2024学年上海市松江区高二数学上学期期中练习卷及答案解析

学年上海市松江区高二数学上学期期中练习卷考试时间：120分钟试卷满分：150分一、填空题（本大题满分54分，第1~6题，每空4分；第7~12题，每空5分）1.已知空间向量，，则_________________.2.直线与平面所成角的范围是_________________.3.已知球的半径为3，则球的表面积为_______________4.若面，面，面，则平面与平面的位置关系_________.5.已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是圆心角等于的扇形，则该圆锥的体积为_____________.6.如图所示，正方体中，，分别是棱，中点，则异面直线与所成的角为______.7.如图，圆所在平面，是圆的直径，是圆周上一点，其中，，，则与平面所成角的正弦值为_____________.8.如图，正方体的棱长为2，则二面角的大小为_____________.（结果用反三角函数表示）9.在棱长为1的正方体中，点为上的动点，则的最小值为___________.10.圆柱底面半径为1，高为，为上底底面的直径，点是下底底面圆弧上的一个动点，点绕着下底底面旋转一周，则面积的范围是___________________.11.已知圆柱的底面半径为1，高为，，分别为上、下底面圆的直径，当，则四面体的体积为_____________.12.如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为.若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为，则___________.二、选择题（本大题满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）13.“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号语言表述是（）A B. C. D.14.若用斜二测画法画一个水平放置平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形是（）A.B.C.D.15.设m，n是两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A.若m//α，nα，则m//n B.若m//α，m⊥n，则n⊥αC.若m⊥α，m⊥n，则n//α D.若m⊥α，n//α，则m⊥n16.如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，侧面上有一个小孔，点到的距离为3，若该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面与桌面所成的锐二面角的正切值为（）A. B. C. D.2三、解答题（本大题共5题，满分78分）17.如图，长方体中，，点P为的中点.（1）求证:直线平面;（2）求异面直线、所成角的大小.18.如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长.（1）求“浮球”的体积：（2）要在这样个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶克，共需要胶多少克？19.如图，已知点在圆柱的底面圆上，，圆的直径，圆柱的高.（1）求点到平面的距离；（2）求二面角的余弦值大小.20.如图所示，在四棱锥中，侧面⊥底面，侧棱，，底面为直角梯形，其中，，，O为中点.（1）求直线与平面所成角的余弦值；（2）求点到平面的距离；（3）线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.21.如图，在四棱锥中，底面是边长为4正方形，是正三角形，平面，，，，分别是，，，的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小；（3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长度：若不存在，说明理由.2024学年上海市松江区高二数学上学期期中练习卷考试时间：120分钟试卷满分：150分一、填空题（本大题满分54分，第1~6题，每空4分；第7~12题，每空5分）1.已知空间向量，，则_________________.【答案】【解析】【分析】根据空间向量数量积运算可求得结果.【详解】因为，，所以故答案为：2.直线与平面所成角的范围是_________________.【答案】【解析】【分析】利用直线与平面所成角的定义可得结论.【详解】直线和平面所成的角，应分三种情况：①直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；②直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为；③直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为．显然，斜线和平面所成角的范围是；直线和平面所成的角的范围为．故答案为：．3.已知球的半径为3，则球的表面积为_______________【答案】【解析】【分析】由球的表面积公式计算即可.【详解】因为球的半径为3，所以球的表面积为.故答案为：.4.若面，面，面，则平面与平面的位置关系_________.【答案】相交【解析】【分析】根据给定条件利用平面的基本事实直接判断即可.【详解】因面，面，面，则面与面有公共点A，且不重合，所以面与面的位置关系是相交.故答案为：相交5.已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是圆心角等于的扇形，则该圆锥的体积为_____________.【答案】【解析】【分析】首先根据展开图和圆锥的关系，可设圆锥的底面半径为，则在展开图扇形中有，求得，求得圆锥的高为，利用圆锥的体积公式即可得解.【详解】设圆锥的底面半径为，则展开图扇形的弧长为，展开图的半径为母线长，所以，解得，所以圆锥的高为，所以.故答案：.6.如图所示，正方体中，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成的角为______.【答案】【解析】【分析】先利用平行关系找到为异面直线和所成的角或其补角，再利用正方体性质求角的大小即可.【详解】连接，，，则为的中位线，∴.又∵，∴四边形平行四边形，∴.∴.∴为异面直线和所成的角或其补角.正方体中，易知，，∴为正三角形，∴.∴与所成的角为.故答案为：.7.如图，圆所在平面，是圆的直径，是圆周上一点，其中，，，则与平面所成角的正弦值为_____________.【答案】##【解析】【分析】首先证明平面，然后可得与平面所成角为，然后可得答案.【详解】因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，所以在平面上的射影为，所以与平面所成角为，因为，所以，所以故答案为：8.如图，正方体的棱长为2，则二面角的大小为_____________.（结果用反三角函数表示）【答案】【解析】分析】建立空间直角坐标系，求平面法向量，利用公式求解即可.【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，∴.设平面的法向量为，则，令，则，故，同理可得平面的法向量为，∴，二面角的大小为.故答案为：.9.在棱长为1的正方体中，点为上的动点，则的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】将正方形、铺平在同一平面上，当三点共线时，最小，然后可得答案.【详解】如图，将正方形、铺平在同一平面上，当三点共线时，最小，最小值为，故答案为：10.圆柱底面半径为1，高为，为上底底面的直径，点是下底底面圆弧上的一个动点，点绕着下底底面旋转一周，则面积的范围是___________________.【答案】【分析】据题意，设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，过作，垂足为，由于为定值，故面积的大小随的长度的变化而变化，由图可知，当点与点重合时以及当点与点重合时，分别求出的最大值和最小值，即可求出面积的范围.【详解】如图1，设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，过作，垂足为，则，据题意，为底面直径，是定值，故面积的大小随的长度的变化而变化，由图2可知，当点与点重合时，，此时取得最大值为，如图3所示，当点与点重合时，，此时取得最小大值为，综上所述，面积的范围为.故答案为：11.已知圆柱的底面半径为1，高为，，分别为上、下底面圆的直径，当，则四面体的体积为_____________.【答案】【解析】【分析】通过圆柱的特征可得线面垂直，把四面体看做两个共底面的三棱锥即可求体积.【详解】如图所示，圆柱底面圆心记为，连接，∵，，，平面，平面，∴平面，∴.故答案为：.12.如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为.若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为，则___________.【答案】【解析】【分析】画出截面图，设储物盒所在球的半径为，从而利用表达出小球最大半径和正方体棱长，进而求出比值.【详解】设储物盒所在球的半径为，如图，小球最大半径满足，所以，正方体的最大棱长满足，解得：，∴，故答案为：二、选择题（本大题满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）13.“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号语言表述是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据点与线、点与面的关系是元素和集合的关系，线与面的关系是集合与集合的关系判断即可.【详解】平面内有一条直线，，点在直线上，，.故选：B.14.若用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用斜二测画法判断.【详解】解：由斜二测画法知：平行或与x轴重合的线段长度不变，平行关系不变，平行或与y轴重合的线段长度减半，平行关系不变，故选：A15.设m，n是两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A.若m//α，nα，则m//n B.若m//α，m⊥n，则n⊥αC.若m⊥α，m⊥n，则n//α D.若m⊥α，n//α，则m⊥n【答案】D根据线面关系的性质依次判断即可.【详解】对于A，若m//α，nα，则m//n或异面，故A错误；对于B，若m//α，m⊥n，则与相交、平行或在内，故B错误；对于C，若m⊥α，m⊥n，则n//α或在内，故C错误；对于D，若m⊥α，n//α，则m⊥n，故D正确.故选：D.16.如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，侧面上有一个小孔，点到的距离为3，若该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面与桌面所成的锐二面角的正切值为（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】根据题意，当水恰好流出时，即由水的等体积可求出正方体倾斜后，水面到底面的距离，再由边长关系可得四边形是平行四边形，从而侧面与桌面所转化成侧面与平面所成的角,进而在直角三角形中求出其正切值.【详解】由题意知，水的体积为，如图所示，设正方体水槽绕倾斜后，水面分别与棱交于，由题意知，水的体积为，所以，即，解得，在平面内，过点作交于，则四边形是平行四边形，且，又侧面与桌面所成的角即侧面与水面所成的角，即侧面与平面所成的角,其平面角为，在直角三角形中，.故选：D.【点睛】思路点睛：利用定义法求二面角，在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条垂线所成的角即为二面角的平面角.三、解答题（本大题共5题，满分78分）17.如图，长方体中，，点P为的中点.（1）求证:直线平面;（2）求异面直线、所成角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）设和交于点O，则O为的中点，证得，结合线面平行的判定定理，即可求解；（2）由（1）知，，得到异面直线与所成的角就等于与所成的角，在直角中，即可求解.【小问1详解】由题意得O为的中点，连结，又因为P是的中点，故，又因为平面，平面，所以直线平面.【小问2详解】由（1）知，，所以异面直线与所成的角就等于与所成的角，故即为所求；因为，为的中点，则，则易知，因为为中点，则，在直角中，可得，又因为，所以.18.如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长.（1）求“浮球”的体积：（2）要在这样个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶克，共需要胶多少克？【答案】（1）（2）克【解析】【分析】（1）分别求出两个半球的体积，和圆柱体的体积，即可求出“浮球”的体积；（2）先求出一个“浮球”表面积，再求出个的面积，即可求解.【小问1详解】该半球的直径，柱筒高，所以“浮球”的圆柱筒直径也是，得球的半径与圆柱底面半径均为，所以两个半球的体积之和为，而，该“浮球”的体积是；【小问2详解】上下两个半球的表面积是，而“浮球”的圆柱筒侧面积为，所以个“浮球”的表面积为，因此，个“浮球”的表面积的和为，因为每平方米需要涂胶克，所以总共需要胶的质量为：（克）．19.如图，已知点在圆柱的底面圆上，，圆的直径，圆柱的高.（1）求点到平面的距离；（2）求二面角的余弦值大小.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据等体积法，由即可求出点到平面的距离；（2）先证明，，由线面垂直的判定定理可得面，进而可得即为所求二面角的平面角，在中，计算即可求解.【详解】（1）因为，，所以，在中，由余弦定理可得：，所以，，在中，由余弦定理可得，所，所以，设点到平面的距离为，由，得，即，解得：，所以点到平面的距离为；（2）二面角即二面角，因为是圆的直径，点在圆柱的底面圆上，所以，因为面，面，可得，因为，所以面，因为面，面，所以，，所以即为二面角的平面角，在中，，，所以，所以二面角的余弦值为.20.如图所示，在四棱锥中，侧面⊥底面，侧棱，，底面为直角梯形，其中，，，O为的中点.（1）求直线与平面所成角的余弦值；（2）求点到平面的距离；（3）线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，且【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质可推得平面.根据已知得出.以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，得出点以及向量的坐标.根据线面垂直的判定定理得出平面，求出的坐标，即可根据向量法求出答案；（2）求出平面的法向量，根据向量法即可得出距离；（3）假设存在，设，得出.求出平面的法向量，根据二面角结合向量，列出方程，求解即可得出的值，进而得出答案.【小问1详解】在中，，O为的中点，所以.又因为面底面，平面平面，平面，所以，平面.在中，，，所以，，.在直角梯形中，为的中点，所以.又，所以四边形为平行四边形，.因为，，所以.以O为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，所以.因为，，，平面，平面，所以平面，所以为平面的法向量.因为，所以与平面所成角的正弦值为，余弦值为.【小问2详解】由（1）