福建省福州某中学2024-2025学年九年级上学期九月月考数学试题（含答案）

福州屏东中学2024-2025学年第一学期九月适应性练习

九年级数学

一.选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

1.观察下列每组图形，是相似图形的是（）

A.OOB.□□□C.OO.台O

2.下列选项中，y不是x的函数的是（）

3.已知两个相似三角形的周长比为4:9,则它们的对应角平分线比为（）

A.2:3B.4:9C.8:18D.16:81

4.我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为

单循环赛（每两队之间都赛一场）.计划分为4组，每组安排28场比赛，设每组邀请九个球队参加比赛，可

列方程得()

A.x(x+l)=28B.x(x-l)=28C.gx(x+l)=28D.—1)=28

5.如图，在矩形ZBCD中，对角线相交于点O,ZAOD=60°,幺。=4,则的长为（）

第5题图

A.2B.2GC.4D.4百

6.若见”是方程必+2》-2026=0的两个实数根，则/+3掰+〃的值为（）

A.2022B.2023C.2024D.2025

7.学校要求学生每天坚持体育锻炼.小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间，并制作了如图所示的统

计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（）

A.中位数为67分钟B.众数为88分钟

C.平均数为73分钟D.方差为0

8.函数^="2一1与〉="（。。0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

纵坐标y的对应值如下表：

X・・・-2-1012・・・

y.・・04664・・・

从上表可知，下列说法中不正确的是（）

A.抛物线与无轴的一个交点为（3,0）B.在对称轴左侧，y随X的增大而增大

C.抛物线的对称轴是直线x=L

D.函数y=ax?+bx+c的最大值为6

2

10.小明用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形,再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方

形的对角线长为（）

第10题图

A.2.5B.3C.V5D.V6

二.填空题（共6小题，每小题4分，共24分）

11.如果点2（—2,。）在函数y=—gx+3的图象上，那么。的值等于.

12.把抛物线y=2/先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为

13.如图，AD//BE//CF,若AB=2,AC=5,DE=4,则"的长是.

第13题图

14.如图，菱形4BCZ）的对角线交于点0,过点。作DEL4g于点£,连接。£,若

48=10,OE=6,则对角线NC的长为.

第14题图

15.小明在计算一组数据的方差时，列出的算式如下：52=-[2（7-%）2+3（8-%）2+（9-%）21,根据算

式信息，这组数据的平均数是.

16.已知抛物线＞=/—2x+c经过幺（〃+3,乂），8（2"1,必）两点，若48分别位于抛物线对称轴的

两侧，且为＜外,则n的取值范围是

三.解答题（共9小题，共86分）

17.（8分）解方程（1）（x+1）2=16（2）X2-6X+1=0

18.（8分）如图，已知点。是的边上一点，CN〃AB,DN交AC于点、M,MA=MC.求证

四边形NOCN是平行四边形.

第18题图

19.（8分）某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现:

该商品每天的销售量》（件）与每件售价无（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示，设该商场销

O35x（元）

第19题图

（1）求》与龙之间的函数关系式；

（2）求w与龙之间的函数关系式.

20.（8分）如图，在△48C中，4D平分NA4C,点E在NC上，且NEAD=NADE.

第20题图

（1）求证：ADCES^BCA；

（2）若28=6,DE=4,求"的值

CD

21.（8分）已知：二次函数y=X?加+2）x+m—1.

（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点;

（2）设抛物线与x轴的两个交点是4、B（/在原点左边，8在原点右边），且48=3,求此时抛物线的

解析式.

22.（10分）某学校开展劳动教育，并在活动前、后实施两次调查.活动前随机抽取50名同学，调查他们

一周的课外劳动时间/（单位h）,并分组整理,绘制成如下的条形统计图（其中N组0W/<2,3组2W/<4,

C组4<，<6,。组64/<8,E组/»8）.活动开展一个月后，数学社团再次随机抽取50名同学，调查

他们一周的课外劳动时间f（单位：h）,按照同样的分组方法绘制成如下扇形统计图，发现活动后调查的数

据C组人数与活动前B组人数相同.请根据图中信息解答下列问题:

活动前活动后

A人数

20-

16-14

12-10

8-

4-2

。广"TT丁丁TT丁丁~~1_

A组B组C组D组E组组另ij

第22题图

（1）请将条形统计图补充完整；

（2）活动后调查数据的中位数落在组；

（3）若该校共有2400名学生，请根据活动后调查结果，估计该校学生一周课外劳动时间不小于4小时的

人数.

23.（10分）如图，在平行四边形4BCD中，ZC为对角线，AC=BC,ZE是△4BC的中线.

DC

1----------、B

第23题图

（1）按要求作图

①在取一点少使得环〃CD；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.

②画出△48C的高（要求：仅使用无刻度的直尺画图）.

（2）在（1）的条件下，若48=2,AB=60°,求CH的长.

24.（12分）已知抛物线区经过幺（4,0）,8（1,3）.尸是抛物线上一点，且在直线4B的上

方.

第24题图

（1）求抛物线的表达式；

（2）若△O4S面积是△尸48面积的2倍，求点尸的坐标；

q

（3）如图，OP交4B于点C,PD〃OB.记ACPB,△BC。的面积分别为百，S2,判断"是否存

$2

在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.

25.（14分）在一次课上，王老师请同学们思考如何通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分

点.

【操作探究】

“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：

第1步：如图1,将边长为6的正方形纸片4BC。对折，使点Z与点6重合，展开铺平，折痕为所；

第2步：再将边沿CE翻折得到GC；

第3步：延长EG交2。于点"，则点〃为ND边的三等分点.

图1图2

证明如下：连接“，•：正方形4BCD沿CE折叠,

ND=NB=ZCGH=90°,CG=CB=CD,

又•：CH=CH,

:./\CGH^Z\CDH(①)

GH=DH.设DH=x,

•••E是4B的中点，则ZE=8E=EG=L4g=3,

2

在RtZi4E〃中，可列方程：②，

解得：DH=2,即7/是/。边的三等分点.

“破浪”小组进行如下操作：

第1步：如图2所示，先将正方形纸片对折，使点Z与点8重合，展开铺平，折痕为跖；

第2步：再将正方形纸片对折，使点8与点。重合，展开铺平，折痕NC与折痕£>£交于点G；

第3步：过点G折叠正方形纸片4BCD,使折痕儿W〃幺。.

【过程思考】

(1)“乘风”小组的证明过程中，①处的推理依据是；

②处所列方程是；

(2)结合“破浪”小组操作过程，判断点M是否为48边的三等分点，并证明你的结论;

【拓展提升】

(3)①如图3,将矩形纸片4BC。对折，使点力和点。重合，展开铺平，折痕为£尸，将△£Z)C沿CE

翻折得到△EGC,过点G折叠矩形纸片，使折痕MV〃48,若点/为边2。的三等分点，请求出一

DC

的值；

②在边长为6的正方形4BCZ)中，点E是射线R4上一动点，连接CE,将△E8C沿CE翻折得到

△EGC,直线EG与直线交于点〃若DH=LAD,请直接写出的长.

3

2024-2025学年第一学期九月适应性练习参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）

1〜5：ABBDA6-10：CCBDC

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

11.412.y=2（x+3）2+413.614.16

47

15.—16.—2<〃<0

6

三、解答题（本大题共9题，满分86分）

17.解：（1）x+1=+4xl=3,x,=—5

解：（2）x2-6x+9=-1+9

(x—3)-=8x—3=+2^2Xj=2V2+3,x2=—2^2+3

18.证明：:CNaZB,.•.ZEUM=NNCA/,

NDAM=ZNCM

在△ZDM和△C2W中，\MA=MC,

NAMD=ZCMN

:./\AMD%ACMN(ASA),:.MD=MN,

：.四边形/DOV是平行四边形.

（答案不唯一）

19.解：（1）设y与x之间的函数关系式为歹=依+6（左。0）,

25左+6=70

由所给函数图象可知：《

35左+6=50

k=-2

解得<

6=120

故y与龙的函数关系式为y=-2x+120；

(2)y——2x+120,

w=(x-20)j=(x-20)(-2x+120)=-2x2+160x-2400,

即w与龙之间的函数关系式为w=-2x2+160%-2400.

20.解：(1)证明：•.•ZD平分NBZC,

/BAD=ACAD,

•••NEAD=NADE,NADE=/BAD,DE//AB,

:.ADCEs^BCA；

,DE_CD_CD_4_2

,.AB-CB'

CB3CB、3、BD

H即n---=—,------1=——1,.1-----

CD2CD2CD2

21.(1)证明：A=(机+2)--4(机-1)=机2+8,

•/m2>0,A=m2+8>8>0,

故抛物线与x轴一定有两个交点；

(2)解：令y=0,得x?一(机+2)》+机一1=0,

由(1)知A>0,

xA+xB=m+2,xA-xB=m-\,

222

AB=(xA-xB)=(x4+xB)-4XA-XB=(m+2)~,

.1(掰+2『一4(机—1)=9,

解得m=±1,

在原点左边，8在原点右边，

xA-xB=m-1<0,:.m<l,m=-1,

故抛物线的表达式为：J=X2-X-2；

22.解：（1）50x40%=20（人），

活动前8组人数为20人，

,活动前。组人数为50-10-20-14-2=4（人）,

补全统计图如下所示：

活动前

(2)•.・活动前一共调查了50人，将这50人的课外劳动时长从低到高排列，处在第25名和第26名的时长

都落在C组，

活动后调查数据的中位数落。组；

(3)2400x(1-6%-14%)=1920A,

估计该校学生一周课外劳动时间不小于4小时的人数为1920人.

23.解：(1)①如图，r点为所作；

法一：连接AD与NC交于点0,连接£。并延长，£。的延长线与的交点即为点少；

法二：以点N为圆心，8E长为半径画弧，弧与4D的交点即为点/；

法三：作NBEF=NECD,E5与4D的交点即为点少.

(2)■：AC=BC,ZB=60°,

.,△ABC是等边三角形，

AC=BC=AB=2,ZBCH=-ZBCA=30°,

2

vZCHB=90°,:.BH=-BC=1,

2

:.CH=4BC2-BH2=V3.

16a+4b=0

24.解：（1）将幺（4,0）,8（1,3）代入;；="2+乐得＜

a+b=3

a=-1

解得：《

b=4

二抛物线的解析式为：y=-x2+4x；

（2）设直线4g的解析式为：y^kx+t,

4左+，=0

将幺（4,0）,8（1,3）代入_）；=依+/得＜

k+t=3

k=-l

解得：《

t=4

直线48的解析式为：y=—%+4,

・・・4(4,0),8(1,3),

*，,^AOAB=-X4X3=6,SAOAB=2sApAB~6，

即SAPAB=3,

过点尸作尸轴于点PM与AB交于点、N,过点5作于点£,如图,

113

•••SAPAB=S*B+=-PNXBE^-PNXAM=-PN=3,

:.PN=2.

设点P的横坐标为m,

?.尸(利一加之+4加)(1<m<4),N(私一加+4),

/.PN=-m2+4m-[—m+4)=2.

解得：加=2或加=3；

.•.尸（2,4）或（3,3）；

（3）凡存在最大值.理由如下:

§2

•/PD//OB,

ZDPC=ZBOC,ZPDC=ZOBC,

CPCD_PD

:.ADPCsABOC,

~CO~~CB~~OB

Sx_CDPD

设直线48交y轴于点R,

把x=0代入y=-x+4,解得y=4,

则E（0,4）,

过点尸作尸〃，x轴，垂足为"，PH交4B于点、G,如图,

•/ZPDC=ZOBC,ZPDG=ZOBF,

PG//OF,ZPGD=NOFB,

PDPG

.♦.△PDGSAOBF,——,

OBOF

设?（名一〃2+4〃）（1<〃<4）,贝！JG点坐标为（凡一〃+4）,

/.PG——+5〃-4,

鼠些=空」（—/+5〃-49

+一

$2POOF4'16

•J1<77<4,

二当〃=3时，色的最大值为2.

2邑16

25.解：(1)由题意得：

①HL,

@(6-X)2+32=(X+3)2.

(2)点/是48边的三等分点，证明如下:

图2

VE,尸分别是4S,CD的中点,

•••ABCD是正方形，

AD//BC,AB//CD,AB=CD,

ZAED=ZCDG,ZEAG=ZDCG,