25.2 随机事件的概率 同步练习

第25章随机事件的概率25.2随机事件的概率基础过关全练知识点1概率的意义1.(2023河北承德三中期末)某个事件发生的概率是12，A.在两次重复试验中该事件必有一次发生B.在一次试验中没有发生，下次肯定发生C.在一次试验中已经发生，下次肯定不发生D.每次试验中事件发生的可能性是50%2.(2022河南开封模拟)不透明的袋子里装有红、黑、白三种颜色的小球，它们质地、形状完全相同，从袋子中随机抽取一个小球，记事件A为“抽到红球”，事件B为“抽到红球或黑球”.若P(A)=12，则P(B)的取值范围是知识点2频率与概率的关系3.(2023河南洛阳期末)大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用.如图所示的是小明同学的健康码示意图，用黑白打印机打印于边长为3cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量反复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积为()A.0.6cm2 B.1.8cm2 C.5.4cm2 D.3.6cm24.(2022甘肃兰州中考)2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：幼树移植数(棵)100100050008000100001500020000幼树移植成活数(棵)878934485722489831344318044幼树移植成活的频率0.8700.8930.8970.9030.8980.8960.902估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是.(结果精确到0.1)

5.(2023安徽淮南田家庵龙湖中学月考)在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共60个.小亮做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据：摸球的次数n10020030050080010003000摸到白球的次数m651241783024815991803摸到白球的频率m0.650.620.5930.6040.6010.5990.601(1)当n的值越来越大时，摸到白球的频率将会接近；(精确到0.1)

(2)假如你摸球一次，摸到黑球的概率为；

(3)请估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个.知识点3简单事件的概率的计算6.太极是我国的国粹，是传统文化的重要标志之一，太极图是对宇宙万物和人类社会最简明的表达，因而也最能代表中华民族固有的整体性的思维方式.在下面的太极图中任意画一个点，落在黑色区域的概率是()A.1π B.12 C.π7.(2023四川乐山沙湾期末)如图，对于下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠A=∠DCE；④∠A+∠ABD=180°；⑤∠D=∠DCE.任意选取一个，能判定AB∥CD的概率是()A.15 B.25 C.358.(2023湖南衡阳蒸湘期末)如图，下列三个转盘中各个扇形的面积都相等，分别转动三个转盘，停止转动时，“指针落在阴影区域内”可能性最大的是转盘.

甲 乙 丙9.(2023山西省实验中学月考)从标有1，2，3，…，30的30张纸片中任取1张，试求取出的纸片上的数字是3或4的倍数的概率.10.(2023陕西咸阳礼泉期末)“国以民为本，民以食为天”，食品安全直接关系着人民群众的生活，影响我们每一个人的健康，更关系着民族的兴旺昌盛，因此，食品安全问题不容忽视!某食品安全检测部门分别派甲、乙、丙、丁四个检测小组依次随机选择A、B、C、D四个品牌中的一个进行质量检测.(品牌不能被重复选择)(1)已知甲组第一个选择，求甲组选择C品牌的概率；(2)已知甲组选择了B品牌，乙组第二个选择，求乙组选择A品牌的概率.11.某中学有一次红色研学的机会，王明和赵亮都想获得这次机会，学习革命斗争精神，培养新的时代精神.班长刘毅为他们出了一个主意，方法就是：从印有1，2，3，4，4，5，6，7的8张扑克牌中任取一张，抽到比4大的牌，王明去；否则，赵亮去.(1)求王明抽到4的概率；(2)你认为这种方法对王明和赵亮公平吗?请说明理由；若不公平，请你修改游戏规则，使游戏对双方都公平.知识点4用画树状图法或列表法求概率12.(2023河南洛阳洛龙期末)现有4张卡片，正面图案如图所示，除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“加强全民国防教育增强全民国防观念”和“关心国防热爱国防建设国防保卫国防”的概率是()A.16 B.18 C.11013.(2023重庆九龙坡育才中学期末)现有4张卡片，其中3张卡片正面上的图案是“”，1张卡片正面上的图案是“”，它们除此之外完全相同.把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案相同的概率是()A.916 B.34 C.38[变式](2023山西临汾大宁期末)在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球.两次都摸到黄球的概率是()A.49 B.13 C.2914.(2022河南郑州中原模拟)如图所示的电路图中，当随机闭合S1、S2、S3、S4中的两个开关时，灯泡不亮的概率为.

15.(2021河南南阳镇平期末)在一个不透明的口袋里有标号分别为1，2，3，4，5的五个小球，除数字不同外小球没有任何区别，摸球前先搅拌均匀，每次任意摸一个球，若从口袋中不放回地摸两次，则两球上标的数字是一奇一偶的概率是.

16.(2023海南海口龙华期末)“双减”政策下，为了切实提高课后服务质量，某中学开展了丰富多彩的课后服务活动，设置了体育活动、劳动技能、经典阅读、科普活动四大板块课程(依次记为A、B、C、D).小丽和小慧两名同学要随机选择一个板块课程.(1)小慧选择科普活动课程的概率是；

(2)用画树状图或列表的方法，求小丽和小慧选择同一个板块课程的概率.17.一个不透明的布袋里装有4个球，其中3个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同.(1)摸出1个球，记下颜色后不放回，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色不同的概率(要求画树状图或列表)；(2)现再将n个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个球是白球的概率为34，求n的值18.(2023陕西西安碑林铁一中学期末)某校的学生除了体育课要进行体育锻炼外，寒暑假期间还要自己抽时间进行体育锻炼，为了了解同学们假期体育锻炼的情况，开学时体育老师随机抽取了部分同学进行调查，按锻炼的时间x(分钟)分为以下四类：A类(0≤x≤15)，B类(15<x≤30)，C类(30<x≤45)，D类(x>45)，对调查结果进行整理并绘制了如图所示的不完整的折线统计图和扇形统计图，请结合图中的信息解答下列各题：(1)扇形统计图中D类所对应的圆心角度数为，并补全折线统计图；

(2)现从A类中选出两名男同学和三名女同学，从以上五名同学中随机抽取两名同学进行采访，请利用画树状图或列表的方法求出抽到的学生恰好是一男一女的概率.能力提升全练19.(2022四川乐山中考)一个布袋中放着6个黑球和18个红球，除了颜色以外没有任何其他区别.则从布袋中任取1个球，取出黑球的概率是()A.14 B.13 C.2320.(2022湖南株洲茶陵模拟)孔明给弟弟买了一些糖果，放到一个不透明的袋子里，这些糖果除了口味和外包装的颜色外其余都相同，袋子里各种口味糖果的数量统计如图所示，他让弟弟从袋子里随机摸出一颗糖果.则弟弟恰好摸到苹果味糖果的概率是()A.12 B.13 C.1521.(2022山东济南中考)某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”“北斗卫星”“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是()A.19 B.16 C.1322.(2022辽宁铁岭中考)如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成.向游戏板随机投掷一枚飞镖(每次飞镖均落在纸板上)，击中阴影区域的概率是.

23.(2023吉林长春二道模拟)欧阳修在《卖油翁》中写道：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿.”如图所示，若铜钱直径为4cm，中间有边长为1cm的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计)，则油恰好落入孔中的概率是.

24.(2022山东聊城中考)如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被三等分，分别标有数字2，0，-1；转盘B被四等分，分别标有数字3，2，-2，-3.如果同时转动转盘A，B，转盘停止时，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为x，y(当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘)，那么点(x，y)落在平面直角坐标系第二象限的概率是.

25.(2023河南平顶山郏县期末)一只不透明的袋子中，装有分别标有数字1，2，3的三个球，这些球除所标数字不同外其余都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记录下数字后放回袋中并搅匀，再从中任意摸出一个球，记录下数字.求两次摸出的球上的数字之和为偶数的概率.解：画树状图如下，由图可知共有6种等可能的结果，其中和为偶数的结果有2种，所以两次摸出的球上的数字之和为偶数的概率是26=1以上解答正确吗?若不正确，请改正.26.(2022吉林中考)长白山国家级自然保护区、松花湖风景区和净月潭国家森林公园是吉林省著名的三个景区.甲、乙两人用抽卡片的方式决定一个自己要去的景区.他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上长白山、松花湖、净月潭.卡片除正面景区名称不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，甲先从中随机抽取一张卡片，记下景区名称后正面向下放回，洗匀后乙再从中随机抽取一张卡片.请用画树状图或列表的方法，求两人都决定去长白山的概率.27.(2022山东青岛中考)2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课开讲，航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情.小冰和小雪参加航天知识竞赛时，均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得.小冰和小雪都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享.游戏规则如下：甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五个球，两口袋中的球除编号外都相同.小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；若两球编号之和为偶数，则小雪获胜.请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平.28.(2022四川成都中考)2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准(2022年版)》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来.某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表.等级时长t(单位：分钟)人数所占百分比A0≤t<24xB2≤t<420C4≤t<636%Dt≥616%根据图表信息，解答下列问题：(1)本次调查的学生总人数为，表中x的值为；

(2)该校共有500名学生，请你估计等级为B的学生人数；(3)本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率.素养探究全练29.(2023山西晋中月考)如图1，一个质地均匀的正六面体，其六个面上分别标有1，2，3，4，5，6.如图2，正方形ABCD的四个顶点处各有一个小圆圈.张华和李辉玩跳圈游戏，游戏规则：游戏者从圈A起跳，每投掷一次正六面体，朝上的一面是几，就沿图2正方形的边逆时针连续跳跃几个边长.例如：掷得的点数为3，就从顶点A开始逆时针跳3个边长，落到圈D；掷得的点数为4，就从顶点A开始逆时针跳4个边长，落回到圈A；掷得的点数为5，就从顶点A开始逆时针跳5个边长，落到圈B.(1)张华投掷一次正六面体，按规则跳跃后能落到圈C的概率为；能落到圈D的概率为.

(2)张华和李辉各投掷一次正六面体，并按规则进行跳跃，用列表或画树状图的方法求落在同一圈内的概率.图1 图2

第25章随机事件的概率25.2随机事件的概率答案全解全析基础过关全练1.D∵某个事件发生的概率是12，∴该事件在一次试验中可能发生，也可能不发生，每次试验中事件发生的可能性是502.12<P(B解析因为事件B包含事件A，则P(B)>12，∵袋子里还有白球，∴P(B)<1，∴P(B)的取值范围是12<P(B3.C∵经过大量反复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，∴估计点落入黑色部分的概率为0.6，∴估计黑色部分的总面积为3×3×0.6=5.4(cm2).4.0.9解析由题表可知，幼树在一定条件下的移植成活的频率逐步稳定在0.900左右，∴估计幼树在此条件下移植成活的概率为0.900，精确到0.1，即为0.9.5.解析(1)当n的值越来越大时，摸到白球的频率将会接近0.6.(2)根据频率估计概率可得，摸到白球的概率为0.6，∴摸到黑球的概率为1-0.6=0.4.(3)黑球个数为60×0.4=24，白球个数为60-24=36，∴黑球有24个，白球有36个.6.B∵黑色区域的面积占了整个图形面积的12∴P(落在黑色区域)=127.B本题以平行线的判定为载体考查概率的求法，命题新颖.根据平行线的判定定理可知，①③两个条件分别可以判定AB∥CD，∴能判定AB∥CD的概率是258.乙解析三个转盘中各个扇形的面积都相等，分别转动三个转盘，停止转动时，甲转盘“指针落在阴影区域内”的可能性为38，乙转盘“指针落在阴影区域内”的可能性为48=12，丙转盘“指针落在阴影区域内”的可能性为28=9.解析12和24既是3的倍数又是4的倍数，这两个数分别只能算一次，否则易致错.在1，2，3，…，30这30个数中，是3或4的倍数的数有3，4，6，8，9，12，15，16，18，20，21，24，27，28，30，共15个，故P(取出的纸片上的数字是3或4的倍数)=1530=1210.解析(1)∵甲组第一个选择，∴甲组从A、B、C、D四个品牌中随机选择一个，甲组选择C品牌的概率为14(2)∵甲组选择了B品牌，乙组第二个选择，∴乙组从A、C、D三个品牌中随机选择一个，乙组选择A品牌的概率为1311.解析(1)从8张扑克牌中任取一张，所有可能出现的结果共有8种，每种结果出现的概率都相等，其中抽到4的结果有2种，所以P(抽到4)=28=1(2)不公平.理由如下：从8张扑克牌中任取一张，所有可能出现的结果共有8种，每种结果出现的概率都相等，其中抽到比4大的结果有3种，所以P(抽到比4大)=38，所以王明去参加研学的概率为38.同理，赵亮去参加研学的概率为58.因为38<58，所以游戏不公平.修改游戏规则如下(答案不唯一)：从印有1，2，3，4，4，5，6，7的8张扑克牌中任取一张，抽到比4大的牌，王明去；抽到比4小的牌，赵亮去12.A把4张卡片分别记为A、B、C、D，画树状图如下，共有12种等可能的结果，两张卡片正面图案恰好是“加强全民国防教育增强全民国防观念”和“关心国防热爱国防建设国防保卫国防”的结果有2种，故所求概率=212=113.D解法1：(画树状图法)3张用A1，A2，A3表示，用B表示，依题意可得树状图如下，由树状图可知共有12种等可能的结果，其中两张卡片正面图案相同的有6种，故P(两张卡片正面图案相同)=12解法2：(列表法)3张用A1，A2，A3表示，用B表示，依题意可列表如下，由表可知共有12种等可能的结果，其中两张卡片正面图案相同的有6种，故P(两张卡片正面图案相同)=12.第2张

第1张A1A2A3BA1

(A1，A2)(A1，A3)(A1，B)A2(A2，A1)

(A2，A3)(A2，B)A3(A3，A1)(A3，A2)

(A3，B)B(B，A1)(B，A2)(B，A3)

[变式]A本题属于“放回”试验，注意区分“有放回”和“无放回”试验.依题意画树状图如下，由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中两次都摸到黄球的有4种结果，∴两次都摸到黄球的概率为4914.1解析设S1、S2、S3、S4分别用1、2、3、4表示，画树状图如下，由图可知共有12种等可能的结果，其中能够让灯泡不亮的有2种结果，∴灯泡不亮的概率为212=115.3解析依题意列表如下：

123451

(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)2(2，1)

(2，3)(2，4)(2，5)3(3，1)(3，2)

(3，4)(3，5)4(4，1)(4，2)(4，3)(4，5)5(5，1)(5，2)(5，3)(5，4)由表易知所有等可能的情况有20种，其中两球上标的数字是一奇一偶的情况有12种，则两球上标的数字是一奇一偶的概率是1220=316.解析(1)小慧选择科普活动课程的概率是14(2)画树状图如下，由图可知共有16种等可能的结果，其中小慧和小丽选择同一个板块课程的结果有4种，∴小丽和小慧选择同一个板块课程的概率为416=117.解析(1)画树状图如下，由图可知共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球恰好颜色不同的有6种结果，∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率为612=1(2)根据题意得n+1n+4=34，解得n=8，经检验，n=8是原方程的解，18.解析(1)∵被调查的总人数为48÷40%=120(人)，∴扇形统计图中D类所对应的圆心角度数为360°×6120=18°，B类人数为120-(48+24+6)=42(人)，补全折线统计图如下(2)A1，A2，A3分别表示三名女同学，B1、B2分别表示两名男同学，画树状图如下，由图可知共有20种等可能的情况，其中是一男一女的有12种情况，故抽到的学生恰好是一男一女的概率=1220=3能力提升全练19.A∵一个布袋中放着6个黑球和18个红球，∴从布袋中任取1个球，取出黑球的概率是618+6=624=20.D本题将对概率的考查融入条形统计图中，新颖别致.由题意可知弟弟恰好摸到苹果味糖果的概率为43+3+5+4=421.C把“5G时代”“北斗卫星”“高铁速度”三个主题分别记为A、B、C，画树状图如下，由图可知共有9种等可能的结果，其中小明和小亮恰好选择同一个主题的结果有3种，∴小明和小亮恰好选择同一个主题的概率为39=122.1解析设题图中每个小正方形的面积为1，则大正方形的面积为9，阴影区域的面积为3，则P(击中阴影区域)=39=123.1解析因为直径为4cm的铜钱的面积=π×22=4πcm2，边长为1cm的正方形小孔的面积=1×1=1