2024-2025学年高中数学第一章计数原理1.2.1第2课时排列的综合应用学案含解析新人教A版选修2-3

PAGE其次课时排列的综合应用内容标准学科素养1.进一步加深对排列概念的理解.2.驾驭几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简洁的实际问题.利用数字抽象加强数学建模授课提示：对应学生用书第8页[基础相识]学问点一排列数公式学问梳理Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)＝eq\f(n！,n－m！).Aeq\o\al(n,n)＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫做n的阶乘)．另外，我们规定0！＝1.学问点二排列应用问题学问梳理求排列应用题时，正确地理解题意是最关键的一步，要擅长把题目中的文字语言翻译成排列的相关术语．正确运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理是非常重要的．分类时，要留意各类之间不重复、不遗漏．分步时，要留意依次做完各个步骤后，事情才能完成．假如不符合条件的状况较少时，也可以采纳解除法．解简洁的排列应用问题首先必需仔细分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有依次，假如是，再进一步分析这里n个不同的元素指的是什么，以及从n个不同的元素中任取m个元素的每一种排列对应的是什么事．[自我检测]1．已知Aeq\o\al(2,n)＝132，则n等于()A．11 B．12C．13 D．14解析：Aeq\o\al(2,n)＝n(n－1)＝132，解得，n＝12或－11(舍去)．答案：B2．北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应当有________种机票．解析：符合题意的机票种类有：北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种．答案：12授课提示：对应学生用书第9页探究一无限制条件的排列问题[阅读教材P18例3](1)从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？题型：无限制条件的排列问题方法步骤：(1)一种送法就是三本书的一个排列，故有Aeq\o\al(3,5)＝60种不同的送法．(2)从5种书中买3本送给3名同学，应分三步完成，共有5×5×5＝125种．[例1](1)有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(6)班的3个学习爱好小组进行探讨，每组一个课题，共有多少种不同的支配方法？(2)12名选手参与校内歌手大奖赛，竞赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，共有多少种不同的获奖状况？[解析](1)从5个不同的科研小课题中选出3个，由3个学习爱好小组进行探讨，对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列．因此不同的支配方法有Aeq\o\al(3,5)＝5×4×3＝60(种)．(2)从12名选手中选出3名获奖并支配奖次，共有Aeq\o\al(3,12)＝12×11×10＝1320种不同的获奖状况．方法技巧典型的排列问题，用排列数计算其排列方法数；若不是排列问题，需用计数原理求其方法种数．排列的概念很清晰，要从“n个不同的元素中取出m个元素”．即在排列问题中元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中，元素可以重复选取．跟踪探究1.从1,2,3,4这四个数字中任选三个数字，共能排成多少个没有重复数字的三位数．解析：从1,2,3,4这四个数字中任选三个数字，排成没有重复数字的三位数，就是从这四个元素中任取三个式子的排列，所以共有Aeq\o\al(3,4)＝4×3×2＝24个没有重复数字的三位数．探究二有限制条件的排列问题1．数字排列问题[阅读教材P19例4]用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？题型：数字排列问题方法步骤：(1)特殊元素优先法，分含0的三位数和不含0的三位数．含0的三位数共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,9)＝144，不含0的三位数共有Aeq\o\al(3,9)＝504，共有144＋504＝648.(2)特殊位置优先法，分两步：第一步，填百位有Aeq\o\al(1,9)种，其次步，填个位和十位有Aeq\o\al(2,9)种．共有Aeq\o\al(1,9)·Aeq\o\al(2,9)＝648.(3)间接法，Aeq\o\al(3,10)－Aeq\o\al(2,9)＝648.Aeq\o\al(2,9)表示0在百位的三位数．[例2]用0,1,2,3,4,5这六个数字：(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？(3)能组成多少个比1325大的四位数？[解析](1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：当0在个位时，有Aeq\o\al(3,5)个；其次类：当2在个位时，千位从1,3,4,5中选定1个(Aeq\o\al(1,4)种)，十位和百位从余下的数字中选(有Aeq\o\al(2,4)种)，于是有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,4)个；第三类：当4在个位时，与其次类同理，也有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,4)个．由分类计数原理知，符合题意的四位偶数共有Aeq\o\al(3,5)＋Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,4)＝156(个)．(2)是5的倍数的五位数可分为两类：个位数字是0的五位数有Aeq\o\al(4,5)个；个位数字是5的五位数有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,4)个．故满意条件的五位数共有Aeq\o\al(4,5)＋Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,4)＝216(个)．(3)比1325大的四位数可分为三类：第一类，形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,5)个；其次类：形如14□□，15□□，共有Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,4)个；第三类：形如134□，135□，共有Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(1,3)个．由分类加法计数原理知，比1325大的四位数共有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,5)＋Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(1,3)＝270(个)．方法技巧用分步排位的方法计算排列数，必需留意三个方面(1)在题设条件的限制下，依据哪些元素可取、哪些元素不行取，对每一步排位；(2)在某一步排位后，下一步排位可取元素的个数，应视详细状况而定；(3)若某一步必需分类，则分类后各步都必需按各类分别计算．2．排队问题[例3]3名男生，4名女生，依据不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数：(1)选5名同学排成一行；(2)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；(3)全体站成一排，其中甲、乙必需在两端；(4)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；(5)全体站成一排，男生、女生各站在一起；(6)全体站成一排，男生必需排在一起；(7)全体站成一排，男生不能排在一起；(8)全体站成一排，男生、女生各不相邻；(9)全体站成一排，甲、乙中间必需有2人；(10)全体站成一排，甲必需在乙的右边；(11)全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右的依次不变；(12)排成前后两排，前排3人，后排4人．[解析](1)无限制条件的排列问题，只要从7名同学中任选5名即可，则共有N＝Aeq\o\al(5,7)＝7×6×5×4×3＝2520种不同的排队方案．(2)(干脆分步法)先考虑甲有Aeq\o\al(1,3)种方案，再考虑其余6人全排有Aeq\o\al(6,6)种方案，故共有N＝Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(6,6)＝2160种不同的排队方案．(3)(干脆分步法)先支配甲、乙有Aeq\o\al(2,2)种方案，再支配其余5人全排有Aeq\o\al(5,5)种方案，故共有N＝Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(5,5)＝240种不同的排队方案．(4)(法一：干脆分类法)按甲是否在最右端分两类．第1类，甲在最右端有N1＝Aeq\o\al(6,6)种不同的排队方案；第2类，甲不在最右端时，甲有Aeq\o\al(1,5)个位置可选，而乙也有Aeq\o\al(1,5)个位置可选，而其余全排，有N2＝Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)种不同的排队方案．故共有N＝N1＋N2＝Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)＝3720种不同的排队方案．(法二：间接法)无限制条件的排列数共有Aeq\o\al(7,7)种，而甲或乙在左端(右端)的排法有Aeq\o\al(6,6)种，甲在左端且乙在右端的排法有Aeq\o\al(5,5)种，故共有N＝Aeq\o\al(7,7)－2Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(5,5)＝3720种不同的排队方案．(5)相邻问题(捆绑法)男生必需站在一起，是男生的全排列，有Aeq\o\al(3,3)种排法，女生必需站在一起，是女生的全排列，有Aeq\o\al(4,4)种排法，将男生、女生各视为一个元素，有Aeq\o\al(2,2)种排法．由分步乘法计数原理知，共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)＝288种不同的排队方案．(6)(捆绑法)把全部男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素并全排，故共有N＝Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(5,5)＝720种不同的排队方案．(7)即不相邻问题(插空法)，先排女生共有Aeq\o\al(4,4)种排法，男生在4个女生隔成的5个空当中进行排列，有Aeq\o\al(3,5)种排法，故共有N＝Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(3,5)＝1440种不同的排队方案．(8)对比(7)让女生插空，共有N＝Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)＝144种不同的排队方案．(9)(捆绑法)任取2人与甲、乙组成一个整体，与余下3人全排，故共有N＝Aeq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)＝960种不同的排队方案．(10)甲与乙之间的左右关系各占一半，故N＝eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(2,2))＝2520种不同的排队方案．(11)甲、乙、丙自左向右的依次保持不变，即为全部甲、乙、丙排列的eq\f(1,A\o\al(3,3))，故共有N＝eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(3,3))＝840种不同的排队方案．(12)干脆分步完成，共有Aeq\o\al(3,7)Aeq\o\al(4,4)＝5040种不同的排队方案．方法技巧1.处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“一般”元素全排列，然后在“一般”元素之间及两端插入不相邻元素．2．“在”与“不在”排列问题解题原则及方法(1)原则：解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先．(2)方法：从元素入手时，先给特殊元素支配位置，再把其他元素支配在其他位置上，从位置入手时，先支配特殊位置，再支配其他位置．提示：解题时，或从元素考虑，或从位置考虑，都要贯彻究竟．不能一会考虑元素，一会考虑位置，造成分类、分步混乱，导致解题错误．3．在有些排列问题中，某些元素有前后依次是确定的(不肯定相邻)，解决这类问题的基本方法有两种：(1)整体法，即若有m＋n个元素排成一列，其中m个元素之间的先后依次确定不变，先将这m＋n个元素排成一列，有Aeq\o\al(m＋n,m＋n)种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换依次，有Aeq\o\al(m,m)种排法，其中只有一个排列是我们须要的，因此共有eq\f(A\o\al(m＋n,m＋n),A\o\al(m,m))种满意条件的不同排法．(2)逐一插空法，即m个元素之间的先后依次确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空隙中．跟踪探究2.用1,2,3,4,5,6,7这7个数字组成没有重复数字的四位数．(1)假如组成的四位数必需是偶数，那么这样的四位数有多少个？(2)假如组成的四位数必需大于6500，那么这样的四位数有多少个？解析：(1)第一步排个位上的数，因为组成的四位数必需是偶数，个位数字只能是2,4,6之一，所以有Aeq\o\al(1,3)种排法；其次步排千、百、十这三个数位上的数字，有Aeq\o\al(3,6)种排法．依据分步乘法计数原理，符合条件的四位数的个数是Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,6)＝3×6×5×4＝360.故这样的四位数有360个．(2)因为组成的四位数要大于6500，所以千位上的数字只能取7或6.排法可以分两类．第一类：千位上排7，有Aeq\o\al(3,6)种不同的排法；其次类：若千位上排6，则百位上可排7或5，十位和个位可以从余下的数字中取2个来排，共有Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,5)种不同的排法．依据分类加法计数原理，符合条件的四位数的个数是Aeq\o\al(3,6)＋Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,5)＝160.故这样的四位数有160个．授课提示：对应学生用书第10页[课后小结]求解排列问题的主要方法：干脆法把符合条件的排列数干脆列式计算优先法优先支配特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时留意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑依次限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反，等价转化的方法[素养培优]多种方法解决排列问题有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间，也不在两端；(2)甲、乙两人必需排在两端；(3)男女相间．审题视点：这是一个排列问题，一般状况