江苏省某中学2025届高三年级上册第一次调研考试数学试题

2024/2025学年度高三第一次调研测试

数学

2025.09

一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.命题XGN,N>0”的否定为

A.VXGN,NW0B.E尤GN,尤2W0

C.ZXGN,N>0D.V尤GN,x2<0

2.已知集合A={x||x|<2,尤GZ},B={x|y=ln（3尤一/）},则AriB=

A.[x\O<x<2}B.{x\-2<x<3]C.{1}D.{0,1,2}

3.已知点P（3,-4）是角a终边上一点，贝cos2a=

（a+-y,x<l

4.已知函数/（无）=,在R上单调递减，则实数。的取值范围为

——

.2x

1171

A.a<0B.a>—-C.--<a<0D.0<a<-

227

,则其解析式可能为

5.已知函数八尤）部分图象如图所示1

2x-x

A./(x)=N(眇一e")B./(x)=x(e+e)i[/

C./(x)=X(0^—匕—%)一寸

6.过点(3,1)作曲线y=ln(x—1)的切线,则这样的切线共有

A.0条B.1条C.2条D.3条

7.锐角。、夕满足sinA=cos(a+.)sina,若tana=—,贝!Jcos(a+£)=

1B0

A.-D.W

8.若函数/(%)=sin2ox—2，Jcos2a>x+^3(。＞0)在(0,三)上只有一个零点，则3的

取值范围为

14rB.4g)17、

A.(--]c(£]D.[r一,一)

3f366

二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.己知0＜。＜1一》＜1,则

1

A.0<Z?<lB.a>bC.a~b<.1D.ab<—

4

10.已知xi,尤2,%3是函数/(x)的三个零点(°>0,xi<X2<X3),则

A.°3>X^B.X1<O<X2

111A

a»南+耐+很=0

11.若定义在R上的函数/(x)的图象关于点(2,2)成中心对称，且/(x+1)是偶函数，则

A./(x)图象关于x=0轴对称B./(x+2)-2为奇函数

20

C./(x+2)=f(x)D.2；/(,)=42

JO

三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若函数/(尤)=是奇函数，则/(-)=_______.

cosx-22

13.“1＜无＜,”是“xlnxCylny”的条件，(选填“充分不必要、必要不充

分、充要、既不充分也不必要”)

14.班上共有45名学生，其中40人会打乒乓球，30人会骑自行车，25人会打羽毛球,

则三个运动项目都会的同学至少有人.

四、解答题:本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

J51

已知a、乃为锐角，sina———,tanP--.

103

(1)求tan2a的值;

⑵求a+2£的大小.

16.(15分)

已知函数/'(x)=eA—e-'—2x+2.(e=2.71828…)

(1)判断函数y=/(x)—2的奇偶性并证明，据此说明了(尤)图象的对称性;

(2)若任意—(1,+oo),/(mInx)+/(x)>4,求实数m的取值范围.

17.(15分)

若函数/(尤)=8$(。彳+夕)(°>0"/<2)图象的相邻对称轴距离为2,且/(乃)=

225

1

2

⑴求了(%)的解析式;

(2)将/(x)的图象向右平移三个单位，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的

12

2倍(纵坐标不变)得到函数y=g(x)的图象.当xe(0,7r)时,求不等式g(2x)Wg(尤+-)的

解.

18.(17分)

绿色、环保是新时代健康生活的理念,某一运动场馆投放空气净化剂净化场馆，已知

每瓶空气净化剂含量为。，投放后该空气净化剂以每小时10%的速度减少，根据经验，当

场馆内空气净化剂含量不低于3a时有净化效果，且至少需要持续净化12小时才能达到

净化目的.现有9瓶该空气净化剂.

(1)如果一次性投放该空气净化剂9瓶，能否达到净化的目的?如果能，说明理由；如

果不能，最多可净化多长时间？(精确到0.1小时)

(2)如果9瓶空气净化剂分两次投放，在第一次投放后间隔6小时进行第二次投放,

为达到净化目的，试给出两次投放的所有可能方案？(每次投放的瓶数为整数，投放用时

忽略不计)

(参考数据:1g320.477,0.96Po.53).

19.(17分)

已知函数/(x)=2\nx~ax2+l,

(1)若/(%)的最大值为0,求。的值；

(2)若存在k£(m,〃)，使得了㈤—/(m)=/'(女)("一根)，则称k为/(%)在区间(m,ri)上

的“巧点”.

⑴当。=0时，若1为/(%)在区间(办近上的“巧点””，证明:机+〃>2；

(ii)求证:任意。>0,/(x)在区间(加,〃)上存在唯一“巧点”k.

参考答案

1-8BCBDACBA9-11ACDABDBD

12、-113、充分必要14、5

15.（13分）

【解】

(1)因为aw(0,孕，sina♦

所以cosa=Vi-sin2a=

所以tana=®@=《，

cosa7

所以tan2a=23*_="乂普=[.

1-tan-a74824

(2)因为tan4=(，所以tan2夕=32粤_=?*±=£

31-tan^P384

lana+lan267+41

所以tan(a+20)=

1-tanatan20i3

~28

因为tana=y<1»且aw（0,?，

所以0va<1：

4

因为tan2/=N<1,且夕€（0,到，

42

所以0<2£<1,

所以0<a+2夕<当，

（注意：学生控制范围0<a+2y?〈普，确保角度唯一性亦可）

所以a+2/斗.

16.(15分)

【解】

(1)函数v=〃x)-2是奇函数，理由如卜'：

设g(x)=f(x]一2=e'-e'-2x,函数。(x)的定义域为R,

因为VxeR,都有-xwR,

(没有说明定义域对称性、至少要判断定义域，否则扣2分)

且g(-x)=e-x-e*+2x=-g(x),

所以g(x)是奇函数，其图像关于(0,0)中心对称；

因为/(x)=g(x)+2，

所以fix)图象是由g(x)向上平移2个单位得到，

所以“X)图像关于(0,2)中心对称.

(2)因为f(x)=g(x)+2,

所以/(minx)+/(x)>4可以化为g(mlnx)+g(x)>0，

所以g(wlnV)>-g(x)=g(-x)，

因为<(外=/+©-*-2，

因为e'>0,所以/+小》2,

所以g'(x)N0且不恒为0,即以x)在R上单调递增，

所以minx>-x在。，+8)上恒成立，

所以用〉三工在(I,+8)上恒成立，

Inx

令h(x)=m,

In.r

所以伍”)=上譬，

Inx

所以人(x)在(l,c)上递增，在(e,+8)递减,

所以-W力®=-c,

所以5A-e.

17.(15分)

【解】(I)因为/(工)图象相邻对称轴距离为

所以r=w,即再=兀，

同

因为④>0,所以0=2,

所以/(x)=cos(2x+(p)：

因为/(为=—4，所以cos©+⑺=一J,

n2.52

因为闷V,，

所以一券〈目+0〈婪，

636

所以］+0=竽，即尹=全，

所以/(x)=cos(2x+争.

(2)因为/(x)=cos(2x+?图象向右平移需个单位得到y=cos(2x-^)=sin2x

再将y=sin2x图象上每个点横坐标变为原来2倍得到y=sinx,

所以g(x)=sinx；

所以不等式为sin2xWsin(x+/),

令f=x+q,则fw(］，孕),

444

不等式化为sin2(r-^)Wsinr,

所以一cos2Ksim,

所以2sin，-sinfTWO，

所以—；Wsinf&l>

结合函数v=sinf在号)上的图象得品Wg，

所以0<xW者即为所求不等式的解.

18.(17分)【解】(1)假设一次性投放9瓶，可持续净化x小时,

则9。(1-10%)*23。(x>0)

所以0.9*N；

两边取常用对数得，xlg0.9>lg1,

所以XWT\=10-4,

1-21g3

因为10.4<12，

所以不能达到净化目的，最多可净化10.4小时.

(2)设第一次投放〃瓶，第二次投放9-〃瓶，〃€!<且“忘9,

依据题意得，<,,.

Inail-10%)12+(9-n)a(l-10%?>3o②

由①得，"23=5.7,

0.96

由②得，nW9x”'Y=7.1,

0.96_0,产

(两组近似计算碎一个给1分，只要保留小数点后一位数据一致即可)

所以5.7<〃<7.1；

又因为“WN”,所以，〃可取6或7.

所以两次投放可能的投放方案为第•次投放6瓶，第二次投放3瓶；

或者第•次投放7瓶，第二次投放2瓶.

19.(17分)

(1)因为/'(x)=2-2ar=型二竺口

XX

当。=0时，/(x)在(0,+oo)上递增，不符合；

当”>0时，/⑴在(0,4)上递增，在(J=,+8)上单调递减,

yjayja

所以/(K)最大值为/(J=)=21n-1==0,

y/ayja

所以j==l,即0=1,

综上，a=1.

(2)因为/U)=M-2加="〃)一八⑼,ke(m,n),

kn-m

(i)当a=0时，/(x)=21nx+l,f'(x)=—,

因为A=1,mv1<”.

所以久)二/㈣=2,21n〃-21nm二2,

n-mn-m

即n-m=1;

Inn-Inm

要证制+">2，

即证产千旦，

Inn-Inm2

令3=r,因为〃〉/M,所以/>1,

m

设g(，)=lnf.

所以g，a)=L2T>o,

所以g⑺在(1,+8)上单调递增，

所以g")>g(l)=o，

2(——1)

所以In旦〉口----即