2024-2025学年高中数学第三章推理与证明章末优化总结课后巩固提升含解析北师大版选修1-2

PAGE章末检测(三)推理与证明(时间：90分钟满分：100分)第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式：S＝eq\f(底×高,2)，可推出扇形面积公式S扇等于()A.eq\f(r2,2) B.eq\f(l2,2)C.eq\f(lr,2) D．不行类比解析：由条件知S扇＝eq\f(1,2)lr.答案：C2．给出下列推理：①由A，B为两个不同的定点，动点P满意||PA|－|PB||＝2a<|AB|，得点P的轨迹为双曲线；②由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3猜想出数列{an}的前n项和Sn的表达式；③由圆x2＋y2＝r2的面积为πr2，猜想出椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的面积为S＝abπ；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．其中是归纳推理的命题个数为()A．0 B．1C．2 D．3解析：由题意知只有②是归纳推理．答案：B3．设f0(x)＝cosx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)(n∈N＋)，则f2011(x)＝()A．sinx B．－sinxC．cosx D．－cosx解析：由条件知f0(x)＝cosx，f1(x)＝－sinx，f2(x)＝－cosx，f3(x)＝sinx，f4(x)＝cosx，…，故函数f(x)以4为周期循环出现，故f2011(x)＝sinx.答案：A4．已知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))为等差数列，a5＝2，则eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的类似结论为()A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29C．a1a2a3…a9＝2×9D．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9解析：等比数列中积的关系在等差数列中应为加，同理，等比数列中的乘方在等差数列中应为积．答案：D5．奇数不能被2整除，32010－1是奇数，所以32010－1不能被2整除，上述推理()A．正确B．推理形式不正确C．错误，因为大前提错误D．错误，因为小前提错误解析：因为32010－1是偶数，所以小前提错误．答案：D6．n个连续自然数按规律排成下表依据规律，从2009到2011，箭头的方向依次为()A．↓→ B．→↑C．↑→ D．→↓解析：视察特例的规律知位置相同的数字都是以4为公差的等差数列．由此知从2009到2011为→↑，故选B.答案：B7．若0<a<1,0<b<1且a≠b，则在a＋b,2eq\r(ab)，a2＋b2和2ab中最大的是()A．a＋b B．2eq\r(ab)C．a2＋b2 D．2ab解析：因为0<a<1,0<b<1且a≠b，所以a＋b>2eq\r(ab)，a2＋b2>2ab，又0<a<1,0<b<1，所以a2<a，b2<b，所以a2＋b2<a＋b.答案：A8．将正整数排成下表：12345678910111213141516……则数表中的数字2010出现在()A．第44行第75列 B．第45行第75列C．第44行第74列 D．第45行第74列解析：第n行有2n－1个数字，前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1936,452＝2025，且1936<2010,2025>2010，∴2010在第45行．又2025－2010＝15，且第45行有2×45－1＝89个数字，∴2010在第89－15＝74列，故选D.答案：D9．若P＝eq\r(a)＋eq\r(a＋7)，Q＝eq\r(a＋3)＋eq\r(a＋4)(a≥0)，则P，Q的大小关系为()A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．由a的取值确定解析：要比较P与Q的大小，只需比较P2与Q2的大小，只需比较2a＋7＋2eq\r(aa＋7)与2a＋7＋2eq\r(a＋3a＋4)的大小，只需比较a2＋7a与a2＋7a＋12的大小，即比较0与12的大小，而0<12.故P<Q成立．答案：C10．设f(x)＝eq\f(1＋x,1－x)，又记f1(x)＝f(x)，fk＋1(x)＝f[fk(x)]，k＝1,2，…，则f2017(x)等于()A．－eq\f(1,x) B．xC.eq\f(x－1,x＋1) D.eq\f(1＋x,1－x)解析：计算f2(x)＝f(eq\f(1＋x,1－x))＝eq\f(1＋\f(1＋x,1－x),1－\f(1＋x,1－x))＝－eq\f(1,x)，f3(x)＝f(－eq\f(1,x))＝eq\f(1－\f(1,x),1＋\f(1,x))＝eq\f(x－1,x＋1)，f4(x)＝eq\f(1＋\f(x－1,x＋1),1－\f(x－1,x＋1))＝x，f5(x)＝f1(x)＝eq\f(1＋x,1－x)，归纳得f4k＋1(x)＝eq\f(1＋x,1－x)，k∈N＋，从而f2017(x)＝eq\f(1＋x,1－x).答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)11．若数列{an}中，a1＝1，a2＝3＋5，a3＝7＋9＋11，a4＝13＋15＋17＋19，…，则a10＝________.解析：前10项共运用了1＋2＋3＋4＋…＋10＝55个奇数，a10为由第46个到第55个奇数的和，即a10＝(2×46－1)＋(2×47－1)＋…＋(2×55－1)＝eq\f(10×91＋109,2)＝1000.答案：100012．依据前面的推理，在下表的空白处添加相应的结论.三角形的两边之和大于第三边四面体的三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的面积等于底乘高的eq\f(1,2)三棱锥的体积等于底面积乘高的eq\f(1,3)三角形的面积等于三角形的周长与内切圆半径的积的eq\f(1,2)解析：设△ABC的内切圆的半径为r，圆心为O，三边长分别为a、b、c，连接OA、OB、OC，将△ABC分割为三个小三角形△OAB、△OAC、△OBC，其面积和为S△ABC＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r.类似地，设三棱锥S­ABC的内切球半径为R，球心为O，连接OS、OA、OB、OC，将三棱锥分割为四个小三棱锥O­SAB，O­SAC，O­SBC，O­ABC，其体积和为三棱锥S­ABC的体积，则V＝eq\f(1,3)S1R＋eq\f(1,3)S2R＋eq\f(1,3)S3R＋eq\f(1,3)S4R＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)R＝eq\f(1,3)S表R.答案：三棱锥的体积等于三棱锥的表面积与内切球半径的积的eq\f(1,3)13．设a≥0，b≥0，a2＋eq\f(b2,2)＝1，则aeq\r(1＋b2)的最大值为______．解析：∵a≥0，b≥0，∴aeq\r(1＋b2)＝eq\f(\r(2),2)·eq\r(2a2)·eq\r(1＋b2)≤eq\f(\r(2),2)·eq\f(2a2＋1＋b2,2)＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(3,2)＝eq\f(3\r(2),4).答案：eq\f(3\r(2),4)14．视察下列等式：①cos2α＝2cos2α－1；②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；⑤cos10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.可以推想，m－n＋p＝________.解析：视察各式简单得m＝29＝512，留意各等式右面的表达式各项系数和均为1，故有m－1280＋1120＋n＋p－1＝1，将m＝512代入得n＋p＋350＝0.对于等式⑤，令α＝60°，则有cos600°＝512·eq\f(1,210)－1280·eq\f(1,28)＋1120·eq\f(1,26)＋eq\f(1,16)n＋eq\f(1,4)p－1，化简整理得n＋4p＋200＝0，联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＋p＋350＝0，,n＋4p＋200＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝－400，,p＝50.))∴m－n＋p＝962.答案：962三、解答题(本大题共4小题，共44分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)已知a＋b＋c＝1，求证：ab＋bc＋ca≤eq\f(1,3).证明：∵a＋b＋c＝1，∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.又∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，∴将以上三个不等式相加，得：2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)．∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.∴1＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥ab＋bc＋ca＋2ab＋2bc＋2ca＝3(ab＋bc＋ca)，∴ab＋bc＋ca≤eq\f(1,3).16．(10分)设{an}是集合{2t＋2s|0≤s<t，且s，t∈Z}中全部的数从小到大排列的数列，即a1＝3，a2＝5，a3＝6，a4＝9，a5＝10，a6＝12，….将数列{an}各项依据上小下大，左小右大的原则写成如图所示的三角形数表：(1)写出这个三角形数表中的第4行、第5行各数；(2)求a100.解析：(1)将前三行各数分别写成2t＋2s的形式：第1行：3＝21＋20；第2行：5＝22＋20,6＝22＋21；第3行：9＝23＋20,10＝23＋21,12＝23＋22；由此归纳猜想：第4行：24＋20,24＋21,24＋22,24＋23；第5行：25＋20,25＋21,25＋22,25＋23,25＋24.经计算可得第4行各数依次是：17,18,20,24；第5行各数依次是：33,34,36,40,48.(2)由每行数的个数与所在行数相同，即第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，…故前13行共有1＋2＋3＋…＋13＝91个数．因此，a100应当是第14行中的第9个数．所以a100＝214＋28＝16640.17．(12分)已知在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，有eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)成立．那么在四面体A­BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及理由．解析：猜想：类比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想四面体A­BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD.则eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).如图所示，连接BE，并延长交CD于F，连接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD.而AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AF2).在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴eq\f(1,AF2)＝eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).∴eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2)，故猜想正确．18．(12分)设f(x)＝eq\f(ax＋a－x,2)，g(x)＝eq\f(ax－a－x,2)(其中a>0，a≠1)．(1)请你推想g(5)能否用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表示；(2)假如(1)中获得一个结论，请你推想能否推广并加以证明．解析：(1)5＝3＋2，且f(3)g(2)＋g(3)f(2)＝eq\f(a3＋a－3,2)·eq\f(a2－a－2,2)＋eq\f(a3－a－3,2)·eq\f(a2＋a－2,2)＝eq\f(a5－a＋a－1－a－5＋a5＋a－a－1－a－5,4)＝eq\f(a5－a－5,2).又g(5)＝eq\f(a5－a－5,2)，因此，g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)．(2)g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)．即g(3＋2)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)．于是