【苏科】期中模拟卷01【1-4章】

2023-2024学年上学期期中模拟考试01九年级数学（苏科版第1-4章）（考试时间：120分钟试卷满分：120分）第Ⅰ卷一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）1．（2分）已知⊙O的半径为5cm，点P在⊙O上，则OP的长为（）A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm2．（2分）某公司有10名员工，每人年收入数据如下表：年收入/万元46810人数/人3421则他们年收入数据的众数与中位数分别为（）A．4，6 B．6，6 C．4，5 D．6，53．（2分）一元二次方程x2+2x＝﹣1的根的情况是（）A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根4．（2分）已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣2x﹣3＝0有一根为3，则a的值为（）A．4 B．0 C．2 D．﹣15．（2分）下列命题中，是真命题的有（）①长度相等的弧是等弧；②直径所在的直线是圆的对称轴；③任意三角形都有外接圆；④等弧所对圆周角相等．A．①② B．①④ C．②③ D．③④6．（2分）如图，正方形ABCD与等边△PRQ内接于⊙O，RQ∥BC，则∠AOR等于（）A．45° B．50° C．60° D．75°7．（2分）我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程x2+2x﹣35＝0即x（x+2）＝35为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是（x+x+2）2．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，因此x＝5．则在下面四个构图中，能正确说明方程x2﹣5x﹣6＝0解法的构图是（）A． B． C． D．8．（2分）如图，已知AB是⊙O的直径，CD，CB是⊙O的切线，D，B为切点，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点F，连接AD，BD，给出以下四个结论：①AD∥OC；②E为△CDB的内心；③FC＝FE．其中正确的结论是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③第Ⅱ卷二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）9．（2分）若2x2﹣8＝0，则x＝．10．（2分）若一组数据2，﹣1，0，2，﹣1，a的平均数为a，则a的值为．11．（2分）如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m2，设道路的宽为xm，则x＝．12．（2分）如图，用一个圆心角为150°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为2cm，则这个扇形的半径是cm．​13．（2分）已知圆的直径为10cm，且圆心到一条直线距离为4cm，则这条直线与圆的位置关系是．14．（2分）如图，QUOTE是半圆，点O为圆心，C、D两点在QUOTE上，且AD∥OC，连接BC、BD．若QUOTE65°，则∠ABD的度数为．15．（2分）若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则m2QUOTE．16．（2分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（﹣2QUOTE，0），直线yQUOTEx与过点A的直线y＝kx+b（0＜kQUOTE）交于点P，以AP为直径画圆，过P作PQ⊥OP交圆于点Q，则PQ的长为．三．解答题（共10小题，满分88分）17．（8分）解方程：（1）x2+4x﹣6＝0； （2）5x（x+2）＝4x+8．18．（8分）我校八年级为了提高学生参加体育锻炼的热情和水平开展了体育大比拼活动，男生进行了引体向上比赛，体育老师对一班20名男生的成绩进行统计（成绩得分用x表示，单位：个），收集数据如下：5189129192010121471988121610151225整理数据：5≤x＜1010≤x＜1515≤x＜2020≤x≤2567a2分析数据：平均分中位数众数13bc根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述表格中a，b，c的值；（2）我校八年级有300名男生参加了此次比拼活动，请估计成绩不低于15分的人数是多少？（3）请从中位数和众数中选择一个量，结合本题解释它的意义．19．（8分）把算珠放在计数器的3根插棒上可以构成一个数，例如：如图摆放的算珠表示数210．（1）若将一颗算珠任意摆放在这3根插棒上，则构成的数是三位数的概率是；（2）若一个数正读与反读都一样，我们就把这个数叫做回文数．现将两颗算珠任意摆放在这3根插棒上，先放一颗算珠，再放另一颗，请用列表或画树状图的方法，求构成的数是三位数且是回文数的概率．20．（8分）已知关于x的方程（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0．（1）求证：无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为﹣1，则另一个根为．21．（8分）某开发商原计划对楼盘新房以每平方米4000元的销售价对外销售．现为了加快资金周转，对销售价经过两次下调后，决定在开盘之日以每平方米3240元的销售价进行促销．（1）求销售价平均每次下调的百分率；（2）开盘之日，开发商又给予以下两种优惠方案以供选择：方案①一次性送装修费每平方米50元；方案②打9.8折销售．张先生要购买一套100平方米的住房，试问哪种方案更优惠？22．（8分）如图，在△ABC中，∠A＝68°，以AB为直径的⊙O与AC、BC分别相交于点D、E，连接DE．（1）求∠CED的度数．（2）若DE＝BE，求∠C的度数．23．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AB＝5，BC＝6，BDQUOTE．（1）求证BD⊥CD；（2）请用直尺（不带刻度）和圆规作△BCD的外接圆⊙O（不必写作法，但要保留作图痕迹），求证：AD是⊙O的切线．24．（10分）如图，数轴上点A表示的数a＝﹣1，点C表示的数为c，点C在原点的右侧．（1）按照下面要求，用直尺和圆规完成作图（不写作法，保留作图痕迹）；①以C为心，CO长为半径作⊙C；②过点A在数轴上方作⊙C的切线AB，切点为B．（2）在（1）的条件下，若QUOTE．①求c的值；②已知，点D在⊙C，CD⊥AC，且点D在数轴上方，若点P为⊙C上一动点，则△ADP面积的最大值为．25．（10分）车辆转弯时，能否顺利通过直角弯道的标准是：车辆是否可以行驶到和路的边界夹角是45°的位置（如图1中②的位置），例如，图2是某巷子的俯视图，巷子路面宽4m，转弯处为直角，车辆的车身为矩形ABCD，CD与DE、CE的夹角都是45°时，连接EF，交CD于点G，若GF的长度至少能达到车身宽度，则车辆就能通过．（1）试说明长8m，宽3m的消防车不能通过该直角转弯；（2）为了能使长8m，宽3m的消防车通过该弯道，可以将转弯处改为圆弧（分别是以O为圆心，以OM和ON为半径的弧），具体方案如图3，其中OM⊥OM′，请你求出ON的最小值．26．（12分）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，经过点C的⊙O与△ABC的每条边都相交．⊙O与AC边的另一个公共点为D，与BC边的另一个公共点为E，与AB边的两个公共点分别为F、G．设⊙O的半径为r．【操作感知】（1）根据题意，仅用圆规在图①中作出一个满足条件的⊙O，并标明相关字母；【初步探究】（2）求证：CD2+CE2＝4r2；（3）当r＝8时，则CD2+CE2+FG2的最大值为；【深入研究】（4）直接写出满足题意的r的取值范围；对于范围内每一个确定的r的值，CD2+CE2+FG2都有最大值，每一个最大值对应的圆心O所形成的路径长为．

2023-2024学年上学期期中模拟考试01九年级数学（考试时间120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：第1-4章（苏科版）。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）1．（2分）已知⊙O的半径为5cm，点P在⊙O上，则OP的长为（）A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm【分析】根据点与圆的位置关系解决问题即可．【解答】解：∵点P在⊙O上，∴OP＝r＝5cm，故选：B．【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．2．（2分）某公司有10名员工，每人年收入数据如下表：年收入/万元46810人数/人3421则他们年收入数据的众数与中位数分别为（）A．4，6 B．6，6 C．4，5 D．6，5【分析】根据中位数、众数的计算方法，分别求出结果即可．【解答】解：10名员工的年收入出现次数最多的是6万元，共出现4次，因此众数是6，将这10名员工的年收入从小到大排列，处在中间位置的数是6万元，因此中位数是6，故选：B．【点评】本题考查中位数、众数的计算方法，掌握中位数、众数的计算方法是正确计算的前提．3．（2分）一元二次方程x2+2x＝﹣1的根的情况是（）A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根【分析】先把方程化为一般式，再计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：方程化为x2+2x+1＝0，∵Δ＝22﹣4×1＝0，∴方程有两个相等的实数根．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．4．（2分）已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣2x﹣3＝0有一根为3，则a的值为（）A．4 B．0 C．2 D．﹣1【分析】把x＝3代入方程（a﹣3）x2﹣2x﹣3＝0得9（a﹣3）﹣6﹣3＝0，然后解关于a的一次方程即可．【解答】解：把x＝3代入方程（a﹣3）x2﹣2x﹣3＝0得9（a﹣3）﹣6﹣3＝0，解得a＝4．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义．5．（2分）下列命题中，是真命题的有（）①长度相等的弧是等弧；②直径所在的直线是圆的对称轴；③任意三角形都有外接圆；④等弧所对圆周角相等．A．①② B．①④ C．②③ D．③④【分析】利用等狐的定义、圆的性质，圆周角定理等知识分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：①长度相等的弧不一定是等弧，是假命题错误，不符合题意；②直径所在的直线是圆的对称轴，是真命题，符合题意；③任意三角形都有外接圆，是真命题，符合题意；④在同圆或等圆中，等弧所对圆周角相等，故原命题是假命题错误，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及性质．6．（2分）如图，正方形ABCD与等边△PRQ内接于⊙O，RQ∥BC，则∠AOR等于（）A．45° B．50° C．60° D．75°【分析】由圆内接正多边形的性质证得∠AOB＝∠BOC＝90°，∠ROQ＝120°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠OBC＝45°，∠ORQ＝30°，再根据三角形外角的性质及平行线的性质求得∠BOR＝15°，即可求出∠AOR．【解答】解：连接OB，OC，OQ，∵正方形ABCD与等边△PRQ内接于⊙O，∴∠AOB＝∠BOC=360°4=90°，∠∵OB＝OC，OR＝OQ，∴∠OBC＝∠OCB=12（180°﹣∠BOC）＝45°，∠ORQ＝∠OQR=12∵RQ∥BC，∴∠OHQ＝∠OBC＝45°，∵∠OHQ＝∠ORH+∠BOR，∴∠BOR＝∠OHQ﹣∠ORH＝45°﹣30°＝15°，∴∠AOR＝∠AOB﹣∠BOR＝90°﹣15°＝75°，故选：D．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定和性质，正方形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．7．（2分）我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程x2+2x﹣35＝0即x（x+2）＝35为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是（x+x+2）2．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，因此x＝5．则在下面四个构图中，能正确说明方程x2﹣5x﹣6＝0解法的构图是（）A． B． C． D．【分析】根据题意，画出方程x2﹣5x﹣6＝0，即x（x﹣5）＝6的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案．【解答】解：方程x2﹣5x﹣6＝0，即x（x﹣5）＝6的拼图如图所示；中间小正方形的边长为x﹣（x﹣5）＝5，其面积为25，大正方形的面积：（x+x﹣5）2＝4x（x﹣5）+25＝4×6+25＝49，其边长为7，因此，D选项所表示的图形符合题意，故选：D．【点评】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键．8．（2分）如图，已知AB是⊙O的直径，CD，CB是⊙O的切线，D，B为切点，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点F，连接AD，BD，给出以下四个结论：①AD∥OC；②E为△CDB的内心；③FC＝FE．其中正确的结论是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【分析】①利用切线长定理和等腰三角形三线合一证明即可；②由垂径定理得DE=BE，再由切线性质推角相等，进一步证明DE平分∠CDB，BE平分∠CBD，最后证点E为△③利用①的结论AD∥OC推∠ODA＝∠DOC，再根据切线性质推角相等，等量代换后推∠OCB＝∠DBA，由DE不一定等于DA，推角也不一定相等．【解答】解：①∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵CD、CB为⊙O的切线，∴CD＝CB，CO平分∠DCB，∴CO⊥BD，∴∠OHB＝90°，∴∠OHB＝∠ADB，∴AD∥OC，故①正确；②连接DE、BE，∵CO⊥BD，∴DE=∴∠DOE＝∠BOE，∵CD是⊙O的切线，∴∠CDE=12∠DOE，而∠BDE=1∴∠CDE＝∠BDE，即DE是∠CDB的角平分线，同理可证得BE是∠CBD的平分线，因此E为△CBD的内心，故②正确；③∵AD∥OC，∴∠ODA＝∠DOC，∵CO平分∠DCB，∴∠DCO＝∠OCB，∵CD为⊙O的切线，∴∠DCO＝∠DBA，∴∠OCB＝∠DBA，∵∠CEF＝∠AEO，DE不一定等于DA，∴∠CFE，∠AGB不一定相等∴FC、EF也不一定相等，故③不正确，∴正确的结论是①②．故选：A．【点评】本题考查了切线长定理、圆周角的性质定理、外角性质，掌握这些性质定理的综合应用，辅助线的作法是解题关键．第Ⅱ卷二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）9．（2分）若2x2﹣8＝0，则x＝±2．【分析】先将常数项移到等式的右边，然后化未知数的系数为1，通过直接开平方求得该方程的解即可．【解答】解：由原方程，得2x2＝8，∴x2＝4，直接开平方，得x＝±2．故答案为：±2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．10．（2分）若一组数据2，﹣1，0，2，﹣1，a的平均数为a，则a的值为25【分析】根据平均数的定义列出方程求解可得．【解答】解：根据题意得，2−1+0+2−1+a6解得：a=2故答案为：25【点评】本题主要考查算式平均数，解题的关键是熟练掌握平均数的定义．11．（2分）如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m2，设道路的宽为xm，则x＝1．【分析】若道路的宽为xm，则栽种花草的部分可合成长（12﹣x）m，宽（8﹣x）m的矩形，根据栽种花草的面积77m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【解答】解：若道路的宽为xm，则栽种花草的部分可合成长（12﹣x）m，宽（8﹣x）m的矩形，依题意得：（12﹣x）（8﹣x）＝77，整理得：x2﹣20x+19＝0，解得：x1＝1，x2＝19（不合题意，舍去）．故答案为：1．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．12．（2分）如图，用一个圆心角为150°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为2cm，则这个扇形的半径是245cm​【分析】设这个扇形的半径为Rcm，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到2π×2=150×π×R然后解方程即可．【解答】解：设这个扇形的半径为Rcm，根据题意得2π×2=150×π×R解得R=24即这个扇形的半径为245cm故答案为：245【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．13．（2分）已知圆的直径为10cm，且圆心到一条直线距离为4cm，则这条直线与圆的位置关系是相交．【分析】欲求直线和圆的位置关系，关键是求出圆心到直线的距离d，再与半径r进行比较．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．【解答】解：∵圆的直径为10cm，∴圆的半径为5cm，∵圆心到直线的距离4cm，∴圆的半径＞圆心到直线的距离，∴直线于圆相交，故答案为相交．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．14．（2分）如图，AB是半圆，点O为圆心，C、D两点在AB上，且AD∥OC，连接BC、BD．若CD=65°，则∠ABD的度数为25°【分析】根据AB是直径可以证得AD⊥BD，根据AD∥OC，则OC⊥BD，根据垂径定理求得弧BC的度数，即可求得弧AD的度数，然后求得∠ABD的度数．【解答】解：∵AB是半圆，即AB是直径，∴∠ADB＝90°，又∵AD∥OC，∴OC⊥BD，∴BC=∴AD=∴∠ABD=1故答案为：25°．【点评】本题考查了垂径定理和圆周角定理，正确求得弧AD的度数是关键．15．（2分）若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则m2+1m【分析】把m代入x2﹣2x﹣1＝0得到m2﹣2m﹣1＝0，即m2﹣1＝2m，把m2﹣1＝2m代入变形后的式子计算即可．【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，∴m2﹣2m﹣1＝0，即m2﹣1＝2m，∴m2+＝（m−1m）＝（m2−1m＝22+2＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了代数式求值，本题代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式m2﹣1＝2m的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．16．（2分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（﹣26，0），直线y=3x与过点A的直线y＝kx+b（0＜k＜3）交于点P，以AP为直径画圆，过P作PQ⊥OP交圆于点Q，则PQ的长为32【分析】延长PO交圆于点M，连接AM，AQ，由直径所对的圆周角为直角得∠Q＝∠M＝90°，再结合已知可得四边形AMPQ为矩形，求得AM的长，即为PQ的长．【解答】解：如图，延长PO交圆于点M，连接AM，AQ∵AP为直径∴∠Q＝∠M＝90°又∵PQ⊥OP∴∠QPM＝90°∴四边形AMPQ为矩形∴PQ＝MA∵OP所在直线为y=3∴∠AOM＝60°∴∠MAO＝30°∵A（﹣26，0），∴OA=2∴OM=∴AM=故答案为：32【点评】本题是圆的综合题，同时还考查了勾股定理、直径所对的圆周角为直角、矩形的判定与性质，等知识点，属于中档题．三．解答题（共10小题，满分88分）17．（8分）解方程：（1）x2+4x﹣6＝0；（2）5x（x+2）＝4x+8．【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）x2+4x﹣6＝0．移项得：x2+4x＝6，配方得：x2+4x+4＝6+4，即（x+2）2＝10，开方得：x+2＝±10，∴原方程的解是：x1＝﹣2+10，x2＝﹣2−（2）∵5x（x+2）＝4x+8，∴（x+2）（5x﹣4）＝0，则x+2＝0或5x﹣4＝0，解得x1＝﹣2，x2=4【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18．（8分）我校八年级为了提高学生参加体育锻炼的热情和水平开展了体育大比拼活动，男生进行了引体向上比赛，体育老师对一班20名男生的成绩进行统计（成绩得分用x表示，单位：个），收集数据如下：5189129192010121471988121610151225整理数据：5≤x＜1010≤x＜1515≤x＜2020≤x≤2567a2分析数据：平均分中位数众数13bc根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述表格中a，b，c的值；（2）我校八年级有300名男生参加了此次比拼活动，请估计成绩不低于15分的人数是多少？（3）请从中位数和众数中选择一个量，结合本题解释它的意义．【分析】（1）将数据从小到大重新排列，再根据中位数和众数的概念求解可得；（2）先求出成绩不低于15分的人数，再用300乘以成绩不低于15分的人数所占的比例即可；（3）根据众数和中位数的意义选择可得．【解答】解：（1）将这组数据重新排列为：5、7、8、8、9、9、10、10、12、12、12、12、14、15、16、18、19、19、20、25，∴15≤x＜20的人数a＝5，中位数b=12+122=（2）300×5+2答：估计成绩不低于15分的人数是105人；（3）中位数，抽取的20名学生成绩中，中位数是12分，有一半学生的成绩都不低于12分．【点评】本题主要考查统计量的选择，熟练掌握中位数、众数的定义及其意义、用样本估计总体是解题的关键．19．（8分）把算珠放在计数器的3根插棒上可以构成一个数，例如：如图摆放的算珠表示数210．（1）若将一颗算珠任意摆放在这3根插棒上，则构成的数是三位数的概率是13（2）若一个数正读与反读都一样，我们就把这个数叫做回文数．现将两颗算珠任意摆放在这3根插棒上，先放一颗算珠，再放另一颗，请用列表或画树状图的方法，求构成的数是三位数且是回文数的概率．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中构成的数是三位数且是回文数的结果有2种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）若将一颗算珠任意摆放在这3根插棒上，则构成的数是三位数的概率是13故答案为：13（2）画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中构成的数是三位数且是回文数的结果有2种，∴构成的数是三位数且是回文数的概率为29【点评】本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件．解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．20．（8分）已知关于x的方程（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0．（1）求证：无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为﹣1，则另一个根为1或﹣3．【分析】（1）利用因式分解法得到x1＝m，x2＝m﹣2，然后利用m＞m﹣2可判断无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；（2）讨论：m＝﹣1时，求m﹣2；当m﹣2时，求m的值．【解答】（1）证明：原方程可化为（x﹣m）（x﹣m+2）＝0，x﹣m＝0或x﹣m+2＝0．解得x1＝m，x2＝m﹣2，∵m＞m﹣2，∴无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；（2）当m＝﹣1时，另一个根为m﹣2＝﹣1﹣2＝﹣3；当m﹣2＝﹣1时，解得m＝1，另一个根为m＝1，即方程的另一个根为1或﹣3．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x21．（8分）某开发商原计划对楼盘新房以每平方米4000元的销售价对外销售．现为了加快资金周转，对销售价经过两次下调后，决定在开盘之日以每平方米3240元的销售价进行促销．（1）求销售价平均每次下调的百分率；（2）开盘之日，开发商又给予以下两种优惠方案以供选择：方案①一次性送装修费每平方米50元；方案②打9.8折销售．张先生要购买一套100平方米的住房，试问哪种方案更优惠？【分析】（1）设出平均每次下调的百分率为x，利用预订每平方米销售价格×（1﹣每次下调的百分率）2＝开盘每平方米销售价格列方程解答即可．（2）分别计算两种方案的优惠价格，比较后发现更优惠方案即可．【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，则4000（1﹣x）2＝3240，即：（1﹣x）2＝0.8．解得x1＝0.1，x2＝1.9（舍去）．答：平均每次下调的百分率为10%．（2）方案①购房优惠款：3240×100×0.02＝6480（元）．方案②购房优惠款：50×100＝5000（元）．∴6480＞5000．答：张先生选择方案①更优惠．【点评】本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．22．（8分）如图，在△ABC中，∠A＝68°，以AB为直径的⊙O与AC、BC分别相交于点D、E，连接DE．（1）求∠CED的度数．（2）若DE＝BE，求∠C的度数．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质解答；（2）连接AE，根据圆周角定理得到∠AEC＝90°，计算即可．【解答】解：（1）∵四边形ABED圆内接四边形，∴∠A+∠DEB＝180°，∵∠CED+∠DEB＝180°，∴∠CED＝∠A，∵∠A＝68°，∴∠CED＝68°；（2）连接AE．∵DE＝BE，∴DE=∴∠DAE＝∠EAB=12∠∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴∠AEC＝90°，∴∠C＝90°﹣∠DAE＝90°﹣34°＝56°．【点评】本题考查的是圆周角定理，圆内接四边形的性质，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．23．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AB＝5，BC＝6，BD=30（1）求证BD⊥CD；（2）请用直尺（不带刻度）和圆规作△BCD的外接圆⊙O（不必写作法，但要保留作图痕迹），求证：AD是⊙O的切线．【分析】（1）过点D作DE⊥BC于点E，由角平分线的性质可得AD＝DE，由勾股定理得AD=BD2−AB2=5，则DE=5，根据S△BCD=12BD⋅CD=12（2）作线段BC的垂直平分线，交BC于点O，以线段OC的长为半径画圆，即可得所求的⊙O；连接OD，由角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，由OB＝OD，可得∠OBD＝∠ODB，进而可得∠ABD＝∠ODB，则AB∥OD，即可得∠ADO＝90°，即可得出结论．【解答】（1）证明：过点D作DE⊥BC于点E，∵∠A＝90°，BD平分∠ABC，∴AD＝DE，∵AB＝5，BD=30∴AD=B∴DE=5∵S△BCD即30×CD=6×解得CD=6∵62即BC2＝BD2+CD2，∴∠BDC＝90°，即BD⊥CD．（2）解：如图，⊙O即为所求．证明：连接OD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ABD＝∠ODB，∴AB∥OD，∵∠A＝90°，∴∠ADO＝90°，∵OD为⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线．【点评】本题考查作图﹣复杂作图、角平分线的性质、勾股定理的逆定理、圆周角定理、切线的判定，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．24．（10分）如图，数轴上点A表示的数a＝﹣1，点C表示的数为c，点C在原点的右侧．（1）按照下面要求，用直尺和圆规完成作图（不写作法，保留作图痕迹）；①以C为心，CO长为半径作⊙C；②过点A在数轴上方作⊙C的切线AB，切点为B．（2）在（1）的条件下，若AB=7①求c的值；②已知，点D在⊙C，CD⊥AC，且点D在数轴上方，若点P为⊙C上一动点，则△ADP面积的最大值为275【分析】（1）以C为心，CO长为半径作⊙C；作AC的垂直平分线交线段AC于点M；以点M为圆心，AM的长为半径作圆交圆C的上方于点B；连接AB并延长，AB就是所求的切线；（2）①由勾股定理得（OA+BC）2＝AB2+BC2，再由OA＝1，AB=7，求出BC的长，从而求c②过C点作CH⊥AD交于H，由等积法求出HC=125，在△ADP中，边AD是定长，当P点到AD的距离最大时，△ADP的面积就最大，当P点在直线HC上时，△ADP的面积最大，此时PH=125+3=27【解答】（1）①以C为心，CO长为半径作⊙C；作AC的垂直平分线交线段AC于点M；以点M为圆心，AM的长为半径作圆交圆C的上方于点B；连接AB并延长，AB就是所求的切线；（2）①∵CB⊥AB，∴AC2＝AB2+BC2，∵OC＝BC，∴（OA+BC）2＝AB2+BC2，∵a＝﹣1，∴OA＝1，∵AB=7∴（1+BC）2＝（7）2+BC2，解得BC＝3，∴OC＝3，∴c＝3；②过C点作CH⊥AD交于H，∵OA＝1，OC＝3，∴AC＝4，∵CD＝OC＝3，∴AD＝5，∴HC=3×4在△ADP中，边AD是定长，当P点到AD的距离最大时，△ADP的面积就最大，∴当P点在直线HC上时，△ADP的面积最大，此时PH=125+∴△ADP的面积最大值为12故答案为：272【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握尺规作图法，线段垂直平分线的性质，切线的性质，勾股定理，能确定三角形面积最大时P点的位置是解题的关键．25．（10分）车辆转弯时，能否顺利通过直角弯道的标准是：车辆是否可以行驶到和路的边界夹角是45°的位置（如图1中②的位置），例如，图2是某巷子的俯视图，巷子路面宽4m，转弯处为直角，车辆的车身为矩形ABCD，CD与DE、CE的夹角都是45°时，连接EF，交CD于点G，若GF的长度至少能达到车身宽度，则车辆就能通过．（1）试说明长8m，宽3m的消防车不能通过该直角转弯；（2）为了能使长8m，宽3m的消防车通过该弯道，可以将转弯处改为圆弧（分别是以O为圆心，以OM和ON为半径的弧），具体方案如图3，其中OM⊥OM′，请你求出ON的最小值．【分析】（1）过点F作FH⊥EC于点H，根据道路的宽度求出FH＝EH＝4m，然后根据等腰直角三角形的性质求出EF、GE的长度，相减即可得到GF的长度，如果不小于车身宽度，则消防车能通过，否则，不能通过；（2）假设车身C、D分别与点M′、M重合，根据等腰直角三角形的性质求出OG=12CD＝4，OC=2CG＝42，然后求出OF的长度，从而求出可以通过的车宽FG的长度，如果不小于车宽，则消防车能够通过，否则，不能通过；设ON＝x，表示出OC＝x+4，OG＝x+3，又OG=12CD＝4，在Rt【解答】解：（1）消防车不能通过该直角转弯．理由如下：如图，作FH⊥EC，垂足为H，∵FH＝EH＝4，∴EF＝42，且∠GEC＝45°，∵GC＝4，∴GE＝GC＝4，∴GF＝42−即GF的长度未达到车身宽度，∴消防车不能通过该直角转弯；（2）若C、D分别与M′、M重合，则△OGM为等腰直角三角形，∴OG＝4，OM＝42，∴OF＝ON＝OM﹣MN＝42−∴FG＝OG﹣OF=12×8﹣（42∴C、D在MM'上，设ON＝x，连接OC，在Rt△OCG中，OG＝x+3，OC＝x+4，CG＝4，由勾股定理