2025《金版教程•高考数学复习创新方案》微专题(五) 情境下的数列问题

数学，不仅是运算和推理的工具，还是表达和交流的语言，因此基于问题情境下的数列问题在高考中正逐步成为热点，通过具体的问题背景或新的定义，考查数列在问题情境中的应用，以此来检验学生的核心价值、学科素养、关键能力、必备知识．常用的解题思路是审题、建立数列模型、研究模型、解决实际问题，即一是理解题意，分清条件和结论，理清数量关系；二是把文字语言、新情景转化为熟悉的数学语言；三是构建相应的数学模型，利用已学的数列知识、解题的方法和技巧求解．类型一数学文化中的数列问题数学文化题一般是从中华优秀传统文化中挖掘素材，将传统文化与高中数学知识有机结合，有效考查阅读理解能力、抽象概括能力、转化与化归能力．解题时要对试题所提供的数学文化信息进行整理和分析，从中构建等差数列或等比数列模型．例1(1)(2023·湖南永州第一次高考适应性考试)如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程．九连环把玩时按照一定的程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第n个圆环解下最少需要移动的次数记为an(n≤9，n∈N*)，已知a1＝1，a2＝1，按规则有an＝an－1＋2an－2＋1(n≥3，n∈N*)，则解下第4个圆环最少需要移动的次数为()A．4 B．7C．16 D．31答案B解析由题意，a1＝1，a2＝1，an＝an－1＋2an－2＋1(n≥3，n∈N*)，解下第4个圆环，则n＝4，即a4＝a3＋2a2＋1，而a3＝a2＋2a1＋1＝1＋2＋1＝4，则a4＝4＋2＋1＝7.故选B.(2)(2024·湖北鄂州模拟)天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，……，依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，……，依此类推.1911年中国爆发推翻清朝专制帝制、建立共和政体的全国性革命，这一年是辛亥年，史称“辛亥革命”.1949年新中国成立，请推算新中国成立的年份为()A．己丑年 B．己酉年C．丙寅年 D．甲寅年答案A解析根据题意可得，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1911年到1949年经过38年，且1911年为“辛亥”年，以1911年的天干和地支分别为首项，则38＝3×10＋8，则1949年的天干为己，38＝12×3＋2，则1949年的地支为丑，所以1949年为己丑年．故选A.运用所学的等差数列、等比数列知识去求解古代著名的数学问题，解答时准确理解用古文语言给出的数学问题的含义是解答好本类试题的关键，熟练掌握等差数列、等比数列的通项公式及求和公式，既是基础又是有力保障．1．(2023·江西南昌莲塘第一中学高三二模)大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．已知该数列{an}的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，记bn＝(－1)n·an，n∈N*，则数列{bn}的前20项和是()A．110 B．100C．90 D．80答案A解析观察此数列可知，当n为偶数时，an＝eq\f(n2,2)，当n为奇数时，an＝eq\f(n2－1,2)，因为bn＝(－1)n·an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(n2－1,2)，n为奇数，,\f(n2,2)，n为偶数，))所以数列{bn}的前20项和为(0＋2)＋(－4＋8)＋(－12＋18)＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(192－1,2)＋\f(202,2)))＝2＋4＋6＋…＋20＝eq\f(10×（2＋20）,2)＝110.故选A.类型二实际生活中的数列问题数列知识可以用来解决实际生活中较为普遍的很多问题，在解决一些关于利息计算、产值增长、银行存款等问题时常常会用到等比数列的相关知识．例2(1)某人从2015年起，每年1月1日到银行新存入5万元(一年定期)，若年利率为2.5%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2025年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为(单位：万元．参考数据：1.0259≈1.25，1.02510≈1.28，1.02511≈1.31)()A．51 B．57C．6.4 D．6.55答案B解析由题意，2015年存的5万元共存了10年，本息和为5(1＋0.025)10万元，2016年存的5万元共存了9年，本息和为5(1＋0.025)9万元，…，2024年存的5万元共存了1年，本息和为5(1＋0.025)万元，所以到2025年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数为5(1＋0.025)10＋5(1＋0.025)9＋…＋5(1＋0.025)＝5×eq\f(1.025×（1.02510－1）,1.025－1)≈5×eq\f(1.025×（1.28－1）,0.025)＝57.4≈57万元．(2)(2022·新高考Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为eq\f(DD1,OD1)＝0.5，eq\f(CC1,DC1)＝k1，eq\f(BB1,CB1)＝k2，eq\f(AA1,BA1)＝k3.已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝()A．0.75 B．0.8C．0.85 D．0.9答案D解析设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，则DD1＝0.5，CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3，依题意，有k3－0.2＝k1，k3－0.1＝k2，且eq\f(DD1＋CC1＋BB1＋AA1,OD1＋DC1＋CB1＋BA1)＝0.725，所以eq\f(0.5＋3k3－0.3,4)＝0.725，故k3＝0.9.故选D.(3)(2022·全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造卫星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{bn}：b1＝1＋eq\f(1,a1)，b2＝1＋eq\f(1,a1＋\f(1,a2))，b3＝1＋eq\f(1,a1＋\f(1,a2＋\f(1,a3)))，…，以此类推，其中ak∈N*(k＝1，2，…)，则()A．b1＜b5 B．b3＜b8C．b6＜b2 D．b4＜b7答案D解析解法一：当n取奇数时，由已知b1＝1＋eq\f(1,a1)，b3＝1＋eq\f(1,a1＋\f(1,a2＋\f(1,a3)))，因为eq\f(1,a1)>eq\f(1,a1＋\f(1,a2＋\f(1,a3)))，所以b1>b3，同理可得b3>b5，b5>b7，…，于是可得b1>b3>b5>b7>…，故A不正确．当n取偶数时，由已知b2＝1＋eq\f(1,a1＋\f(1,a2))，b4＝1＋eq\f(1,a1＋\f(1,a2＋\f(1,a3＋\f(1,a4))))，因为eq\f(1,a2)>eq\f(1,a2＋\f(1,a3＋\f(1,a4)))，所以b2<b4，同理可得b4<b6，b6<b8，…，于是可得b2<b4<b6<b8<…，故C不正确．因为eq\f(1,a1)>eq\f(1,a1＋\f(1,a2))，所以b1>b2，同理可得b3>b4，b5>b6，b7>b8，又b3>b7，所以b3>b8，故B不正确．故选D.解法二(取特殊值)：取ak＝1，于是有b1＝2，b2＝eq\f(3,2)，b3＝eq\f(5,3)，b4＝eq\f(8,5)，b5＝eq\f(13,8)，b6＝eq\f(21,13)，b7＝eq\f(34,21)，b8＝eq\f(55,34).于是得b1＞b5，b3＞b8，b6＞b2.故选D.求解数列实际问题的注意事项(1)审题、抓住数量关系、建立数学模型，注意问题是求什么(n，an，Sn)．(2)解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答．(3)在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确．(4)在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系．2．(2024·焦作模拟)直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前受到了广大消费者的追捧，针对这种现状，某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入，若该公司今年投入的资金为2000万元，并在此基础上，以后每年的资金投入均比上一年增长12%，则该公司需经过________年其年投入资金开始超过7000万元．(参考数据：lg1.12≈0.049，lg2≈0.301，lg7≈0.845)()A．14 B．13C．12 D．11答案C解析设该公司经过n年投入的资金为an万元，则a1＝2000×1.12，由题意可知，数列{an}是以2000×1.12为首项，1.12为公比的等比数列，所以an＝2000×1.12n，由an＝2000×1.12n>7000可得n>log1.12eq\f(7,2)＝eq\f(lg7－lg2,lg1.12)≈11.1，因此该公司需经过12年其年投入资金开始超过7000万元．故选C.3．(2023·北京高考)我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列{an}，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a1＝1，a5＝12，a9＝192，则a7＝________；数列{an}所有项的和为________．答案48384解析解法一：设前3项的公差为d，后7项的公比为q(q>0)，则q4＝eq\f(a9,a5)＝eq\f(192,12)＝16，且q>0，可得q＝2，则a3＝eq\f(a5,q2)＝3，即1＋2d＝3，可得d＝1，a7＝a3q4＝48，a1＋a2＋…＋a9＝1＋2＋3＋3×2＋…＋3×26＝3＋eq\f(3×（1－27）,1－2)＝384.解法二：因为当3≤n≤7时，{an}为等比数列，则aeq\o\al(2,7)＝a5a9＝12×192＝482，且an>0，所以a7＝48.又aeq\o\al(2,5)＝a3a7，则a3＝eq\f(aeq\o\al(2,5),a7)＝3.设后7项的公比为q(q>0)，则q2＝eq\f(a5,a3)＝4，解得q＝2，可得a1＋a2＋a3＝eq\f(3（a1＋a3）,2)＝6，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝eq\f(a3－a9q,1－q)＝eq\f(3－192×2,1－2)＝381，所以a1＋a2＋…＋a9＝6＋381－a3＝384.4．(2021·新高考Ⅰ卷)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240dm2，对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180dm2，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为________；如果对折n次，那么eq\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(k＝1))Sk＝________dm2.答案5240·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(n＋3,2n)))解析对折3次可以得到eq\f(5,2)dm×12dm，5dm×6dm，10dm×3dm，20dm×eq\f(3,2)dm，共四种规格的图形，它们的面积之和为S3＝4×30＝120dm2.对折4次可以得到eq\f(5,4)dm×12dm，eq\f(5,2)dm×6dm，5dm×3dm，10dm×eq\f(3,2)dm，20dm×eq\f(3,4)dm，共五种规格的图形，它们的面积之和为S4＝5×15＝75dm2.对折n次有n＋1种规格的图形，且Sn＝eq\f(240,2n)(n＋1)，因此eq\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(k＝1))Sk＝240·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,21)＋\f(3,22)＋…＋\f(n＋1,2n))).eq\f(1,2)eq\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(k＝1))Sk＝240·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,22)＋\f(3,23)＋…＋\f(n,2n)＋\f(n＋1,2n＋1)))，因此eq\f(1,2)eq\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(k＝1))Sk＝240·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,22)＋\f(1,23)＋…＋\f(1,2n)－\f(n＋1,2n＋1)))＝240·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－\f(n＋3,2n＋1))).所以eq\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(k＝1))Sk＝240·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(n＋3,2n)))dm2.类型三数列中的新定义问题新定义主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新定义，这样有助于对新定义的透彻理解．若新定义是运算法则，直接按照运算法则计算即可；若新定义是性质，要判断性质的适用性，能否利用定义外延，也可用特殊值排除等方法．例3(1)(多选)(2023·广东佛山调研)“提丢斯数列”是18世纪由德国物理学家提丢斯给出的，具体如下：取0，3，6，12，24，48，96，…，这样一组数，容易发现，这组数从第3项开始，每一项是前一项的2倍，将这组数的每一项加上4，再除以10，就得到“提丢斯数列”：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，…，则下列说法中正确的是()A．“提丢斯数列”是等比数列B．“提丢斯数列”的第99项为eq\f(3×297＋4,10)C．“提丢斯数列”的前31项和为eq\f(3×230,10)＋eq\f(121,10)D．“提丢斯数列”中，不超过300的有11项答案BCD解析对于A，eq\f(0.7,0.4)≠eq\f(1,0.7)，所以“提丢斯数列”不是等比数列，故A错误；对于B，设“提丢斯数列”为数列{an}，当n≥2时，an＝eq\f(3×2n－2＋4,10)，所以a99＝eq\f(3×297＋4,10)，故B正确；对于C，“提丢斯数列”的前31项和为0.4＋eq\f(3,10)×(1＋21＋22＋…＋229)＋eq\f(4,10)×30＝eq\f(3×230,10)＋eq\f(121,10)，故C正确；对于D，由an＝eq\f(3×2n－2＋4,10)≤300，得n≤11，所以“提丢斯数列”中，不超过300的有11项，故D正确．故选BCD.(2)(多选)(2024·雅礼中学月考)记〈x〉表示与实数x最接近的整数eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(若x＝a＋\f(1,2)，a∈Z，则取〈x〉＝a))，数列{an}的通项公式为an＝eq\f(1,〈\r(n)〉)(n∈N*)，其前n项和为Sn，设k＝〈eq\r(n)〉，则下列结论正确的是()A．eq\r(n)＝k－eq\f(1,2) B．eq\r(n)<k＋eq\f(1,2)C．n≥k2－k＋1 D．S2024<90答案BCD解析由题意，〈x〉表示与实数x最接近的整数且k＝〈eq\r(n)〉，当n＝1时，可得eq\r(n)＝1，则k＝〈eq\r(n)〉＝1，k－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)≠1，A不正确；易得|eq\r(n)－〈eq\r(n)〉|<eq\f(1,2)，即|eq\r(n)－k|<eq\f(1,2)，所以－eq\f(1,2)<eq\r(n)－k<eq\f(1,2)，故eq\r(n)<k＋eq\f(1,2)成立，B正确；由B项分析知k－eq\f(1,2)<eq\r(n)<k＋eq\f(1,2)，易知k≥1，故对k－eq\f(1,2)<eq\r(n)<k＋eq\f(1,2)两边平方得k2－k＋eq\f(1,4)<n<k2＋k＋eq\f(1,4)，因为n∈N*且k2－k＋eq\f(1,4)不是整数，且k2－k＋1是大于k2－k＋eq\f(1,4)的最小整数，所以n≥k2－k＋1成立，C正确；当n＝1，2时，〈eq\r(n)〉＝1，此时a1＝a2＝1；当n＝3，4，5，6时，〈eq\r(n)〉＝2，此时a3＝a4＝a5＝a6＝eq\f(1,2)；当n＝7，8，9，10，11，12时，〈eq\r(n)〉＝3，此时a7＝a8＝…＝a12＝eq\f(1,3)；当n＝13，14，…，20时，〈eq\r(n)〉＝4，此时a13＝a14＝…＝a20＝eq\f(1,4)；…，所以数列{an}中有2个1，4个eq\f(1,2)，6个eq\f(1,3)，8个eq\f(1,4)，…，又2，4，6，8，…构成首项为2，公差为2的等差数列{bn}，其前n项和Tn＝eq\f(n（2＋2n）,2)＝n(n＋1)，而2024＝44×(44＋1)＋44，所以S2024＝1×2＋eq\f(1,2)×4＋eq\f(1,3)×6＋…＋eq\f(1,44)×88＋eq\f(1,45)×44＝2×44＋eq\f(44,45)＝88＋eq\f(44,45)<90，D正确．故选BCD.数列新定义问题的解题策略策略一读懂定义，理解新定义数列的含义策略二特殊分析，比如先对n＝1，2，3，…的情况进行讨论策略三通过特殊情况寻找新定义的数列的规律及性质，以及新定义数列与已知数列(如等差与等比数列)的关系，仔细观察，探求规律，注重转化，合理设计解题方案策略四联系等差数列与等比数列知识，将新定义数列问题转化为熟悉的知识进行求解5．(多选)(2023·山东日照模拟)若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质．对于正整数k，φ(k)是不大于k的正整数中与k互质的数的个数，函数φ(k)以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数．例如：φ(2)＝1，φ(3)＝2，φ(6)＝2，φ(8)＝4.已知欧拉函数是积性函数，即如果