北京中考数学复习训练：圆 专项练习（含答案）

专题19圆2023年中考数学一轮复习专题训练（北京专用）

一'单选题

1.（2021九上•平谷期末）如图，AB为。O的直径，弦CDAB,垂足为点E,若

的半径为5,CD=8,则AE的长为（）

B

A

A.3B.2C.1D.V3

2.（2021九上•顺义期末）如图,AB切于。0点B,延长A0交。O于点C,连接

BC,若NA=40。，则NO（）

A.20°B.25°C.40°D.50°

3.（2021九上•顺义期末）如图,在。。中，如果AB=22C,则下列关于弦AB与弦

AC之间关系正确的是（）

A

A.AB=ACB.AB=2ACC.AB>2ACD.AB<

2AC

4.（2021九上•通州期末）如图,是。。的直径，点D在AB的延长线上，DC切。。

于点C.若ND=30。，CD=25贝以C等于（）.

A.6B.4C.2V3D.3

5.（2021九上•东城期末）如图，PA,PB是。。的切线，A,B是切点，点C为。O上

一点，若/ACB=70。，则/P的度数为（）

A.70°B.50°C.20°D.40°

6.（2021九上•西城期末）如图，。。是正方形4BCC的外接圆,若。。的半径为4,则

正方形4BCD的边长为（）

o

A.4B.8C.2A/2D.4V2

7.（2021九上•大兴期末）如图，OC与ZAOB的两边分别相切,其中OA边与OC相切

于点P.若乙40B=90°,0P=4,则OC的长为（）

APO

A.8B.16V2C.4V2D.2V2

8.（2021九上.石景山期末）如图，四边形ABCD内接于。。，若四边形ABCO是菱

形，贝吐。的度数为（）

A.45°B.60°C.90°D.120°

9.（2021九上•海淀期末）在AABC中，CA=CB,点O为AB中点.以点C为圆心,

CO长为半径作。C,则。C与AB的位置关系是（）

C

A.相交B.相切C.相离D.不确定

10.（2022九下•北京市开学考）如图，AB是。O的直径，点C,D在。O上.若N

ABC=60°,则ND的度数为（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

二'填空题

口.（2021九上•昌平期末）若扇形的圆心角为60。，半径为2,则该扇形的弧长是

（结果保留兀）

12.（2021九上•平谷期末）如图，在。O中，A,B,C是。。上三点，如果N

AOB=70。，那么NC的度数为.

13.（2021九上•海淀期末）如图，PA,PB分别切。。于点A,B,Q是优弧力B上一

14.（2021九上•西城期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A,B,C的横、纵坐

标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为

4

~0i_23~

15.（2021八上•西城期末）如图，RtZkABC中，乙4cB=90。，NB=30。，AC=2,D

为BC上一动点，EF垂直平分AD分别交AC于E、交2B于凡贝防尸的最大值

为.

16.（2021九上•丰台期末）数学活动课上，小东想测算一个圆形齿轮内圈圆的半径.如

图所示，小东首先在内圈圆上取点A,B,再作弦AB的垂直平分线，垂足为C,交ZB

于点D,连接CD,经测量ZB=8cm,CD=2cm,那么这个齿轮内圈圆的半径为

17.（2021九上•昌平期末）如图，AB为。O的直径，弦CDLAB于点H,若AB=10,

CD=8,则OH的长为

D

18.（2021九上•西城期末）如图，在RtZkABC中，乙4cB=90。，D是△4BC内的一个

动点，满足ZC2—若4B=2g,BC=4,贝IjBC长的最小值

为________

19.（2021九上•燕山期末）已知点A、B、C、D在圆O上，且FD切圆O于点D,

。后1。。于点£,对于下列说法：①圆上AbB是优弧；②圆上是优弧；③线段AC

是弦；④ZC4D和乙4以诸B是圆周角；⑤ZC。力是圆心角，其中正确的说法

20.（2022九下•北京市开学考）在平面直角坐标xOy中，已知点

尸（一5,2）,M（-5,3）,OP的半径为1,直线/：y=ax,给出以下四个结论：①当

a=l时，直线1与。P相离；②若直线1是。P的一条对称轴，则a=—|;③若直线

1是。P只有一个公共点A,则。4=2夕；④若直线1上存在点B,。P上存在点N,

使得ZMBN=90。，则a的最小值为其中所有正确的结论序号是.

三、综合题

2L（2022・朝阳模拟）如图，AB为。O的直径，点C在。O上，点P是直径AB上的

一点，（不与A,B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q,与AC相交于

点M,CD是。O的切线.

B

(2)若sin/Q=|,AP=4,MC=6,求PB的长.

22.(2022•门头沟模拟)如图，AB是。。的直径，点D、E在。。上，乙4=

2乙BDE，过点E作。。的切线EC,交AB的延长线于C.

(2)如果。。的半径为5.BF=2.求EF的长.

23.(2021九上•燕山期末)如图，以四边形ABCC的对角线BD为直径作圆，圆心为O,

点A、C在。。上，过点A作AE1CD的延长线于点E,已知DA平分ZBDE.

(1)求证：4E是。。切线;

(2)若4E=4,CD=6,求。。的半径和40的长.

24.(2021九上•东城期末)如图，AC是。O的弦，过点O作OPLOC交AC于点P,

在OP的延长线上取点B,使得BA=BP.

(1)求证：AB是。O的切线；

(2)若。O的半径为4,PC=275,求线段AB的长.

25.(2022九下,北京市开学考)在平面直角坐标系xOy中，点A(a,b)和点B(c,d).给

出如下定义：以AB为边，作等边三角形ABC,按照逆时针方向排列A,B,C三个顶

点，则称等边三角形ABC为点A,B的逆序等边三角形.例如，当a=-l,b=

0,c=3,d=0时，点A,B的逆序等边三角形ABC如图①所示.

(1)已知点A(-l,0),B(3,0),则点C的坐标为；请在图①中画出

点C,B的逆序等边三角形CBD,点D的坐标为.

(2)图②中，点B(3,0),点A在以点M(-2,0)为圆心1为半径的圆上，求点

A,B的逆序等边三角形ABC的顶点C的横坐标取值范围.

(3)图③中，点A在以点M(-2,0)为圆心1为半径的圆上，点B在以N(3,0)为

圆心2为半径的圆上，且点B的纵坐标d>0,点A,B的逆序等边三角形ABC如图

③所示.若点C恰好落在直线y=x+t上，直接写出t的取值范围.

26.(2021九上•昌平期末)如图，。。是AABC的外接圆，AB是。O的直径，AB±

CD于点E,P是AB延长线上一点，且NBCP=/BCD

(1)求证：CP是。。的切线；

(2)连接DO并延长，交AC于点F,交。O于点G,连接GC若。。的半径为

5,OE=3,求GC和OF的长

27.(2021九上•大兴期末)已知：如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点.以

BD为直径作。。，交边AB于点P,连接PC,交AD于点E.

(1)求证：AD是。。的切线；

(2)若PC是的切线，BC=8,求PC的长.

28.(2022•平谷模拟)如图，4B是。。的直径，C是。。上一点，过C作。。的切线

交48的延长线于点。，连接AC、BC,过。作。/〃AC,交3C于G,交DC于F.

(1)求证：NDCB=/DOF；

(2)若tan/A=1,BC=4,求OR。产的长.

29.(2021九上•朝阳期末)如图，在RtAABC中，^ACB=90°,O为AC上一点，以

点。为圆心，OC为半径的圆恰好与AB相切，切点为D,。。与AC的另一个交点为

E.

B

(1)求证：BO平分NABC；

(2)若乙4=30。，AE=1,求BO的长.

30.(2021九上•西城期末)如图，是。。的直径，四边形4BCD内接于。。，D是AC

的中点，DE，BC交BC的延长线于点E.

(1)求证：DE是。。的切线；

(2)若48=10,BC=8,求BD的长.

答案解析部分

1.【答案】B

【解析】【解答】解：连接OC,如图

VAB为。O的直径，CDAB,垂足为点E,CD=8,

11

•*-CE=2CD=2x8=4,

;力。=CO=5,

/•OE=VCO2-CE2=V52-42=3，

：.AE=5-3=2；

故答案为：B.

【分析】连接OC,根据垂径定理可得CE=4,再利用勾股定理求出OE的长，然后利

用AE=OA-OE计算即可。

2.【答案】B

【解析】【解答】解：：AB切。O于点B,

AOBXAB,即/ABO=90。，

.•./AOB=50。（直角三角形中的两个锐角互余），

又•.•点C在AO的延长线上，且在。O上，

二ZC=|ZAOB=25°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）.

故答案为：B.

【分析】连接0B,根据切线的性质可得NABO=90。，再利用三角形的内角和求出N

AOB=50°,最后利用圆周角的性质可得NC弓NAOB=25。。

3.【答案】D

【解析】【解答】如图，取弧AB的中点Q,连接力BD,

贝！MB=2BD=2AD

'：AB^2AC

：.BD=AD=AC

AD—BD=AC.

在ZL4B。中，AD+BD>AB,

：.AC+AC>AB,即AB<2AC.

故答案为：D.

【分析】取弧力B的中点D,连接AD,BD,贝=2AD,由条件得出4B=

2AC,得出BD=AD=AC,根据圆心角、弧、弦的关系定理得出AD=BO=AC,又

在ZL4BO中，AD+BD>AB,根据三角形三边关系定理得出ZC+AC>4B,即可得出

答案。

4.【答案】C

【解析】【解答】解：连结BC,OC,

VCD为切线，

/.OC1DC,

在RtADOC中,

VZP=30°,CD=2V3,

OC=CDtanZOAC=2V3x字=2，

OB=OA=OC=2,ZDOC=90°-ZD=90°-30°=60°

ZA=ZOCA=|ZDOC=30°

VAB为直径，

ZBCA=90°

在RtAABC中，

VAB=2OA=4,ZA=30°,

/.AC=ABCOS30°=4x*=2V3.

故答案为：C.

【分析】连结BC,OC,根据切线的性质以及含30度角的直角边等于斜边的一半，即

可得出答案。

5.【答案】D

【解析】【解答】解：连接OA,OB,

VPA,PB为。O的切线，

/.ZOAP=ZOBP=90°,

VZACB=70°,

/.ZAOB=2ZP=140°,

，ZP=360°-ZOAP-ZOBP-ZAOB=40°.

故答案为：D.

【分析】连接OA、OB,根据切线长的性质可得/OAP=NOBP=90。，再利用圆周角的

性质求出NAOB=2/P=140。，最后利用四边形的内角和求出NP即可。

6.【答案】D

【解析】【解答】解：连接OB,0C,过点O作OEJ_BC于点E,

AOB=OC,ZBOC=90°,

JZOBE=45°,乙BOE=45°

JOE=BE,

VOE2+BE2=OB2,

f=2加，

••BE=

・・.BC=2BE=4V^,即正方形ABCD的边长是4段.

故答案为：D

【分析】连接OB,OC,过点。作OELBC于点E,利用勾股定理得出BE的值，从

而得出答案。

7.【答案】C

【解析】【解答】解：如图所示，连接CP,

VOA,0B都是圆C的切线，ZAOB=90°,P为切点,

AZCPO=90°,ZCOP=45°,

.,.ZPCO=ZCOP=45°,

/.CP=OP=4,

/.oc=7cp2+op2=4五,

故答案为：c.

【分析】连接CP,根据且切线长定理可得NPCO=NCOP=45。，再利用勾股定理可得

0C=7cp2+0P2=4V2O

8.【答案】B

【解析】【解答】解：设NADC=a,ZABC=p；

•.•四边形ABCO是菱形，

.*.ZABC=ZAOC=0；

ZADC=1p；

•••四边形ABCD为圆的内接四边形，

.,.a+P=180°,

(a+/3=180°

1„，

a=2夕

解得：0=120。，a=60°,则NADC=60。，

故答案为：B.

【分析】根据菱形的性质可得NABC=NAOC=/?,再利用圆周角的性质可得N

1(a+6=180°

ADC=a3,再根据圆内接四边形的性质可得1。，再求出B=120。，a=60。，即

2a=kB

可得到答案。

9.【答案】B

【解析】【解答】解：连接C。,

CA=CB,点O为AB中点.

ACO1AB

•••CO为。C的半径,

・•.AB是OC的切线，

.-.OC与AB的位置关系是相切

故答案为：B

【分析】连接CO,根据直线与圆的位置关系即可得出答案。

10.【答案】B

【解析】【解答】解：:AB是直径，

・・・NACB=90。，

・・・/ABC=60。，

・・・NA=90。-ZABC=30°,

・・・ND=NA=30。，

故答案为：B.

【分析】先利用圆周角得到NACB=90。，再求出NA=90。-NABC=30。，最后利用

圆周角的性质可得ND=NA=30。。

1L【答案】|兀

【解析】【解答】解：依题意，n=60。，r=2,

二扇形的弧长=撮=当群=|TT.

故答案为：1TT.

【分析】利用弧长公式计算即可.

12.【答案】35°

【解析】【解答】解：•••ZAOB与ZACB者E对48,且ZAOB=70°,

1

ZC=/AOB=35°,

故答案为:35°.

【分析】根据同圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半求解即可。

13.【答案】70°

【解析】【解答】解：连接OA、OB,

•••PA,PB分别切。。于点A,B,

/.ZOAP=ZOBP=90°,又/P=40。，

二ZAOB=360°-90°-90°-40°=140°,

.*.ZQ=1ZAOB=70°,

故答案为：70°.

【分析】连接OA、OB,先根据切线的性质和四边形的内角和求出NAOB,再利用圆

周角的性质可得/QmNAOB=70。。

14.【答案】（2,1）

【解析】【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，

可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心.

如图所示，则圆心是（2,1）.

故答案为（2,1）.

【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦AB和BC的垂直平分

线，即可得出答案。

15.【答案】|

【解析】【解答】如图所示:

本题实际上相当于，以F为圆心，AF为半径作一个圆F,

当。F与CD相切或相交时，使AF=DF=半径，

据题意，当AF逐渐增大时，到OF与BC相切时，

即为AF最小值，即BF最大值，

此时，FD1BC,2FD=FB,

.".AF-BF=1：2,

WXCB=90°,ZB=3O°,AC=2,

：.AB=2AC=4,

228

：.BF=^AB=^X4=^,

故答案为：I.

【分析】要使BF最大，则AF需要最小，而AF=FD,从而通过圆与BC相切来解决问

题。

16.【答案】5

【解析】【解答】解：设圆心为O,连接OB.

根据勾股定理得：OC2+BC2=OB2,即：(OB-2)2+42=OB2,

解得：OB=5；

故轮子的半径为5cm.

故答案为：5.

【分析】设圆心为O,连接OB.RtAOBC中，BC=；AB=4cm,根据勾股定理得

(OB-2)2+42=OB2,解得0B的值，即可得出答案。

17.【答案】3

【解析】【解答】解：:AB为。O的直径，弦CDLAB于点H,若AB=10,CD=8,

11

ACH=2CD=4,OC=-2AB=5

在Rt△OHC中，OH=VOC2-CH2=V52-42=3

故答案为：3

【分析】根据垂径定理及直径AB=10,可得CH==4,OC=：4B=5,在Rt△

OHC中，利用勾股定理求出OH即可.

18.【答案】2

【解析】【解答】解：如图所示，取AC中点O,

"."AC2-AD2=CD2,即AC2=

/.ZADC=90°,

...点D在以。为圆心，以AC为直径的圆上，

作AADC外接圆，连接BO,交圆。于。1，贝IJBD长的最小值即为BDi，

'：AB=2V13,BC=4,ZACB=90°,

­-AC=7AB2-BC2=6,

1

AOC=0Dr=^AC=3,

:・0B=yj0C2-BC2=5,

BD1—OB—0Dr=2,

故答案为：2.

【分析】取AC中点0,得出点D在以O为圆心，以AC为直径的圆上，作AADC外

接圆，连接BO,交圆。于。1，则BD长的最小值即为BA，利用勾股定理得出答案。

19.【答案】①②③⑤

【解析】【解答】解：AbB,AbD都是大于半圆的弧，故①②符合题意，

•••4C在圆上，则线段ZC是弦；故③符合题意；

•••C,A,。都在圆上，

NC4。是圆周角

而F点不在圆上，则乙4DF不是圆周角

故④不符合题意；

•••。是圆心，C,4在圆上

•••NC0A是圆心角

故⑤符合题意

故正确的有：①②③⑤

故答案为：①②③⑤

【分析】根据圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理判断即可。

20.【答案】①②③

【解析】【解答】解：①将a=1代入直线I：y=a久得，

直线I：y=久的图像在第一、三象限，

又P(-5,2),OP的半径为1,

...OP的图像在第二象限，

.•.当a=l时，直线1与。P相离，

故①符合题意.

②若直线1是。P的一条对称轴，

则直线1必过点。P的圆心P(—5,2),

A2=a・(-5)

解得：a=—I，

故②符合题意.

③若直线1与。P只有一个公共点A,

则直线1与。P相切，

：.0P2=0A2+I2,

又P(-5,2),0(0,0),

/.[0-(-5)]2+(0-2)2=OA2+I2

解得：(M=2夕，

故③符合题意.

④若直线1上存在点B,OP上存在点N,使得ZMBN=9O。，

则点M、点P、点N在。P的一条直径上(直径所对的圆周角是直角)，

如图，作OP的两条切线，切点分别为B,D,当a值最小时，贝!Jy=ax与圆相切与

点B,则直线OB的解析式即为所求，

5,2)

OP=J52+22=V29

•••。8是圆P的切线,

PB1OB

；"PC*

乙乙

•••OP的半径为1

・・・PB=1

设B(m,n)

・・.PB2=(m+5)2+(n-2)2,CB2=(m+|)2+(n-I)2

2

•••Cm+5)2+(n—2/=1,(m+1)+(n-l)2=

即Cm2+n2+10m—4n=-28

tm2+n2+5m-2n=0

整理得：6+，=煦

I2n-5m=28

—140—4^/7—140+4VT

用牛1寸771]=2g，血2=29

由图可知，B点的横坐标为T4#"

将巾=-14氏4"代入2n—56=28

解得n=1嚼56

-140+4771077+56

・B(29'29)

代入直线”w则0=平理=_1"搂3以〉Y

2/7-7024364

故④不符合题意.

故答案为：①②③.

【分析】①根据点P(—5,2),M(—5,3),当a=l时，直线/：y=ax,根据直线和

圆的关系进而判断；②若直线1是。P的一条对称轴，则直线1必过点。P的圆心

P(-5,2),代入y=ax,即可判断；③若直线1与。P只有一个公共点A,则直线1与

OP相切，再根据勾股定理进行计算即可判断；④若直线1上存在点B,OP上存在点

N,使得乙MBN=90。,作OP的两条切线，切点分别为B,D，当a值最小时，则

y=aK与圆相切与点B,则直线。8的解析式即为所求，从而得解。

21.【答案】（1）证明：连接OC,如图所示:

〈CD是。O的切线，

・・・NDCO=90。，

・・・NDCQ+NOCB=90。，

,.・OC=OB,

・・・NOCB=NB,

AZDCQ+ZB=90°,

VQP±AB,

・・・NB+NQ=90。，

・・・NQ=NDCQ；

(2)解：TAB为。O的直径,

・・・NACB=90。，

・・・NA+NB=90。，

VPQXAB,

・・・NQPB=90。，

・・・NQ+NB=90。，

・・.NA=NQ,

,•'sinzQ=I，

・.,4—PM_3

.•sin””一宿—宁

.,.设PM=3a,AM=5a,

'AP=stAM2-PM2=4a,

VAP=4,

4a=4,

AM=5,

・・・AC=11,

在Rt^ACB中，sinZA=^=j,

AD□

・••设BC=3k,AB=5k,

・・・AC=4k=n,

・•・kK=彳"，

.•加=里

4

：.PB=AB-AP=^.

【解析】【分析】（1）连接OC,根据切线的性质和垂直的定义即可得到结论;

（2）根据圆周角定理和解直角三角形即可得到结论。

22.【答案】（1）证明：如图1,连接OE,

图1

AB是。的直径

・・・NADB=90。

AZA+ZABD=90°

・・・CE是。的切线

.\OE_LCE

AZOEC=90°

・・・NC+NCOE=90。

VZA=2ZBDE,NCOE=2NBDE

・・・NC=NABD

(2)解：如图2,连接BE,

D

C

图2

解：设NBDE=a,・・・NADF=90。-a,NA=2a,ZDBA=90°-2a,

在4ADF中，ZDFA=180°-2a-(90°-a)=90。-a,

・・・NADF=NDFA,

JAD=AF=AO+OB-BF=8,

.\AD=AF=8

VZADF=ZAFD,NADF=NFBE,NAFD=NBFE,

・・・NBFE=NFBE,

・・・BE=EF,

由(1)知，NA=2NBDE=NCOE,

・.・/BED=NA,

AZBEF=ZCOE,

VZFBE=ZOBE,

ABEF^ABOE,

.EF_BF

a'OE=BE

.EF_2

・・TF

.•.EF=V10,

故EF的长为710.

【解析】【分析】（1）先证明NA+NABD=90。，ZC+ZCOE=90°,再结合NA=2

ZBDE,ZCOE=2ZBDE,即可得到NC=NABD；

（2）连接BE,先证明ABEFs^BOE,可得嘉=霹，再将数据代入可得筝=系，

最后求出EF的长即可。

23.【答案】（1）证明：如图，连接OA,

B.

VAEXCD,

ZDAE+ZADE=90°.

；DA平分/BDE,

/ADE=NADO,

又：OA=OD,

ZOAD=ZADO,

.\ZDAE+ZOAD=90°,

/.OA±AE,

.•.AE是。O切线；

(2)解：如图，取CD中点F,连接OF,

.♦.OFLCD于点F.

.♦・四边形AEFO是矩形，

VCD=6,

/.DF=FC=3.

在RtAOFD中，OF=AE=4,

，0D=VOF2+DF2=V42+32=5,

在R3AED中，AE=4,ED=EF-DF=OA-DF=OD-DF=5-3=2,

-'-AD=y/AE2+DE2=V42+22=2花，

AAD的长是2花.

【解析】【分析】(1)连接OA,利用角平分线的性质得出NADE=/ADO,再根据

OA=OD,得出OALAE,由此得出结论；

(2)取CD中点F,连接OF,得出四边形AEFO是矩形，在Rt^OFD中，

OF=AE=4,利用勾股定理得出OD的值，在RtAAED中，AE=4,ED=EF-DF=OA-

DF=OD-DF=5-3=2,再利用勾股定理得出AD的值即可。

24.【答案】(1)证明：•；BA=BP,

ZBPA=ZBAP.

VOA=OC,

/.ZOAC=ZOCA.

VOPXOC,

/.ZCOP=90°.

.,.ZOPC+ZOCP=90°.

VZAPB=ZOPC,

.,.ZBAP+ZOAC=90°.即/OAB=90°,

：.OA_LAB.

VOA为半径，

/.AB为。O的切线；

(2)解：在RtAOPC中，OC=4,PC=2遍，

OP=JPC2-OC2=2.

设AB=x,贝!JOB=x+2.

在RtAAOB中，x2+42=(X+2)2-

/•x=3,即AB=3.

【解析】【分析】(1)通过角的等量代换证明/OAB=90。，即可得到AB为。。的切

线；

(2)先利用勾股定理求出OP的长，设AB=x,贝UOB=x+2,再利用勾股定理列出

2

方程/+4=(x+2猿求解即可。

25.【答案】(1)(1,2遮)；(5,2A/3)

(2)解：如图2,以MB为边作等边三角形△MM'B,以M为圆心1为半径作。Ml

•・,点B(3,0),点A在以点M(-2,0)为圆心1为半径的圆上，

.・•点A,B的逆序等边三角形ABC的顶点C在。M'

-2+31

'''Xm'=-2—=2

的半径为1

11

・2-1<和<&+1

BP-1<xc<|

(3)解：|V3-V2+|<t<|V3+3V2-i

【解析】【解答】（1）过点C作CE1X轴于点E,作出点C,B的逆序等边三角形

CBD,如图1,

•••71(-1,0),B(3,0),AABC是等边三角形

AE=BE=^AB=2I3-(-1)1=CE=WAE=

•••F(l,0),C(l,2A/3)

•••AABC,△BCD是等边三角形

•••乙DCB=乙ABC=60°,AB=AC=BC=CD=BD

CD=AB,CD||AB

••.£)(5,2A/3)

故答案为：(1,2遮)，(5,2V3)

(3)如图3,

图3

设。N与x轴交于点G,以GM为边向上作等边三角形AMGH,以点H为圆心1为

半径，作OH,设直线y=久为A，y=久+t为％，过点H作HJ交支轴于

点］,交h于点S,交办于点L,过点H,作H/1%轴于点I,设％与无轴的交点

为T,则0T=C

根据题意，当C点在第二象限时，能找到t的最小值，根据定义可知，B点与G点重

合时，A点在OM上运动，贝ljC点在OH上运动，当I2与OH相切时，t最小，

•••M(-2,0),N(3,0),。”的半径为1,ON的半径为2,

0M=2,OG=3-2=1

MG=3

=孥,==|

Z乙乙

1

-2，0)

4与X轴的夹角为45。，HJ1H/L久轴，

.・.△”〃是等腰直角三角形

HI=I]

「3V33V6

••・HJ=V2HI=—xV2=?

1

v。/=5

3731

'小葬2,0)

乙

:II^2

是等腰直角三角形

r-3V6广广l

TJ=V2L/=(U--1)V2=3V3-V2

3V31373

TO=T；-/O=3V3-V2-(■丁一2)=-V2+

2乙

即t的最小值为竽一或+支

B的纵坐标d>0,

如图4,作M,N的逆序等边三角形MNP',以P,为圆心，1为半径作OP',则

AN=NP,MN=NP',乙ANP=乙MNP'=60°

Z.PNP'=AANM

•••△PP'N=AAMN

・・・当P,P',Q共线时候，t最大

以P为圆心，2为半径作半圆P,当直线y=;c+t与半圆P相切时，设切点为Q,

当C点与Q点重合时，即可取得t的最大值，最大值即为r'o的长,

•••M(—2,0),N(3,0)

,1573

过点P作P"P"X轴于点P，如图,

15V3

•••R

(2+2，0)

576

QR=QP'+P'R=2+1+y/2P'P"=3+

2

RT'=&QR=3V2+5V3

70=R〃—0R=3应+5仃—4+孥=药1+3应"

乙乙乙乙

即t的最大值为缪+3迎

综上所述，|>/3-V2+|<t<|V3+3V2-1

【分析】(1)解等边三角形，求得点C的坐标，进而根据平移得出D的坐标；

(2)以MB为边作等边三角形以M为圆心1为半径作OM，，由点B(3,

0),点A在以点M(-2,0)为圆心1为半径的圆上，得出点A,B的逆序等边三角形

ABC的顶点C在OM'由此得解；

(3)找出大圆上一点，绕着该点，将小圆的圆心旋转60度时圆心位置最低时，直线

y=x+t与旋转后的圆切在下方时从而求得最小值；在小圆上找到一点，将大圆绕该点旋

转60度，使新圆的圆心位置最高，y=x+t且在新圆的上方，求得t的最大值即可。

26.【答案】(1)证明：连接OC

•；OB=OC,

.*.ZOBC=ZOCB

YABLCD于点E,

AZCEB=90°

/.ZOBC+ZBCD=90°

.•.ZOCB+ZBCD=90°

,/ZBCP=ZBCD,

.\ZOCB+ZBCP=90°

AOCICP

，CP是。o的切线

(2)解：:ABLCD于点E,

，E为CD中点

YO为GD中点，

，0E为ADCG的中位线

，GC=2OE=6,OE||GC

'：AO||GC

/.△GCF^AOAF

.GC_GF

'"OA~OF

哈嘉

VGF+OF=5,

.a.OF=1|

【解析】【分析】(1)连接OC,求出/OCP=90。，根据切线的判定定理即可证明；

(2)由垂径定理可得E为CD中点，从而求出OE为ADCG的中位线，可得GC=

2OE=6,OE||GC,根据平行线AGCFs^OAF,可得空=空，结合GF+OF=5,即

OAOF

可求解.

27.【答案】(1)证明：:AB=AC,

D是BC的中点，

AADXBD.

又：BD是。O直径，

.二AD是。。的切线.

(2)解：连接OP.

•.•点D是边BC的中点，BC=8,AB=AC,

/.BD=DC=4,

vOD=OP=2.

/.oc6.

•.•PC是。。的切线，。为圆心,

:.乙OPC=90°.

在R3OPC中，

由勾股定理，得

OC2=OP2+PC2

/.PC2=OC2-OP2

=62—22

-"-PC=4V2.

【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一的性质可得ADLBD,再结合B