6431余弦定理(典例精讲)-2021-2022学年高一下学期数学精讲检测(人教A版2019)

余弦定理本节课知识点目录：余弦定理1；已知两边及一角解三角形余弦定理2；已知三边解三角形余弦定理3；无边长求角。余弦定理4；均值和余弦定理结合求最值范围余弦定理5；与向量结合余弦定理6；与面积结合李用余弦定理判断三角形形状余弦定理与中线、角平分线等应用综合典例精讲典例精讲一、余弦定理1：已知两边及一角解三角【典型例题】【例1】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则b=（）A． B． C．3 D．或3【答案】D【分析】根据可得，再利用余弦定理求解即可【详解】由题，因为，故为锐角，故，又由余弦定理可得，故，化简得，故或3故选：D【例2】在中，角，，所对的边分别是，，，已知，，，则（）A．3 B． C． D．3【答案】A【分析】由余弦定理列方程求解．【详解】由余弦定理得，解得（负值舍去）．故选：A．【例3】在中，若，，，则边（）A．4 B．16 C． D．10【答案】C【分析】由余弦定理可得答案.【详解】因为，，，所以由余弦定理得，则边.故选：C.【例4】．在中，的对边分别为，已知，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接由余弦定理可得答案.【详解】由余弦定理可得所以故选：D【例5】在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（）A． B． C． D．或【答案】D【分析】利用余弦定理列方程求解即可.【详解】解：因为，，，所以由余弦定理得，即，解得或故选：D【对点实战】1.在中，，则（）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】由余弦定理可得答案.【详解】由余弦定理得，故.故选：B.2.在中，如果，，，那么等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦定理即可求解.【详解】由余弦定理可得，.所以.故选：B.3.在中，已知，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用余弦定理的应用求出结果．【详解】解：在中，，，，设，利用余弦定理，整理得，解得或（负值舍去）．故选：C4.已知的内角所对的边分别为若，则=（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由商数关系求得角，用余弦定理求．【详解】，所以，又是三角形内角，所以，由余弦定理得，解得（负值舍去）．故选：B．5.在中，，，，则（）A． B． C．或 D．无解【答案】C【分析】利用余弦定理可得出关于的等式，即可求得的值.【详解】由余弦定理可得，即，，解得或.故选：C.6.在锐角中，，，且，则______．【答案】5【分析】根据二倍角的余弦公式求得，结合余弦定理即可求出b.【解析】由，得，又，所以；由余弦定理，得，即，由，解得.故答案为：5二、余弦定理2：已知三边解三角形【典型例题】【例1】在三角形中，，则大小为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用余弦定理先求解出的值，然后即可求解出的大小.【详解】因为，所以，故选：D.【例2】已知的内角所对的边分别为，若，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三边关系结合余弦定理求出，进而结合同角的平方关系即可求出结果.【详解】因为，所以设，结合余弦定理得，因为，所以，因此，故选：D.【例3】下列选项中，能构成钝角三角形的三边长的选项是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由构成三角形三边满足的条件可判断A；由余弦定理的推理可求出最大的边所对的角即可判断选项BCD，进而可得正确选项.【详解】设三角形最大的内角为，对于选项A：不满足两边之和大于第三边，不能够成三角形，故选项A不正确；对于选项B：，所以角为钝角，故选项B正确；对于选项C：，所以角为直角，故选项C不正确；对于选项D：，此时三角形为锐角三角形，故选项D不正确，故选：B.【例4】若的三边满足，则最小的内角余弦值为_____.【答案】【分析】根据已知设，，，然后将用表示，再确定最小内角，再利用余弦定理求解即可.【详解】因为，所以设，，，所以，，，又，所以为最小内角，由余弦定理，得，故答案为：【例5】在△ABC中，已知a＝2eq\r(6)，b＝6＋2eq\r(3)，c＝4eq\r(3)，求A，B，C的大小．解根据余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(6＋2\r(3)2＋4\r(3)2－2\r(6)2,2×4\r(3)×6＋2\r(3))＝eq\f(\r(3),2).∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,6)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(2\r(6)2＋6＋2\r(3)2－4\r(3)2,2×2\r(6)×6＋2\r(3))＝eq\f(\r(2),2)，∵C∈(0，π)，∴C＝eq\f(π,4).∴B＝π－A－C＝π－eq\f(π,6)－eq\f(π,4)＝eq\f(7π,12)，∴A＝eq\f(π,6)，B＝eq\f(7π,12)，C＝eq\f(π,4).【例6】在钝角中，，，，，则的取值范围是______．【答案】【分析】根据条件，利用以及三角形两边和大于第三边列不等式组求解即可.【解析】，解得故答案为：.【对点实战】1.．已知的内角所对的边分别为，若，则为（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【答案】C【分析】根据余弦定理，求得，得到，即可求解.【详解】由题意，在中，满足，设，其中，由余弦定理可得，因为角为三角形的内角，所以，所以为钝角三角形.故选：C.2.在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角的大小．解∵a>c>b，∴A为最大角．由余弦定理的推论，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(32＋52－72,2×3×5)＝－eq\f(1,2).又∵0°<A<180°，∴A＝120°，∴最大角A为120°.3.如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，点D在边BC上，∠BAD＝45°，则tan∠CAD＝________．【答案】【解析】在中，由余弦定理变式得，又，∴，∴，∴，故答案.4.已知三角形的三边之比为5：7：8，则该三角形最大角的余弦值是_____________.【答案】【分析】根据大边对大角及余弦定理直接计算即可.【解析】设三边长分别为，则，即最大角的余弦值为.故答案为：5.在中，角所对的边分别为，若，，，则角C的大小为__________．【答案】##【分析】在中，利用余弦定理求得，即可求解.【解析】在中，因为，，，由余弦定理可得，又由，所以.故答案为：.三、余弦定理3：无边长求角【典型例题】【例1】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据，利用余弦定理求解.【详解】因为，所以，因为，所以．故选：D．【例2】在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则角（）A． B． C． D．或【答案】B【分析】根据余弦定理求解即可【详解】由余弦定理，，又，故故选：B【点睛】余弦定理：，，【例3】在中，若，则等于（）A． B．或 C． D．【答案】C【分析】由余弦定理可得，将条件代入可得，从而可得答案.【详解】由，得在中，由余弦定理可得：又,所以故选：C【例4】在中，角，，所对的边分别为，，，且，则角的大小是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用余弦定理求解.【详解】由题知，，，在中，由余弦定理得，，所以，又，所以.故选：C.【例5】在中，若，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用余弦定理直接求解即可.【详解】因为，所以，所以，又，所以.故选：D【对点实战】1.已知是三边之长，若满足等式，则等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】将题意的等式化简得到，结合余弦定理即可得出结果.【详解】由题意知，，化简，得，由余弦定理，得，又，所以.故选：A2.在中，角，，的对边分别为，，，若，则角的值为A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】利用余弦定理先计算出的值，然后即可求解出的值.【详解】解：，，即，且有意义即，，在中，为或，故选：．3.在△中，三边、、所对的角分别为、、，若，则角的大小为_________．【答案】【解析】，，则.4.已知的三边长为，，，若满足，则角大小为______．【答案】.【分析】先将已知条件化简整理，再结合余弦定理求出角的余弦值，进而可以求出结果.【解析】因为，所以，结合余弦定理得，因为，所以,故答案为：.四、余弦定理4：均值和余弦结合求最值范围【典型例题】【例1】在钝角中，角、、所对的边分别为、、，若，，则最大边的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据给定条件利用余弦定理建立不等关系即可计算作答.【详解】因是钝角三角形，，，且是最大边，则由余弦定理得：，于是得，，解得，而有，即，所以最大边的取值范围是：.故选：D【例2】若锐角的边长分别为、、，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由余弦定理可得出关于的不等式组，由此可解得的取值范围.【详解】设的内角、、的对边分别为、、，则必为锐角，由于为锐角三角形，则，可得，，可得，则，，解得.故选：B.【例3】在中，角所对的边分别为，且，若，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用余弦定理结合求得的范围，从而可得出角的范围，利用辅助角公式将化为，，结合正弦函数的性质即可求得实数的取值范围.【详解】解：由余弦定理得，当时，取等号，，由已知得，，.故选：C.【例4】．已知中，角的对边分别为为边上的高，以下结论：其中正确的选项是（）A． B．为锐角三角形C． D．【答案】ACD【分析】画出图形，利用向量的数量积公式，三角形中余弦定理及向量的运算法则对各命题进行判断，看出每一个命题的正误【详解】解：，所以，故A正确；若，则为锐角，无法得到其他角的关系，故无法判断的形状，故B错误；而，故C正确由余弦定理有故有，故D正确故选：ACD．【例5】（多选）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角B可以是（）A． B． C． D．【答案】AB【分析】计算的范围，由此判断出正确结论.【详解】，当且仅当时等号成立，所以，所以AB选项正确，CD选项错误.故选：AB【例6】在中，a，b，c为角A，B，C的对边，且，则B的取值范围是___________.【答案】【分析】根据余弦定理结合基本不等式求解出的取值范围，由此可求的取值范围.【详解】因为，取等号时，所以，所以，故答案为：.【例7】在中，，则取最小值时，___________．【答案】【分析】将代入余弦公式化简可得，再代入计算可得，利用不等式可求出的最小值，并求出此时的大小.【解析】解：，可得，即,，当且仅当时取等号，所以,，.故答案为：．【对点实战】1.已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角形为锐角三角形，满足最大角的余弦值大于即可.【详解】设角对应的边为，当是最大边时，，所以，当不是最大边时，，所以，所以的取值范围是，故选：C.2.（多选）已知的内角所对的边分别为，若，则的取值可以是A． B． C． D．【答案】ABC【分析】利用代入条件可得,进而求解即可【详解】因为所以所以解得或因为所以所以.故选：ABC.3.（多选）设的内角所对的边为，则下列命题正确的有（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BCD【分析】由余弦定理和基本不等式，逐项判定，即可求解.【详解】由，可得，可得，因为，可得，所以A错误；由，可得，当且仅当时等号成立，因为，所以，所以B正确；由且，所以，可得，所以，可得，因为，所以，所以C正确；由，可得，所以，因为，所以，所以D正确；故选：BCD.4.在中，设边所对的角为，若，则的最大值为________．【答案】6【分析】题目考察余弦定理和基本不等式的综合应用，根据余弦定理写出之间的关系式，应用基本不等式求最大值【详解】根据题意，在中，若，，则，即，又由，则有，即的最大值为6．故答案为：65.设的内角所对的边分别为，已知，则的最大值为_________.【答案】【分析】根据余弦定理及基本不等式，结合题干条件，即可求得答案.【详解】由余弦定理得，即，由基本不等式可得，所以，当且仅当时，等号成立，又，所以，即的最大值为.故答案为：.6.已知锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为____________．【答案】【分析】利用余弦定理将表示为关于的函数表达式，利用锐角中，，且，，结合已知等式把不等式中的换走，得到，再利用对勾函数单调性，求得的取值范围.【详解】，又锐角中，，且，，将代入上面三个不等式，得到且，，令，则，所以在上单减，在上单增，又当时，的值为，当或时，的值为，故答案为：7.若2a+1，，2a-1【答案】(2,8)【分析】由三角形的性质知2a+1最大，设其对的角为θ，由两边之和大于第三边知a>2，再利用余弦定理【详解】∵2a+1，，2a-1是三角形的三边长，∴2要使2a+1，，2a-1是三角形的三边长，还需设最长边2a+1所对的角为θ，则所以cosθ=a综上可知实数a的取值范围是(2,8).五、余弦定理5：与向量结合【典型例题】【例1】已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量，，若，则角C的大小为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据可得，进而由余弦定理可解得角.【详解】由得，整理得，由余弦定理得，又，所以.故选：B.【例2】在中，角，，的对边分别为，，，已知，，若，则角的大小为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】依题意可得，再利用余弦定理求出，即可得解；【详解】解：因为，，且所以，化简得，所以，又，所以．故选：C．【例3】在平行四边形中，，，，是线段的中点，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由余弦定理求即可求，根据几何图形中线段对应向量的线性关系及向量数量积的运算律，有，即可求值.【详解】由题意，，即，∴，∴，即.故选：A【例4】在中，，则的最小角的余弦值为______.【答案】【分析】将代入已知条件，整理得，由平面向量基本定理可得，，可得边所对角为最小的角，由余弦定理即可求解.【详解】由可得，即，所以，而和不共线，所以，，解得：，所以边为最小的边，故角为最小的角，由余弦定理可得：，所以的最小角的余弦值为，故答案为：.【例5】在中，角所对的边分别为，若，，若，的周长为，的面积为，则的值是______.【答案】.【分析】首先应用两个向量的数量积，求得角的大小，根据三角形的面积公式求得，结合三角形的周长，求得，之后应用余弦定理，求得边长a的值.【详解】根据题意，有，整理得，因为，所以，从而求得，所以，根据题意有，，即，根据余弦定理，可得，故答案为：.【对点实战】1.如图，已知为中的角平分线，若，，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用已知条件，利用余弦定理求出，即可得到为直角三角形，从而求出，然后求解向量的数量积即可．【详解】解：为中的角平分线，，，由余弦定理可得，即，所以，所以，所以，所以，．故选：．2.在中，内角A､B､C所对的边分别是a､b､c.若，，则___________.【答案】【分析】由平面向量数量积的定义求出，即可得到，再由余弦定理求出的值，最后利用完全平方公式求出的值．【解析】解：因为，，即，解得，所以，由余弦定理得，即，即，所以．故答案为：3.在中，已知，则________________．【答案】【分析】先利用余弦定理求出，再根据向量的数量积定义即可求出．【解析】解：，．故答案为：．六、余弦定理6：与面积结合三角形面积公式的应用：(1)对于面积公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到余弦定理进行边和角的转化．【典型例题】【例1】在中，，，的面积为，则为（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知条件，先根据三角形面积公式求出的值，然后利用余弦定理求出的值，即可得的值.【详解】解：在中，因为，，的面积为，所以，所以，因为，所以，所以.故选：B.【例2】已知的三边上高的长度比分别为，若的最短边与最长边的长度和为，则面积为A． B． C． D．【答案】B【分析】设的三边、、上对应的高的长度分别为、、，可得出，根据题中条件求出的三边边长，利用余弦定理、同角三角函数的平方关系以及三角形的面积公式可求得结果.【详解】不妨设的三边、、上对应的高的长度分别为、、，由三角形的面积公式可得，所以，所，所以为最短边，为最长边，所以，所以，，，所以，则为锐角，故，所以.故选：B.【例3】已知、、分别为内角、、的对边，，，，则的面积为__________.【答案】【分析】利用余弦定理得出，利用余弦定理结合可求得的值，再利用三角形的面积公式可求得结果.【详解】由余弦定理可得，因为，即，即，即，解得，由三角形的面积公式可得.故答案为：.【例4】在中，，，，则的内切圆面积为__________【答案】【分析】先利用余弦定理求出，再利用等面积法可求出圆半径，即可求出面积.【解析】如图，设，由余弦定理得，，设内切圆的半径为，则，，解得，所以圆的面积为.故答案为：.【例5】已知的面积为，且，，则的长为________.【答案】【分析】求得的值，利用三角形的面积公式求得，结合余弦定理可求得的值，即为所求.【解析】在中，，所以，由，，由余弦定理得，因此，.故答案为：.【对点实战】1.在中，若，三角形的面积，则B角为________.【答案】【分析】由三角形面积公式求得，由等腰三角形的性质可得的值，【解析】中，，三角形的面积，，故，故答案为.2.已知锐角三角形内接于单位圆，且，则面积的最大值是___________.【答案】【分析】由题意可知，由圆的性质可知，在中，使用余弦定理和基本不等式，可得，再根据三角形面积公式，即可求出结果.【解析】如图，设圆的半径为1，因为，所以是直角三角形，即，所以角，由余弦定理可知由基本不等式可知，当且仅当时，取等号；所以，又.所以的面积的最大值为.七、利用余弦定理判断三角形形状【典型例题】【例1】在中，若，则的形状一定是（）A．等边三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】先利用数量积运算化简得到，再利用余弦定理化简得解.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以三角形是直角三角形.故选：B【例2】在中，，则此三角形必是（）A．等边三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．钝角三角形【答案】B【分析】利用余弦定理的变形化角为边即可求解.【详解】由，则，即，整理可得，所以为直角三角形.故选：B【例3】在中，已知，则的形状是（）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【分析】首先根据余弦定理，边角互化，转化为边的关系，化简后判断三角形的形状.【详解】由余弦定理得：，，代入中，得，等式两边同乘得：，移项合并得：，整理得：，即，可得或，则三角形为等腰三角形或直角三角形.故选：D．【例4】在中，角，，所对的边分别是，，，若，则的形状一定是（）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定【答案】C【分析】利用余弦定理即可得出选项.【详解】由题意可得，即，则，从而，故一定是钝角三角形.故选：C【例5】在中，内角A，B，C的对边分别为a、b、c，已知，则是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【分析】由已知可得，由余弦定理可得，化简变形可得，则有或，从而可判断三角形的形状【详解】解：由，得，所以由余弦定理得，，所以，所以，，所以或，所以或，所以为等腰或直角三角形，故选：D【对点实战】1.在中，，则一定是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形【答案】D【分析】利用余弦定理可得，将，代入解得，进而判断三角形形状.【详解】由余弦定理知，因为，，所以，所以，所以，因此，所以，即是等边三角形，故选：D.2.（多选）在中，，，，则角的可能取值为（）A． B． C． D．【答案】AD【分析】由余弦定理得，解得或，分别讨论即可.【详解】由余弦定理，得，即，解得或.当时，此时为等腰三角形，，所以；当时，，此时为直角三角形，所以.故选：AD3.（多选）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，若解该三角形有且只有一解，则b的可能值为（）A．5 B． C． D．6【答案】CD【分析】直接利用三角形的解的情况①b＝csinB或②b＜csinB的应用求出结果．【详解】解：①b＞csinB＝6．三角形有两解②当b＝3时，三角形有一解．③当b＝6时，三角形为等腰直角三角形，有一解．④当b＜3时，三角形无解，故选：CD．八、余弦定理与中线角平分线等应用【典型例题】【例1】在中，，，，角的平分线与边交于点，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用余弦定理求得的值，再根据角平分线的性质求得的值，再利用余弦定理，求得的值.【详解】由余弦定理可得，可得，所以，再根据角平分线的性质，可得，所以，所以，所以.故选：D.【例2】．的内角，，的对边分别是，，.已知，，边上的中线长度为，则（）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】由已知条件利用余弦定理用表示，又，再次利用余弦定理化简等式可用表示c，代入即可得解.【详解】在中，由余弦定理，因为，，边上的中线长度为，所以，化简可得，又因为，由余弦定理得，整理可得，所以.故选：C【例3】在中，若，则边上的中线的长为___________.【答案】【分析】根据互补对应余弦值互为相反数，利用余弦定理表示出余弦值，由此可求解出的长度.【解析】因为，，又因为，所以，所以，所以，所以，故答案为：.【例4】在中，为中点，，且，则________．【答案】4【分析】由化简得，根据向量关系化简求得结果．【解析】由得所以，则，因为得因为，则因为，设，则所以，解得或（舍去），所以故答案为：4【例5】在中，点是边的中点，，，则的最大值为___________.【答案】用余弦定理表示出，求出后利用余弦函数性质可得最大值．【解析】记，则，在中，，同理在中可得，∴，设，，．则，其中，是锐角，显然存在，使得，∴的最大值为．故答案为：．【例6】在中，已知，的平分线交于，且，，则的面积为_________.【答案】设，，将利用三角形面积公式表示出来，可得，在中，利用余弦定理可得，解得，即可求出，，进而可得的值，再利用三角形面积公式即可求解.【解析】因为平分，所以，设，则，，因为，设，所以，所以，，因为，所以，即，在中，，所以，可得，解得：，所以，所以，，所以，故答案为：【例7】在中，，，D为BC中点，则AD最长为_________.【答案】3【分析】在和中，分别利用余弦定理，求得，再在中，利用余弦定理和基本不等式，即可求解.【解析】如图所示，设，，则，在中，由余弦定理，可得，即，①在中，由余弦定理，可得，即，②由①+②，可得，在中，由余弦定理，可得，即，解得，所以，即的最大值为.故答案为：.【对点实战】1.在中，为的平分线，，则等于_____________．【答案】【解析】试题分析：因为为的平分线，所以，由余弦定理得，，.所以答案应填：．2.已知分别是三个内角的对边，边上的中线长记为，则___________（用表示结果）．【答案】【分析】根据余弦定理求解.【解析】设的中点为，中，，中，，所以故答案为：3.在中，，，，则的角平分线的长为______．【答案】【分析】由已知判断是直角三角形，求出再利用余弦定理计算可得答案.【解析】因为,且,所以,由已知得,因为是的平分线,所以,即,所以,解得,在中，由余弦定理得所以,故答案为：.4.在中，已知，则边上的中线长度为__________.【答案】【分析】在分别利用余弦定理，列方程，解方程组可得答案【解析