专题511函数y=Asin(ωxφ)-重难点题型精讲（举一反三）（人教A版2019）

专题5.11函数重难点题型精讲1．匀速圆周运动的数学模型筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图5.62).明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图5.62).假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.2．,A对函数的图象的影响(1)对的图象的影响函数（其中）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当>0时)或向右(当<0时)平移||个单位长度而得到(可简记为“左加右减”).(2)对的图象的影响

函数的图象，可以看作是把的图象上所有点的横坐标缩短(当>1时)或伸长(当0<<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到.(3)对的图象的影响

函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到.(4)由函数的图象得到函数的图象以上两种方法的图示如下：3．函数的图象类似于正弦型函数，余弦型函数的图象的画法有以下两种.

(1)“五点法”，令，求出相应的x值及y值，利用这五个点，可以得到在一个周期内的图象，然后再把这一段上的图象向左向右延伸，即得的图象.

(2)“变换作图法”的途径有两种.

一是类似于正弦型函数的变换作图法，可由的图象通过变换作图法得到(>0,A>0)的图象，即：二是由诱导公式将余弦型函数转化为正弦型函数，即，再由的图象通过变换作图法得到的图象即可.【题型1“五点法”作函数的图象】【方法点拨】用“五点法”画函数(x∈R)的简图，先作变量代换，令X=，再用方程思想由X取来确定对应的x值，最后根据x,y的值描点、连线、扩展，画出函数的图象.【例1】（2020秋•涪城区校级月考）在用五点法作函数y=A．0，π2，πC．0，π4，【解题思路】利用“五点法”，令2x+π3【解答过程】解：由“五点法”作图可知，令2x+π3解得x=-故选：B．【变式11】（2021春•历城区校级期中）用五点作图法作y＝2sin4x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是（）A．0，π2，π，3π2，2π B．0，π4，π2C．0，π8，π4，3π8，π2 D．0，π6，【解题思路】根据“五点法”作图，只需令4x＝0，π2，π，3π2，【解答过程】解：由“五点法”作图知：令4x＝0，π2，π，3π2，解得x＝0，π8，π4，3π故选：C．【变式12】（2021春•五华区校级期中）用“五点法”作函数y＝cos2x，x∈R的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是（）A．0，π2，π，3π2，2π B．0，π4，π2C．0，π，2π，3π，4π D．0，π6，π3，π【解题思路】根据五点法确定对于的点的关系即可得到结论．【解答过程】解：分别令2x＝0，π2则x＝0，π4，π2，3π故选：B．【变式13】（2021秋•内江期末）用“五点法”作y＝2sin2x的图象是，首先描出的五个点的横坐标是（）A．0，π2，πC．0，π，2π，3π，4π D．0【解题思路】根据“五点法”作图，只需令2x＝0，π2，π，32π，【解答过程】解：由“五点法”作图知：令2x＝0，π2，π，32π，解得x＝0，π4，π2，34故选：B．【题型2三角函数间图象的变换】【方法点拨】可以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸缩”两种方法来进行变换.【例2】（2021秋•12月份月考）要得到函数f(x)=A．向左平移π2个单位长度 B．向左平移π4C．向右平移π2个单位长度 D．向右平移π【解题思路】利用诱导公式，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答过程】解：因为f(x)=cos(2x-π6)=cos（π6-2x）＝sin[π2-（π6-2x）]＝所以将函数g(x)=sin(2故选：B．【变式21】（2021春•未央区校级期中）若将函数f（x）＝2sin（2x+π3）的图像向右平移φ个单位，所得函数为偶函数，则A．2π3 B．π3 C．5π【解题思路】利用三角函数的图象平移得到y＝2sin（2x+π3-2φ【解答过程】解：把该函数的图象右移φ个单位，所得图象对应的函数解析式为：y＝2sin（2x+π3-又所得函数为偶函数，则π3-2φ＝kπ+π2，可得当k＝﹣1时，φ有最小正值是5π故选：C．【变式22】（2021秋•五华区校级期中）为了得到函数y=3sin(2x+πA．向左平行移动π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1B．向左平行移动π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍C．向左平行移动π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1D．向右平行移动π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的【解题思路】直接利用函数图像的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．【解答过程】解：为了得到函数y=3sin(2x+π3)的图像，只需把函数y＝3sinx图像上所有点向左平行移动π3个单位长度，得到y＝故选：A．【变式23】（2021秋•菏泽期中）已知函数f(x)=2cos(2x-π6)，现将y＝f（x）的图象向左平移π6A．-3 B．﹣1 C．1 D．【解题思路】直接利用三角函数的关系式的变换，余弦型函数的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．【解答过程】解：函数f(x)=2cos(2x-π6)，现将y＝f（x）的图象向右平移π6个单位长度，得到y＝再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到g（x）＝2sinx的图象，所以g（π6）＝2sinπ6=2故选：C．【题型3与三角恒等变换有关的图象变换问题】【方法点拨】根据三角恒等变换的相关知识对所给解析式进行化简，利用图象变换规律进行变换即可.【例3】（2021秋•西安月考）将函数f（x）＝sinx+cosx的图像向左平移π4个单位，得函数y＝g（x）的图像，则g（3A．12 B．1 C．-62 【解题思路】由题意利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图像变换规律，得出结论．【解答过程】解：将函数f（x）＝sinx+cosx=2sin（x+π4）的图像向左平移π4个单位，得函数y＝g（x）=2sin（x+则g（3π4）=2cos故选：D．【变式31】（2021•河南开学）已知函数f（x）=3sin2x+cos2x，将函数f（x）的图象向左平移π12个单位长度，得到y＝g（x）图象，则g（A．2sin（2x+π6） B．2sin（2x+C．2sin（x+π6） D．2sin（x【解题思路】由题意利用两角和的正弦公式，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答过程】解：∵函数f（x）=3sin2x+cos2x＝2sin（2x+将函数f（x）的图象向左平移π12个单位长度，得到y＝g（x）＝2sin（2x+故选：B．【变式32】（2021秋•红桥区期中）以下关于f（x）＝sin2x﹣cos2x的命题，正确的是（）A．函数f（x）在区间(0，2B．直线x=3π8是函数y＝fC．点(π4，0)是函数y＝fD．将函数y＝f（x）图象向右平移π8个单位，可得到y【解题思路】直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．【解答过程】解：函数f（x）=sin对于A：由于x∈(0，2π3)，所以对于B：当x=3π8时，f（3π8对于C：当x=π4时，f(对于D：函数y＝f（x）图象向右平移π8个单位，可得到y=2sin故选：B．【变式33】（2021秋•武功县月考）将函数f（x）＝sin2x+3cos2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，再向上平移1个单位，所得图象经过点（π8，1），则A．5π12 B．7π12 C．5【解题思路】直接利用函数的图象的平移变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．【解答过程】解：函数f（x）＝sin2x+3cos2x＝2sin（2x+π3得到g(x再向上平移1个单位得到y＝2sin（2x+π3-2φ由于函数的图象经过（π8故2sin整理得：7π12-2φ当k＝0时，φ的最小值为7π故选：D．【题型4由部分图象求函数的解析式】【方法点拨】根据部分图象求出解析式中的A，，即可得解.【例4】（2021秋•广东月考）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．若f（π6+α2）=65，则sinA．35 B．45 C．-35【解题思路】由图知，A＝2，周期T＝π，ω=2πT=2，由f（2π3）＝﹣2，可推出φ【解答过程】解：由图知，A＝2，周期T＝4×（2π3-所以ω=2π因为函数f（x）的图象经过点（2π3，﹣所以﹣2＝2sin（2×2π3+φ），即4π3+φ=3所以φ=π6+2kπ，k因为0＜φ＜π，所以φ=π所以f（x）＝2sin（2x+π因为f（π6+α2）=65，所以2sin[2（π6+α所以sin2α2-cos2α2=-故选：C．【变式41】（2021秋•荔湾区校级期中）已知函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π，x∈R）的图象如图所示，则该函数的解析式可以是（）A．y=4sin(π4C．y=4sin(π【解题思路】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，从而得到函数的解析式．【解答过程】解：由函数的图象可得，A＝4，由12•2πω=6﹣（﹣2）＝8再由五点法作图可得π8×6+φ＝0，解得φ故函数的解析式为y＝4sin（π8x-故选：C．【变式42】（2021秋•丰台区校级月考）若将函数g（x）图象上所有的点向右平移π6个单位长度得到函数f（x）的图象，已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|A．f（x）在[0，π4B．(4π3，0)是C．g（x）在(π4D．g（x）的图象关于点(π【解题思路】根据图象，先求出f（x）的解析式，再结合平移变换，求出g（x），并根据正弦函数的图象与性质，即可求解．【解答过程】解：由图象可得，A＝1，34T=5π∴ω=2∵sin(2∴π6∵|φ∴φ=π∴f（x）=sin∵函数g（x）图象上所有的点向右平移π6个单位长度得到函数f（x∴g(对于A，∵x∈[0，∴2x∴f（x）在[0，π4]上的最小值是对于B，∵f(∴(4π3，0)是f对于C，∵x∈(π∴2x+2g（x）在(76π，对于D，∵g(∴g（x）的图象关于点(π6，故选：C．【变式43】（2021秋•昌江区校级期中）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0A．[712，1312) B．[1112【解题思路】由f（0）=32求解φ，再由x的范围可得ωx+2π3的范围，结合f（x）在（0，2π）上恰有一个最大值和一个最小值，可得5π【解答过程】解：f（x）＝sin（ωx+φ），∵f（0）=3∴sinφ=32，又φ∈[π2，π∵x∈（0，2π），∴2π3＜ωx+2又f（x）在（0，2π）上恰有一个最大值和一个最小值，∴5π2＜2∴1112∴ω的取值范围是（1112，故选：D．【题型5三角函数模型在匀速圆周运动中的应用】【方法点拨】利用三角函数模型解决实际问题时，首先寻找与角有关的信息，确定选用正弦、余弦还是正切型函数模型；其次是寻找数据，建立函数解析式并解题；最后将所得结果“翻译”成实际答案，要注意根据实际作答.【例5】（2021秋•菏泽期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为4m，筒车转轮的中心O到水面的距离为2m，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈．规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即P0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy．设盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m），则点P第一次到达最高点需要的时间为（）sA．2 B．3 C．5 D．10【解题思路】求出∠P0Ox，得到以OP为终边的角为2π15t-π6，得出h关于【解答过程】解：∵筒车半径为4m，筒车转轮的中心O到水面的距离为2m，∴∠xOP0=π∴-π6是以Ox为始边，OP由OP在t（s）内转过的角为4×2π60t=可知以Ox为始边，以OP为终边的角为2π15t则点P的纵坐标为4sin（2π15t所以点P距水面的高度h（m）表示为时间t（s）的函数是h＝4sin（2π15t-π令h＝4sin（2π15t-π6）+2＝6，得sin（2π15t-π6）＝1，则2π15t-π6故经过5s后点P第一次到达最高点．故选：C．【变式51】（2021秋•吕梁期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，转动一周需要30min．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后，游客距离地面的高度H（单位：m）关于时间t（单位：min）的函数为H=55sin(ωt-π2)+65，t∈[0，+A．37.5m B．92.5m C．(65-5532【解题思路】首先求出函数的关系式，进一步利用函数的关系式求出函数的值．【解答过程】解：某摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，转动一周需要30min．所以ω=π所以H=55当t＝5时，h=55故选：A．【变式52】（2021秋•绿园区校级月考）如图所示，有一半径为10米的水轮，水轮的圆心与水面的距离为6米，若水轮每分钟逆时针转4圈，且水轮上的点P在t＝0时刻刚刚从水中浮现，则5秒钟后点P与水面的距离是（）（结果精确到0.1米）A．9.3米 B．9.9米 C．15.3米 D．15.9米【解题思路】利用三角函数模型设出解析式，根据条件求解．【解答过程】解：以O为原点，建立平面直角坐标系，x轴正半轴与OP的夹角为φ设水轮上的点P到水面的距离y（米）与时间t（秒）满足函数关系式y＝Asin（ωt﹣φ）+6，因为水轮半径为10，水轮的圆心与水面的距离为6米，故P离水面的最大距离为16，所以A＝10，因为水轮每分钟旋转4圈，所以T=604=所以ω=此时解析式y＝10sin（2π15t﹣φ）因为t＝0时，y＝0，代入得10sin（﹣φ）+6＝0，所以sinφ=3由图可知，φ为锐角，所以cosφ=4当t＝5s时，y＝10sin（2π15×5﹣φ）+6故选：D．【变式53】（2021•全国Ⅰ卷模拟）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为x轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点A（3，﹣33）出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P点的坐标为（x，y），其纵坐标满足y＝Rsin（ωt+φ）（t≥0，ω＞0，|φ|＜π2），当t＝100时，|PAA．6 B．62 C．63 D．3（6-【解题思路】利用点A的坐标求出圆的半径R，根据周期公式求出ω，通过三角函数解析式求出φ，再利用正弦函数的性质求出点P的坐标，即可求出|PA|的值．【解答过程】解：由题意知，R=32+(-33)2所以ω=2把点A（3，﹣33）对应的t＝0，y＝﹣33代入y＝6sin（π60t+φ可得﹣33=6sinφ，解得sinφ=又|φ|＜π2，所以φ=-π3，所以y＝6sin当t＝100时，y＝6sin（π60×100-π3）＝6sin此时P的坐标为（﹣3，﹣33），所以|PA|＝6．故选：A．【题型6函数的性质与三角恒等变换的综合应用】【方法点拨】对于给角求值问题，需观察题中角之同的关系，并能根据式子的特点构造出二倍角的形式，正用、逆用、变形用二倍角公式求值，注意利用诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化.【例6】（2021秋•定远县校级月考）已知函数f(A．f（x）的图像关于直线x=πB．f（x）的图像向左平移π6个单位后为偶函数图像C．f（x）的图像关于点(5πD．f（x）的最小正周期为π，且在[0，【解题思路】由题意利用两角和的正弦公式，化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答过程】解：∵函数f(x)=3sin2令x=π12，求得f（x）=3，不是最值，故f（x）的图像不关于直线xf（x）的图像向左平移π6个单位后，可得y＝2sin（2x+π3+π6令x=5π6，求得f（x）＝﹣1≠0，故f（x）的图像不关于点(在[0，π3]上，2x+π6∈[π6，5π故选：B．【变式61】（2021秋•沙坪坝区校级月考）已知函数f（x）＝﹣sin2ωx（ω＞0）的最小正周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a（a＞0）个单位，所得图象关于x=π3对称，则实数A．π B．π3 C．3π4 【解题思路】由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的图象的对称性，求得实数a的最小值．【解答过程】解：函数f（x）＝﹣sin2ωx=cos2ωx-12（ω＞0）的最小正周期为2π2ω=π，∴若将