2025年高考数学复习之填空题：计数原理（10题）

2025年高考数学复习之小题狂练600题（填空题）：计数原理（10题）

—.填空题（共10小题）

1.（2024•松江区校级模拟）设aeZ,且0Wa<13,若512。24+”能被匕整除，则“=.

2.（2024•冀州区校级模拟）校运会期间，需要学生志愿者辅助裁判老师进行记录工作，学生会将从6名

志愿者中任意选派3名同学分别承担铅球记录、跳高记录、跳远记录工作，其中甲、乙2人不承担铅球

记录工作，则不同的安排方法共有种.

3.（2024•攀枝花三模）若（1-2x）"（"6N*）的展开式中小的系数为-80,则展开式中所有项的二项式

系数之和为.（以数字作答）

4.（2024•松江区校级模拟）把1、2、3、4、5这五个数随机地排成一个数列，要求该数列恰好先递增后

递减，则这样的数列共有个.

5.（2024•苏州三模）（2+x-x2）（1-x）5的展开式中/的系数为.

6.（2024•青秀区校级模拟）已知二项式（五-5久）”的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，"

7.（2024•坪山区校级模拟）已知（a久-2）。+|）5的展开式中的常数项为240,则a=.

8.（2024•海南模拟）（x-2y+l）6展开式中含项的系数为.

9.（2024•邵阳模拟）（2炉一5）5的展开式中常数项是.（用数字作答）

10.（2024•河南模拟）在（代+!产的展开式中，x3的系数为.（填数字）

2025年高考数学复习之小题狂练600题（填空题）：计数原理（10题）

参考答案与试题解析

一.填空题（共10小题）

1.（2024•松江区校级模拟）设aeZ,且0Wa<13,若50024+.能被13整除，则。=匠.

【考点】二项式定理的应用.

【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑推理；数学运算.

【答案】12.

【分析】直接利用二项式的展开式解决整除问题.

【解答】解：512024=（52-1）2024=以2・522024—程2•522023+…+C黄・（—1）2024+。，

由于c黄•（一1）2°24=I,且0Wa<13；

故1+a能被13整除，故a=12.

故答案为：12.

【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题.

2.（2024•冀州区校级模拟）校运会期间，需要学生志愿者辅助裁判老师进行记录工作，学生会将从6名

志愿者中任意选派3名同学分别承担铅球记录、跳高记录、跳远记录工作，其中甲、乙2人不承担铅球

记录工作，则不同的安排方法共有80种.

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】对应思想；定义法；排列组合；数学运算.

【答案】80.

【分析】先安排铅球工作，再安排其他两项工作进而求解.

【解答】解：依题意，分两步：①在甲乙之外4人中任选1人，承担铅球记录工作，有4种情况；

②在剩下的5人中任选2人,承担跳高和跳远记录工作，有玛=20种情况，

则不同的安排方法有4义20=80种.

故答案为：80.

【点评】本题考查排列问题，考查分步乘法计数原理的应用，是基础题.

3.（2024•攀枝花三模）若（l-2x）n（neN*）的展开式中城的系数为-80,则展开式中所有项的二项式

系数之和为32.（以数字作答）

【考点】二项式系数与二项式系数的和.

【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑推理；数学运算.

【答案】32.

【分析】直接利用二项式的展开式求出结果.

【解答】解：根据（1-2x）"的展开式7；+i=玛•（一2厂•/,（r=0,1,2,3,及）

当r=3时，-%-23=-80,解得w=5；

故所有项的二项式系数之和为25=32.

故答案为：32.

【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题.

4.（2024•松江区校级模拟）把1、2、3、4、5这五个数随机地排成一个数列，要求该数列恰好先递增后

递减，则这样的数列共有14个.

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】转化思想；转化法；排列组合；数学运算.

【答案】14.

【分析】根据已知条件，分从1,2,3,4中选出一个数排在5的右侧，其余排在5的左侧，从1,2,

3,4中选出两个数排在5的右侧，其余排在5的左侧，从1,2,3,4中选出三个数排在5的右侧，其

余排在5的左侧三种情况讨论，并对所求的结果求和，即可求解.

【解答】解：从1,2,3,4中选出一个数排在5的右侧，其余排在5的左侧，得到先增后减的数列有程，

从1,2,3,4中选出两个数排在5的右侧，其余排在5的左侧，得到先增后减的数列有盘，

从1,2,3,4中选出三个数排在5的右侧，其余排在5的左侧，得到先增后减的数列有值，

故满足条件的数量总个数为盘+4+盘=14个.

故答案为：14.

【点评】本题主要考查组合及简单计数问题，考查分类讨论的思想，属于基础题.

5.（2024•苏州三模）（2+x-尤2）（1-x）5的展开式中了的系数为14.

【考点】二项式定理.

【专题】整体思想；综合法；二项式定理；数学运算.

【答案】14.

【分析】利用二项式定理可得（1-%）5的展开式，进而可求得C2+X-X2）（1-x）5的展开式中?的

系数.

【解答】解：：（1-%）5=1+盘（-无）+c“-x）2+废（7尸+第（-x）4-?=l-5X+1OX2-10X3+5X4

(2+x-/)(1-x)5的展开式中/的系数为2X10+1X(-5)-1X1=14.

故答案为：14.

【点评】本题考查二项式定理的运用，属于中档题.

6.（2024•青秀区校级模拟）已知二项式（《-5x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,"

【考点】二项式定理.

【专题】方程思想；定义法；二项式定理；数学运算.

【答案】10.

【分析】借助二项式系数的性质与组合数的性质计算即可得.

【解答】解：因为二项式（F-5支产的展开式中，第4项与第8项的二项式系数相等，

所以盘=盘，由组合数的性质可得“=10.

故答案为：10.

【点评】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.

7.（2024•坪山区校级模拟）已知（ax—2）（久+|）5的展开式中的常数项为240,则a=3.

【考点】二项展开式的通项与项的系数.

【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑推理；数学运算.

【答案】见试题解答内容

【分析】利用二项式展开式的通项公式及给定的常数项求出。值.

【解答】解：0+35的展开式的通项〃+1=噩*5-7»=2“05-2度&=。，1,2,3,4,5）,

令5-2r=-1得r=3,令5-2r=0,无解，

所以（a久-2）（x+$5的展开式中的常数项为a•23d=80a=240,所以。=3.

故答案为：3.

【点评】本题考查的知识要点：二项式的展开式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题.

8.（2024•海南模拟）（x-2y+l）6展开式中含x2y3项的系数为-480.

【考点】二项式定理.

【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑推理；数学运算.

【答案】-480.

【分析】利用二项展开式的展开方法求解.

【解答】解：（尤-2y+l）6展开式中含的项为盘/盘（_2y）3盘1】=盘盘（_2）3/y3=—480%2y3,

故答案为：-480.

【点评】本题考查的知识要点：二项展开式，组合数，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档

题.

9.（2024•邵阳模拟）（2炉—'）5的展开式中常数项是-40.（用数字作答）

【考点】二项展开式的通项与项的系数.

【专题】对应思想；综合法；二项式定理；数学运算.

【答案】见试题解答内容

【分析】利用二项式展开式的通项公式，求解即可.

【解答】解：（2/一占5的展开式的通项公式为=砥2/尸.（_/=（_1）『帽,25-.炉5『

令15-5r=0,贝！Jr=3,

所以73+1=（—1＞俏.22=-40,即展开式中常数项是-40.

故答案为：-40.

【点评】本题考查二项式定理，熟练掌握展开式的通项公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基

础题.

10.（2024•河南模拟）在（«+丧产的展开式中，x3的系数为11.（填数字）

【考点】二项式定理.

【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑推理；数学运算.

【答案】1L

【分析】直接利用二项式的展开式和组合数求出结果.

—1ll-rll-5r

【解答】解：根据（代+/尸的展开式7V+1=4•x2.•x―2—（r=0,L2,3,11）,

令r=l时，X3的系数为盘1=11.

故答案为：11.

【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数主要考查学生的运算能力，属于中档题.

考点卡片

1.排列组合的综合应用

【知识点的认识】

1、排列组合问题的一些解题技巧：

①特殊元素优先安排；

②合理分类与准确分步；

③排列、组合混合问题先选后排；

④相邻问题捆绑处理；

⑤不相邻问题插空处理；

⑥定序问题除法处理；

⑦分排问题直排处理；

⑧“小集团”排列问题先整体后局部；

⑨构造模型；

⑩正难则反、等价转化.

对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分

步.对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：

①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；

②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；

③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数.

2、排列、组合问题几大解题方法：

(1)直接法；

(2)排除法；

(3)捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们

“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”；

(4)插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元

素不相邻问题”；

(5)占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置

的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解

题原则;

（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；

cc

a-D同月

（7）平均法：若把加个不同元素平均分成左组，每组"个，共有X：；

（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；

（9）定位问题：从〃个不同元素中每次取出上个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在

某r个指定位置则有工：42；

（10）指定元素排列组合问题：

①从"个不同元素中每次取出上个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内.先C后A

策略，排列月上；组合

②从〃个不同元素中每次取出上个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内.先C后A

策略，排列组合C「；

③从"个不同元素中每次取出左个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元

素中的s个元素.先c后A策略，排列。；。斤4士组合C；C=；.

2.二项式定理

【知识点的认识】

二项式定理又称牛顿二项式定理.公式（。+6）"=£忆。C}1a丁、乩通过这个定理可以把一个多项式的多

次方拆开.

例1：用二项式定理估算1.011°=1.105.（精确到0.001）

982

解：1.011°=（1+0.01）i0=ii0+cio«iX0.01+C^o.l.0.01^l+0.1+0.0045^1.105.

故答案为：1.105.

这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型.

例2：把（Vli-久）1°把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是.

解:由题意78=』x（V3i）3X（一1）7=120X3V3Z=360V3Z.

故答案为：3605

通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的

时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了.

性质

1、二项式定理

一般地，对于任意正整数“，都有

(a+b)"=C：a"+C)""+…++…+(〃cN.)

这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a+b/的二项展开式.其中各项的系数C：(r=0J2…/)

叫做二项式系数.

注意：

(1)二项展开式有n+1项；

(2)二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；

(3)每一项的次数是一样的，即为w次，展开式依a的降幕排列，6的升幕排列展开；

(4)二项式定理通常有如下变形：

①(a-6尸=。：优一CM"+…+(-1)‘+…+(-1)“c»”；

②(1+x)”=1+o)】+C；x'H---1-C^xr4—•+x".

(5)要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题.

2、二项展开式的通项公式

二项展开式的第”+1项力2=C"b’(尸=°工2,…/)叫做二项展开式的通项公式.它体现了二项展

开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面

有着广泛的应用.

注意：

(1)通项公式表示二项展开式的第什1项，该项的二项式系数是加；

(2)字母。的次数和组合数的上标相同；

(3)a与b的次数之和为n.

3、二项式系数的性质.

(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即

C2,C=CL最y_2,…,

(2)增减性与最大值：当上V竽时，二项式系数是逐渐增大的.由对称性知，它的后半部分是逐渐减小

n

的，且在中间取最大值.当〃为偶数时，则中间一项点的二项式系数最大；当〃为奇数时，则中间的两项

九一171+1

声，铲相等，且同时取得最大值.

3.二项展开式的通项与项的系数

【知识点的认识】