贵州省部分校2025届高三年级上册第二次联考数学试题

高三联考数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在

本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.复数z=—2i(—l+2i)的虚部为

A.-2B.2C.-4D.4

2.已知命题p：VxeR,一-一<1,命题q：3x>0,x3<x2，则

|x|+l

A.p和q都是真命题B.和q都是真命题

C.p和「q都是真命题D.和-都是真命题

3.已知单位向量Q,加满足〃•石二工，则|〃+B|=

2

A.1B.2C.V2D.目

4.已知sin1]—5,0],贝山^夕+.二

1111

A.-B.一一C.一一D.-

2233

22

5.设椭圆C：\+多=1(。〉6〉0)的左、右焦点分别为片，I马，过歹2作平行于y轴的直线交C于A,

ab

8两点，若|£A|=10,|AB|=12,则C的离心率为

1V21y[3

A.-B.-----C.-D.

2233

6.已知函数/(x)=xsin%-l与g(x)=〃(%2+1)的图象恰有一个交点，则4=

1

A.-1B.——C.1D.2

2

7.已知数据再，/，…，%(%£Z,i=l,2,♦・・,5)的平均数、中位数、方差均为4,则这组数据的极

差为

A.3B.4C.5D.6

8.已知定义在(0,+oo)上的函数/(九)满足：对任意的西,9£(0,+oo),玉W九2，都有

(々-/'(%)—/(xj+21n土<0,且/(2)=41112.满足不等式/(%—2022)>2111(2%—4044)的

-尤2_

X的取值范围是

A.(-00,2022)B.(2022,2024)C.[2022,+oo)D.[2024,+oo)

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数/(x)=sin|x|,则

A.f(x)的最小正周期为兀B.f(x)的最大值为1

JT

C.fCx)是偶函数D.f(x)的图象关于直线x=]对称

10.已知数列｛4｝的前"项和为S”，则下列结论正确的是

A.若｛%｝是等差数列，且5“="+2”+左，则左=0

B.若｛4｝是等比数列，且S.=32M+Z,则左=—3

C.若5“=3”2一2〃+1,则｛4｝是等差数列

D.若｛4｝是公比大于1的等比数列，则反”〉25”

222

11.星形线或称为四尖瓣线，是一个有四个尖点的内摆线.已知星形线C：Q+y3=a"a>0)上的点到

无轴的距离的最大值为1,则

A.a=l

B.。上的点到原点的距离的最大值为1

c.c上的点到原点的距离的最小值为变

2

D.当点(九0,%)在C上时,

O

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知,+£|(2x—必了的展开式中各项系数的和为%贝!j.=.

13.已知产为函数〃x)=上'图象上一点，则曲线y=/(x)在点尸处的切线的斜率的最小值为.

14.已知某三棱台的高为2遍，上、下底面分别为边长为和6石的正三角形，若该三棱台各顶点都在

球。的球面上，则球O的表面积为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2a—c=b2+ac=a"+c2.

(1)求C；

(2)若AABC的面积为史［8,求c.

2

16.(15分)

已知抛物线C：必=20；(〃>0)的焦点为尸，且尸与圆M：d+(y+2)2=i上点的距离的最小值为2.

(1)求p；

(2)已知点P(-1,-2),PA,P8是抛物线C的两条切线，A,8是切点，求|AB|.

17.(15分)

如图，在直三棱柱ABC—A4cl中，AB±AC,AB=AC=2,且A&=4,CQ=4CE,直线AE与

AC交于点F.

A

(1)证明：AC，平面ABE.

(2)求二面角A—BE—A的正弦值.

18.(17分)

在一个盒子中有2个白球,3个红球，甲、乙两人轮流从盒子中随机地取球，甲先取，乙后取,然后甲再取,……,

每次取1个，取后不放回，直到2个白球都被取出来后就停止取球.

(1)求2个白球都被乙取出的概率；

(2)求2个白球都被甲取出的概率；

(3)求将球全部取出才停止取球的概率.

19.(17分)

拟合和插值都是利用已知的离散数据点来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数，并以此预测或估计

未知数据的方法.拟合方法在整体上寻求最好地逼近数据，适用于给定数据可能包含误差的情况，比如线

性回归就是一种拟合方法；而插值方法要求近似函数经过所有的已知数据点，适用于需要高精度模型的场

景，实际应用中常用多项式函数来逼近原函数，我们称之为多项式插值.例如，为了得到sin」的近似值,

2

我们对函数/(x)=sin[]xj进行多项式插值.设一次函数"％)=依+6满足可得/

(x)在[0,1]上的一次插值多项式L(x)=x,由此可计算出sing的“近似值”

0.32,显然这个“近似值”与真实值的误差较大.为了减小插值估计的误差,

2^71)1兀J兀

除了要求插值函数与原函数在给定节点处的函数值相等，还可要求在部分节点处的导数值也相等，甚至要

求高阶导数也相等.满足这种要求的插值多项式称为埃尔米特插值多项式.已知函数/(x)=sin[]x]在

H⑼=〃0),

[0,1]上的二次埃尔米特插值多项式〃(%)=依2+桁+C满足｛H(l)=7(1),

"⑼=r⑼.

(1)求HG),并证明当xe[0,l]时，/(x)^H(x)；

(2)当尤e[0,l]时，"(X)—求/的取值范围；

(3)利用HG)计算sin—的近似值，并证明其误差不超过0.1.

2

(参考数据：--0.32,-4-0.10,结果精确到0.01)

高三联考数学参考答案

1.Bz=-2i(-l+2i)=4+2i,所以复数z的虚部为2.

Y

2.A对于p,因为所以-----<1,故p是真命题，Y是假命题.

1x1+1

对于9，当Ovxvl时，X3<X2,故q是真命题，丑是假命题.

综上，p和q都是真命题.

3.D因为|a+B|2=J+B?+2〃/=3,所以|〃+石|=百.

，所以cos6=@，又因为，e

5

tan0+1_1

tan8=----=-2,故tan

cos。1一tan。3

XVu

5.A由题可知A,B,F2三点的横坐标相等，设A在第一象限，将x=c代入二+4=1,得>=土一,

即Ac,—,B---，故|AB|==12,|AF21——=6.

1

因为|A7"+|AEJ=2a=16,解得a=8,所以后=48,c2=a2-b2=16,c=4,所以e=—=—.

a2

6.A令/(%)=g(x),即xsinx-l=a(%2+i),可得xsinxuox?+〃+l.

由题意可得函数丁=xsinx与y=〃/+〃+i的图象恰有一个交点.

因为函数y=xsinx与y=ax?+a+l都是偶函数，所以交点只能在y轴上，即0=。+1,解得。=一1.

若。=一1,令/(x)=g(x),可得sinx=—尤，即x+sinx=O.令函数/z(x)=x+sinx,

"(x)=l+cosx20,所以〃(无)在R上单调递增.因为〃(0)=0,所以方程x+sin》=O有且仅有一个

实根0,即函数〃x)=xsinx—1与g(x)=a(/+i)的图象恰有一个交点，所以a=—1符合题意.

7.D不妨设%4看《七4》44毛，因为这组数据的平均数、中位数均为4,所以］=七=4,

%+々+4+匕=16①.因为这组数据的方差为4,所以

—X(X]-4『+伍-4)2+伍-4)2+(七-4『=4,即

(%—4)2+(9—4)2+(七—4)2+(毛一4)2=20.因为%eZ(i=l,2,4,5),所以

|xi-4|GZ(z=l,2,4,5).要使得4个非负整数的平方和等于20,这4个数为0,0,2,4或1,1,3,3.若

5―4|0=1,2,4,5)为0,0,2,4,不存在%eZ(i=1,2,4,5)使得①成立，所以|七一4|«=1,2,4,5)为

1,1,3,3,%。=1,2,4,5)分别为1,3,5,7,所以这组数据的极差为6.

8.B不妨设々AX],则4-%>0，所以[/(々)-21n尤2]—[/(%)-21nxi]<0,

即/(%)—21nx2</(x1)-21n^.

设函数g(x)=/(x)-21nx,则g(%2)<g(%)，所以g(X)在(。，+@上单调递减.

/(x-2022)>21n(2x-4044),即/(x—2022)—21n(x—2000)>21n2,

因为/(2)=4如2,所以g⑵=/(2)—21n2,即g(x—2022)>g⑵,

%-2022>0,

解得{x|2022<x<2024}.

%-2022<2,

由图可得，A,D错误，B,C正确.

10.AB由S“="2+2〃+k,可得q=£=3+左，a2—S2——5,a3—S3——7.

因为｛。“｝是等差数列，所以。1+%=2。2，解得左=0，A正确.

5

由5“=32田+左，可得4=51=27+1,%=$2-H=8x33,a3=S3-S2=8x3.

因为｛q,｝是等比数列，所以q%=a；，解得左=一3，B正确.

若S“=3"？-2n+1,则4=2.当〃三2时，an-Sn--6n-5.显然〃=1时不满足。“=6〃-5,

2n=l

所以a”=<，故｛4｝不是等差数列，C错误.

6〃—5,“三2.

6(1T)a1

,所以3=1+/.因为4>1,所以二L〉2.当％<0时，Sn<0,

"qsaS"

邑“<2S”，当q〉0时，S,>0,S2n>2Sn,D错误.

ll.ABD令x=0,得y=±a,所以C与y轴的交点为(0,±a).由图可得，C上的点到x轴的距离的

最大值为同，即|。|=1,因为。>0,所以。=1,A正确.由图可得，C上的点到原点的距离的最大值为1,

3

22(2^2

B正确.设C上的点为P(%,%)，则"+*=1，所以为=1-xJ二点P到原点的距离为

I7

I(2?厂z-rz1V11五

片+[1—X”=13k—3焉+1=卡卜3—9+[三当且仅当/=±拳时,

等号成立，所以C上的点到原点的距离的最小值为;，C错误.当点(七,%)在C上时，

22/22[

芯+需=l22qx彳算,所以D正确•

12.3令％=1,贝Ul+a=4,解得a=3.

13.2f(x)的定义域为(YO,0)U(0，+8)・f'(x)=\+JC^2,当且仅当X=±1时，等号成立，故曲

X

线y=/(%)在点尸处的切线的斜率的最小值为2.

14.144兀如图，设H,G分别为△£>£1/和AA8C的中心.由题意可得。E=46，3c=6石，HG=2小，

DH=BDE=4,BG=®BC=6.因为OD=OB,所以OH?+。52=OG2+BG?,所以

33

(OG+2V5)2+42=：OG2+62,解得OG=0,即点。与点G重合.球。的半径即5G=6,则球。的

表面积为144兀.

2.2721

由余弦定理有cosB=-——-------二—

2ac2

JT

因为3e(O,7i),所以8=]

1

因为sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=-^-cosC+—sinC,

—cosC+-sinc]-sinC=—,即cosC=^

所以2

S2J22

jr

因为CG(O,TI),所以C=W

⑵由⑴可得4=兀苫三得

...5兀.兀兀血66\A/6+72

sinA=sin——=sm—+—二x-------1------X—=---------------

124622224

ab

由正弦定理有

.571.兀.兀

sin——sin—sin—

1234

仄而a=近卫Wc=4c,6=3.缶=^c

4222

A/3+1A/6

%BC=gabsinC=1V23+^/3

一,-----------c----c,......---------'解得°=2.

22228

16.解：(1)抛物线C的焦点为/[0,记圆〃的圆心为M(-2,0),\FM\=^+2.

尸与圆M：炉+(丁+2)2=1上点的距离的最小值为_|+2-1=2,解得夕=2.

(2)抛物线C的方程为V=4〉.

设过点P的直线方程为y=左(1+1)—2.

工2-4V

联立Jz、得％2_4丘—软+8=0.

y=k(x+l)-2,

令A=16左2—4(-k+8)=0,解得左=1或左=—2,

所以直线出，的方程分别为y=x—1,y=-2x-4.

联立|尤=4%得/―4%+4=O,解得％=2,y=l.

y=x-1,

联立,*=4%得/+8%+16=0,解得无=T,y=4.

y=-2x-4,

所以点A,3的坐标分别为(2,1),(-4,4).

|AB\=J(2+4)2+(1-4)2=3下.

17.(1)证明：因为2=生=2,所以4AC=NACE=5,所以△AACS/KACE,

ACCE"2

兀71

所以NA41c=NCAE,所以+=1AE+NC4E=],ZAE4,=-,AE±AXC.

在直三棱柱ABC—中，A4]，平面ABC,所以

因为ABLAC,AC^\AAi=A,所以AB，平面AC£4,所以A5，AC.

因为ABnAE=A,所以AC，平面ABE.

(2)解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，A4为z轴，建立空间直角坐标系，B(2,0,0),E(0,

2,1),4(0,0,4),C(0,2,0),

率=(2,0,T),BE=(-2,2,1),汞=(O,2,T).

设平面A.BE的法向量为n=(x,y,z),

n-A,B=2x-4z=0,一..

则__L取x=4,得“=（4,3,2）.

n-BE=-2x+2y+z=0,

由（1）可得“为平面A3E的法向量.

设二面角4—BE—A的大小为6,

\AlC-n\_V145

IACII”I145

sin*忘嬴隹磬

所以二面角A-BE-A的正弦值为.

18.解：(1)若2个白球都被乙取出，则第一次甲取出红球，第二次乙取出白球，第三次甲取出红球，第

32211

四次乙取出白球，结束取球，其概率为一x—x—x—=一.

543210

(2)若2个白球都被甲取出，有三种情况.

2311

第一种情况:第一次甲取出白球,第二次乙取出红球,第三次甲取出白球,结束取球,其概率为一x—x-=—.

54310

第二种情况：第一次甲取出白球，第二次乙取出红球，第三次甲取出红球，第四次乙取出红球，第五次甲

23211

取出白球，结束取球，其概率为一x—x—x—xl=一.

543210

第三种情况：第一次甲取出红球，第二次乙取出红球，第三次甲取出白球，第四次乙取出红球，第五次甲

32211

取出白球，结束取球，其概率为一X—X—X—xl=一.

543210

故所求概率为工+工+工3

10101010

(3)若将球全部取出才停止取球，则最后一次即第五次取出的一定是白球，共四种情况.

2321I

①第一次和第五次取出的是白球,另外三次取出的是红球,其概率为一x^x—x—xl=—

543210

32211

②第二次和第五次取出的是白球,另外三次取出的是红球,其概率为三X—X—X—xl=—

543210

3221i

③第三次和第五次取出的是白球,另外三次取出的是红球,其概率为3x—x—x—xl=—

543210

32))

④第四次和第五次取出的是白球,另外三次取出的是红球,其概率为一x-x-xlxl=­.

54310

故所求概率为工+工+工+工2

101010105

71

19.解：(1)/(x)=sin~X,/(1)=1,/(0)=0,〃x)='cos

H^x)=ax2+bx+c,H'^x)=2ax+b.

兀

u—1—,

Mo)=〃o)，c=0,2

兀2兀

由=得＜a+b+c=l,解得＜b=g所以=XH------X.

2

“'(o)=r(o),,兀c=0,

71JT

设厂(%)=/(x)-H(x)=sin-X1-|XG[0,1],

z71

F(x)=-1-cos~X2-K)X-|

兀2

令函数耳(%)二尸(力,则=-1Sin牙—2+兀.

兀3

兀

令函数月(%)=婷(%),则居(％)=一"—cos-XW0,所以耳'(1)在［0,1］上单调递减.

-8

又因为片'(0)=—2+兀