有样本点．（2）分别求出各种抽样中事件所含样本点的个数，然后计算概率．【详解】解：设第一次抽取的人记为，第二次抽取的人记为，则可用数组表示样本点.（1）根据相应的抽样方法可知：有放回简单随机抽样的样本空间，，，不放回简单随机抽样的样本空间，，，按性别等比例分层抽样，先从男生中抽一人，再从女生中抽一人，其样本空间（2）设事件A=“抽到两名男生”，则对于有放回简单随机抽样，，因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型.因此.对于不放回简单随机抽样，，因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型.因此因为按性别等比例分层抽样，不可能抽到两名男生，所以，因此.18．【正确答案】(1)证明见详解(2)(3)不存在，理由见详解【详解】（1）因为平面平面，平面平面，且，平面，可得平面，因为平面，所以.（2）取中点，连接，因为，则，因为平面平面，平面平面，平面，可得平面，由平面，可得，因为，则，可知四边形是平行四边形，则，如图，以为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系，

则可得，设平面APB的法向量为，则，令，则，可得；设平面的法向量为，则，令