2024-2025学年高考数学一轮复习讲义：复数（学生版+解析）

第05讲复数

目录

第一部分：基础知识..................................................1

第二部分：高考真题回顾.............................................3

第三部分：高频考点一遍过...........................................3

高频考点一：复数的概念..........................................3

高频考点二：复数的几何意义......................................4

高频考点三：复数分类............................................5

高频考点四：复数模..............................................6

高频考点五：待定系数求复数2=。+次................................6

高频考点六：复数的四则运算......................................7

高频考点七：共辗复数............................................7

第四部分：新定义题(解答题).......................................8

第一部分：基础知识

1、复数的概念

我们把形如a+bi,a,beR的数叫做复数,其中，叫做虚数单位,满足『=-1.全体复数所构成的集合

C={a+bi\a,b&R}叫做复数集.

复数的表示:复数通常用字母z表示，即z=a+bi,a,beR,其中的。与万分别叫做复数z的实部与虚

部.

2、复数相等

在复数集C={a+初中任取两个数。+初，c+di,(a,b,c,de7?),我们规定

\a=c

a+bi=c+dio<

b=d

3、复数的分类

对于复数a+bi（a,beR）,当且仅当b=0时,它是实数；当且仅当。=6=0时，它是

实数0；当b/O时，它叫做虚数；当a=0且bwO时，它叫做纯虚数.这样，复数

z=a+bi(a,beR)可以分类如下:

'实数（6=0）

复数纯虚数（a=0）

虚数（6彳0）<

非纯虚数（awO）

4、复数的几何意义

（1）复数的几何意义一一与点对应

复数的几何意义1：复数z=a+bi（a,bwR）<---对应.复平面内的点Z（a,6）

（2）复数的几何意义一一与向量对应

复数的几何意义2：复数z=a+6（a/eR）、一一对应，平面向量次二（a,6）

5、复数的模

向量区的模叫做复数z=。+初a力eH）的模，记为|z|或|a+加

公式：|zHa+初|="?2+/,其中a/eR

复数模的几何意义：复数z=a+6在复平面上对应的点Zm,6）到原点的距离；

特别的，6=0时，复数z=a+初是一个实数，它的模就等于|a|（a的绝对值）.

6、共物复数

（1）定义

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共聊复数；虚部不等于0的两

个共轨复数也叫共辗虚数.

（2）表示方法

表示方法：复数z的共辗复数用％表示，即如果z=a+初，则三加万.

7、复数代数形式的加法（减法）运算

（1）复数的加法法则

设马=。+历，z2=c+di,（a,4c,deR）是任意两个复数，那么它们的和：

Zj+z2=（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（c+d）i

显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数

（2）复数的减法法则

类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：

（c+力）+（x+yi）=a+方的复数x+yi叫做复数a+初减去复数c+龙的差，记作（a+初）-（c+成）

实部相减为实部

（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i

IIT

虚部相减为虚部

注意：①两个复数的差是一个确定的复数；

②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.

第二部分：高考真题回顾

1.（2023•北京•统考高考真题）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（一1,百），贝”的共轨复数彳=（）

A.1+后B.1-V3i

C.-1+-J31D.-1—

2.（2023•全国•（乙卷文））2+i2+2i3=()

A.1B.2c.75D.5

5(l+『)

3.（2023•全国•（甲卷文））=()

(2+i)(2-i)

A.-1B.1C.1-iD.1+i

1-i

4.（2023•全国•（新高考I卷））己知z=TK，则z—1=()

2+21

A.-iB.iC.0D.1

5.（2023•全国•（新高考II卷））在复平面内，（l+3i）（3-i）对应的点位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：复数的概念

典型例题

例题1.（2024下•上海•高三开学考试）下列命题不正确的为（）

A.若复数Z-Z2的模相等，贝”一z?是共轨复数

B.4，句都是复数，若w+均是虚数，则均不是Z2的共辗复数

C.复数是实数的充要条件是z=2

D.zeC,|z+i|+|z-i|=2,贝心对应的点z的轨迹为线段

例题2.（多选）（2024上•云南昆明•高二统考期末）已知复数z=±二二，则下列说法正确的是（）

A.z的虚部为tB.复数z在复平面内对应的点位于第二象限

C.z的共辗复数N=i+iD.|z|=V2

练透核心考点

1.（2024上•广东深圳•高三统考期末）复数（2+i）3的实部与虚部之和是（）

A.7B.13C.21D.27

2

2.（2024下.高一单元测试）已知复数2=丁一

①在复平面内z对应点的坐标为（1,—1）;

②复数的虚部为-i;

③复数的共朝复数为i-l;

④|z|=0;

⑤复数z是方程d-2x+2=o在复数范围内的一个根.

以上5个结论中正确的命题个数为（）

A.1B.2C.3D.4

高频考点二：复数的几何意义

典型例题

例题1.（2024下•全国•高一专题练习）"0<7"<1'"是"复数2=（3力2-2）+（m-1》在复平面内对应的点位于

第四象限"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

例题2.（2024上•四川成都•高三树德中学校考期末）在复平面内，复数百，z?对应的点分别是（2,-1）,（1,-3）,

则久的模是（）

zi

A.5B.y/5C.2D.后

例题3.（多选）（2024•湖南长沙•长沙一中校联考模拟预测）已知复数4，z,在复平面上对应的点分别为

4,B,且。为复平面原点若.Z1=3+』i（i为虚数单位），向量次绕原点逆时针方向旋转90。，且模伸

122

长为原来的2倍后与向量而重合，则（）

A.zZ的虚部为在B.点8在第二象限

2

C.|ZJ+Z2|=A/2D.—=2

zi

练透核心考点

3

1.（2024上•广东佛山•高三石门中学校考期末）复数z=」;一在复平面内所对应的点位于（）

1-2i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.（多选）（2024下•高一单元测试）关于复数，下列说法错误的是（）

A.若目=1,贝!|z=±l或土i

B.复数6+5i与-3+4i分别对应向量两与瓦，则向量通对应的复数为9+i

C.若z是复数，贝暇2+1>0

D.若复数z满足14忖<应，则复数z对应的点所构成的图形面积为兀

3.（2024•全国•高一假期作业）复平面上两个点Z>Z2分别对应两个复数%Z2,它们满足下列两个条件：

①zz=z「2i；②两点Z「Z?连线的中点对应的复数为3+4i,若。为坐标原点，则△Z0Z?的面积为

高频考点三：复数分类

典型例题

例题L（2024上•河北廊坊・高三河北省文安县第一中学校联考期末）若复数尹篇（aeR）为纯虚数，贝

1—1

（）

A.-1B.0C.1D.2

例题2.（2024下•全国•高一专题练习）复数z=（l+i）w?-（8+i）m+15-6i（meR）,求实数机的取值范围使

得：

（l）z为纯虚数；

（2）z在复平面上对应的点在第四象限.

高频考点四：复数模

典型例题

例题L（2024•福建漳州•统考模拟预测）已知复数有,zZ满足4+2司=-3-i,%-zj=l,则％+2i|的

最大值为.

例题2.（2024・全国•高三专题练习）已知复数z满足卜+词+卜-词=4,则|z-i|的最大值是.

例题3.（2024•全国•高三专题练习）在复平面内，已知复数z满足|z|=l,i为虚数单位，贝Ulz-3-4i|的最

大值为.

练透核心考点

1.（2024•天津滨海新•高三天津市滨海新区塘沽第一中学校联考期末）已知2=（〃7+1）+（2-m）1是纯虚数（其

中小eR,i是虚数单位）,则殳@=;

Z

2.（2024•全国•高一假期作业）若zeC,且满足|z+l-i|=l,则|z-1-i|的最大值为.

3.（2024•全国•高一假期作业）设复数4、z2,满足㈤=|zJ=l,则忸+22卜.

高频考点五：待定系数求复数z=a+bi

典型例题

例题1.（2024・全国•高一假期作业）设复数4、z2,满足闻=闯=1,4—&=有,则k+z1=.

例题2.（2024•全国•高三专题练习）满足z2©R,|z-i|=l的一个复数z=.

练透核心考点

1.（2024•全国•高一假期作业）若复数4和复数Z2满足㈤=1,闫=1,|z+zj=l,则一.

Z]—z2

2.（2024•全国•高三专题练习）在复平面内，已知复数z满足|z|=l,i为虚数单位，则|z-3-4i|的最大值

为.

高频考点六：复数的四则运算

典型例题

例题1.（2024•湖南邵阳•统考一模）下列各式的运算结果不是纯虚数的是（）

A.(1+i)2B.(1-i)2

1-i

C.D.(1+i)4

1+i

例题2.（2024上•贵州遵义•高二统考期末）若z=l+i,则|z+~i|=（）

A.2B.1C.0D.2A/2

例题3.（2024・全国•高一假期作业）设复数4、z2,满足㈤=闫=1,z「z『6i,贝电1+z?|=.

练透核心考点

1.（2024上•浙江湖州•高三统考期末）已知复数z满足（z-l）i=4+3i（i为虚数单位），贝|z+N=（）

A.8B.6C.-6D.-8

2.（2024•全国•模拟预测）若z=4",则彳等于（）

1-1+1

A.4+3iB.4-3iC.-4+3iD.-4-3i

3.（2024•全国•高三专题练习）复数2=1+方+312+...+202212°21+202312022的虚部为.

高频考点七：共辗复数

典型例题

例题1.（2024上•浙江湖州•高三统考期末）已知复数z满足（z-l）i=4+3i（i为虚数单位），贝lJz+5=（）

A.8B.6C.-6D.-8

例题2.（2024上•四川成都・高三树德中学校考期末）在复平面内，复数Z1,z?对应的点分别是（2,-1）,（1,-3）,

则三的模是（）

4

A.5B.6C.2D.0

例题3.（2024上•天津•高三校联考期末）设z="2+4i+i,贝”的共轨复数为_______.

1+1

练透核心考点

1.(2024•陕西宝鸡•统考一模)己知复数2=匕噌，2为z的共辗复数，则|z|-彳在复平面表示的点在()

1+V3i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

1-

2.(2024•全国•模拟预测)已知复数z=l—i,则——z=()

z

AA/2rVio_3A/2n3M

2222

.f731^1z

3.(2024•全国•高三专题练习)在复平面内，复数z对应的点为,则三=_________.

I2z

第四部分：新定义题(解答题)

1.(2024下•浙江丽水•高三校考开学考试)数学中的数，除了实数、复数之外，还有四元数.四元数在计

算机图形学中有广泛应用，主要用于描述空间中的旋转.集合H={d+ai+何+ck|a,6cdeR}中的元素

a=d+ai+何+ck称为四元数，其中订，人都是虚数单位，d称为a的实部，ai+何+ck称为a的虚部.两个

四元数之间的加法定义为(4+(4+bxi+qk)+(rf2+o2i+b2]+c2k)=(rf,+<72)+(a1+a2)i+(/?1+/?2)j+(q+c2)k.

两个四元数的乘法定义为：ij=-ji=k,jk=-©=i,ki=-ik=j"2=f=k2=-1,四元数的乘法具有结合律，且

乘法对加法有分配律.对于四元数。，若存在四元数月使得a6=Qa=l,称夕是。的逆，记为夕=.实

部为0的四元数称为纯四元数，把纯四元数的全体记为W.

(1)设a,6,c,deR,四元数夕=d+ai+何+ck.记a*=d-ai-bj-ck表示"的共辗四元数.

(i)计算(W；

(ii)若a*0,求aT；

(iii)若awO/eW,证明：a/3a'eW；

⑵在空间直角坐标系中，把空间向量a=(a/,c)与纯四元数£=0+何+ck看作同一个数学对象.设

a,/?wW,7=：(a/3-/3a).

Ci)证明：yeW；

(ii)若a，£是平面X内的两个不共线向量，证明：7是X的一个法向量.

第05讲复数

目录

第一部分：基础知识.................................................9

第二部分：高考真题回顾.............................................11

第三部分：高频考点一遍过...........................................12

高频考点一：复数的概念..........................................12

高频考点二：复数的几何意义......................................14

高频考点三：复数分类............................................17

高频考点四：复数模.............................................21

高频考点五：待定系数求复数2=。+次..............................23

高频考点六：复数的四则运算.....................................25

高频考点七：共辗复数...........................................27

第四部分：新定义题(解答题)......................................28

第一部分：基础知识

1、复数的概念

我们把形如a+初,的数叫做复数,其中/叫做虚数单位,满足『=—1.全体复数所构成的集合

C={a+bi\a,b^R}叫做复数集.

复数的表示:复数通常用字母z表示，即z=a+bi,eR,其中的。与b分别叫做复数z的实部与虚

部.

2、复数相等

在复数集C={a+初|a力eR}中任取两个数。+方，c+di,(a,b,c,de7?),我们规定

a=c

a+bi=c+dio<

b=d

3、复数的分类

对于复数a+bi(a,bwR),当且仅当匕=0时,它是实数；当且仅当a=b=0时，它是

实数0；当bwO时，它叫做虚数；当a=0且b/0时，它叫做纯虚数.这样，复数

z=a+bi(a力eR)可以分类如下:

'实数(6=0)

复数纯虚数(a=0)

虚数"00)<

非纯虚数(awO)

4、复数的几何意义

(1)复数的几何意义一一与点对应

复数的几何意义1：复数z=a+初(a/eR)工---对应，.复平面内的点Z(a,6)

(2)复数的几何意义一一与向量对应

复数的几何意义2：复数z=a+bi(a,beR)«一一对应，平面向量。2=(a,勿

5、复数的模

向量反的模叫做复数z=a+6a/eR)的模，记为|z|或|a+加

公式：\z\=\a+bi\=y/a2+b2>其中

复数模的几何意义：复数z=a+6在复平面上对应的点Z(a,6)到原点的距离；

特别的，6=0时，复数z=a+初是一个实数，它的模就等于IaI(。的绝对值).

6、共朝复数

(1)定义

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共朝复数；虚部不等于0的两

个共辗复数也叫共辗虚数.

(2)表示方法

表示方法：复数z的共朝复数用I表示，即如果z=a+初，则三="江

7、复数代数形式的加法(减法)运算

(1)复数的加法法则

设％=。+历，z2=c+di,(a,dc,deR)是任意两个复数，那么它们的和：

Zj+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(c+d)i

显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数

(2)复数的减法法则

类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：

(c+力)+(x+yi)=a+4的复数x+yi叫做复数a+bi减去复数c+龙的差，记作(«+bi)-(c+di)

实部相减为实部

III

m+b/)-(c+M=(a-c)+(b-(f)i

IIT

虚部相减为虚部

注意：①两个复数的差是一个确定的复数；

②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.

第二部分：高考真题回顾

1.(2023•北京•统考高考真题)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(一1,6),贝”的共轨复数2=()

A.1+后B.1-®

C.一1+后D.-1-731

【答案】D

【分析】根据复数的几何意义先求出复数z,然后利用共软复数的定义计算.

【详解】z在复平面对应的点是(_1,由)，根据复数的几何意义，z=-l+G，

由共轨复数的定义可知，3=-1-8.

故选：D

2.(2023•全国•(乙卷文))|2+i2+2i3|=()

A.1B.2C.75D.5

【答案】C

【分析】由题意首先化简2+i?+2i3,然后计算其模即可.

【详解】由题意可得2+i?+2i3=2—l—2i=l—2i，

贝“2+i2+2i3卜|1_2i|=Jr+(_21=下.

故选：C.

5(l+i3)

3.(2023•全国•(甲卷文))--=()

(2+i)(2-i)

A.-1B.1C.1-iD.1+i

【答案】C

【分析】利用复数的四则运算求解即可.

5(1+尸)5(Ji)].

【详解】

(2+i)(2-i)5

故选：c.

4.（2023•全国•（新高考I卷））己知z=±L,则z-I=（）

2+21

A.-iB.iC.0D.1

【答案】A

【分析】根据复数的除法运算求出z,再由共辗复数的概念得到/从而解出.

1-i-2i1-1

【详解】因为z=---------=4—，=——=——i,所以z=±i,即z-1=—i.

2+2i2（l+i）（l-i）422

故选：A.

5.（2023•全国•（新高考II卷））在复平面内，（l+3i）（3-i）对应的点位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.

【详解】因为（l+3i）（3—i）=3+8i—3i?=6+8i,

则所求复数对应的点为（6,8）,位于第一象限.

故选：A.

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：复数的概念

典型例题

例题1.（2024下•上海•高三开学考试）下列命题不正确的为（）

A.若复数百，z?的模相等，则均，z?是共软复数

B.4，Z2都是复数，若4+z?是虚数，则4不是Z2的共辗复数

C.复数是实数的充要条件是z=N

D.zeC,|z+i|+|z-i|=2,贝1对应的点z的轨迹为线段

【答案】A

【分析】根据共轨复数的定义可判断ABC,根据复数的几何意义可判断D.

【详解】对于A,若复数4，Z2的模相等，贝z?还可能是相等的复数，故A错误;

对于B,若4和Z2是共轨复数，则相加为实数，不会为虚数，故B正确；

对于C,若复数是实数，则2=。（诏2,从而N=a（aeR）,所以z=2,

反之若z=N,则由a+历=a—历(a,Z?£R)得6=0,所以z=〃，

所以复数是实数的充要条件是z=N,故C正确；

对于D,设2=々+人i(a,Z?eR),

由复数的几何意义可知|z+i,|z-i|=2表示点3加到点(0,-1)和(0,1)距离之和为2,

而点(0,-1)和(0,1)之间距离为2,所以z对应的点Z的轨迹为线段，故D正确.

故选：A

4-2i

例题2.(多选)(2。24上•云南昆明•高二统考期末)已知复数z=U'则下列说法正确的是()

A.z的虚部为tB.复数z在复平面内对应的点位于第二象限

C.z的共轨复数三=i+iD.|z|-V2

【答案】CD

【分析】由复数的乘、除法运算化简复数可判断A；由复数的几何意义可判断B；由共辗复数的定义可判断

C；由复数的模长公式可判断D.

4-2i（4-2i）（3-i）12-10i+2i2

【详解】z二------------

3+i（3+i）（3-i）-W

对于A,z的虚部为_i,故A错误；

对于B,复数z在复平面内对应的点为(L-l),位于第四象限，故B错误;

对于C,z的共轨复数1=i+i，故C正确；

22

对于D,|z|=^l+(-l)=A/2,故D正确.

故选：CD.

练透核心考点

1.(2024上•广东深圳•高三统考期末)复数(2+评的实部与虚部之和是()

A.7B.13C.21D.27

【答案】B

【分析】根据复数的运算求解即可.

【详解】因为(2+i)3=(4+4i+i2)(2+i)=(3+4i)(2+i)=6+3i+8i+4i2=2+Hi,

所以复数(2+讲的实部与虚部之和是2+11=13,

故选：B.

2

2.(2024下.高一单元测试)已知复数2=不一

①在复平面内Z对应点的坐标为(1,-1);

②复数的虚部为-i;

③复数的共软复数为i-l;

④|z|=@

⑤复数Z是方程无2一2x+2=o在复数范围内的一个根.

以上5个结论中正确的命题个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】利用复数除法运算求得z=l-i,根据复数在复平面内对应的点的坐标判断①的正误，根据复数的

概念判断②的正误，根据复数的共轨复数可以判断③的正误，根据复数模的概念判断④的正误，利用方

程在复数范围内求解判断⑤的正误.

【详解】因为z=32(1-i)

=l-i,

(l+i)(l-i)

所以在复平面内z对应点的坐标为（1,-1）,所以①正确;

复数z的虚部为T,所以②错误；

复数Z的共朝复数为1+i,所以③错误；

国=#+（-1）2=0,所以④正确；

方程V_2x+2=0在复数范围内的根为左土i,

2

所以复数z是方程炉―2%+2=0在复数范围内的一个根，所以⑤正确;

所以正确的命题个数为3个，

故选：C.

高频考点二：复数的几何意义

典型例题

例题1.（2024下•全国,高一专题练习）"0＜小＜：'是"复数Z=（32）+（m-l）i在复平面内对应的点位于

第四象限"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】求出复数Z=（3m-2）+（利-l）i在复平面内对应的点位于第四象限的等价条件，利用集合的包含关

系及充分条件、必要条件求解.

/、/、f3m-2＞02

【详解】因为复数Z=（3相-2）+（相-l）i在复平面内对应的点位于第四象限=

42

ffu0<m<-成立推不出§<加<1成立,

33

所以0<g是复数Z=（3祇-2）+（利-l）i在复平面内对应的点位于第四象限的必要不充分条件,

故选：B

例题2.（2024上•四川成都・高三树德中学校考期末）在复平面内，复数4，z?对应的点分别是（2,-1）,（1,-3）,

则生的模是（）

4

A.5B.75C.2D.y/2

【答案】D

【分析】由复数对应的点求出复数的代数形式，利用共轨复数和复数的除法化简，模长公式求模.

【详解】复平面内，复数z-Z2对应的点分别是（2,-1）,（1,-3）,

^_l+3i_(l+3i)(2+i)17

则有Z]=2-i,z=1-3i,z2=1+3i,---=-------=------------------=------1---]

2Z|2-i(2-i)(2+i)55

故选：D

例题3.（多选）（2024•湖南长沙•长沙一中校联考模拟预测）已知复数句，句在复平面上对应的点分别为

A,B,且。为复平面原点若.4=必+工1（i为虚数单位），向量市绕原点逆时针方向旋转90。，且模伸

长为原来的2倍后与向量砺重合，则（）

A.Z2的虚部为且B.点B在第二象限

2

C.\ZX+Z2\=42D.—=2

Z]

【答案】BD

【分析】结合复数的几何意义，依题意求解出对应的坐标，然后逐项判断即可；

【详解】因为4=3+工3

所以4对应的坐标为㈤=1,

122

£

DX向量与x轴夹角为e，tane=-^r=g,e=5,

A/33o

~T

由题意可知，闫=2,且03=21cos[e+e}sin[e+Qj]=,选项B正确；

22=—1+^3i»z2的虚部为退，选项A错误；

ZI+Z2=等一l+，+jf|i,所以|Z|+Z2|=J（?-J+1+石]=小,选项c错误；

Z2告-=2,选项D正确；

4

故选：BD.

练透核心考点

1.（2024上•广东佛山•高三石门中学校考期末）复数z=」一在复平面内所对应的点位于（）

l-2i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】根据复数的乘法和除法以及几何意义求解即可.

-i-i（l+2i）21.（21、

[详解】因为2=；7=/[，、八；.、=£一工1,所以复数z在复平面内所对应的点工,-9位于第四象限，

1-21（1-21）（1+21）55<55J

故选：D.

2.（多选）（2024下•高一单元测试）关于复数，下列说法错误的是（）

A.若目=1,贝！Jz=±l或土i

B.复数6+5i与-3+4i分别对应向量方与砺，则向量项对应的复数为9+i

C.若Z是复数，则z2+l>0

D.若复数z满足1<目<0,则复数z对应的点所构成的图形面积为兀

【答案】ABC

【分析】对于A,结合特殊值法，即可求解；对于B,结合向量的运算法则，即可求解；对于C,结合特

殊值法，即可求解；对于D,结合复数的几何意义，即可求解.

【详解】对于A,取z=；+孝i,则目=1,故A错误；

对于B,AB=OB-OA=-3+4i-（6+5i）=-9-i,B错误；

对于C,取2="但i2=-122+1=0知C错误；

对于D,设复数z=x+M(x,yeR),则由IV目<0可知iwY+y?<2,

故复数z对应的点所构成的图形面积为兀x2-兀xl=jt,D正确.

故选：ABC.

3.(2024•全国•高一假期作业)复平面上两个点Z1,Z?分别对应两个复数4名，它们满足下列两个条件：

①Zz=z「2i；②两点Z”Z2连线的中点对应的复数为3+4i,若。为坐标原点，则△ZQZ2的面积为

【答案】20

【分析】设Z|=a+〃(a,beR),根据复数的运算及集合意义可得点Z”Z?的坐标，再根据中点坐标公式列方

程求得的值，从而可得向量西，区的坐标，根据向量的坐标运算确定模长与角度，从而得△Z0Z?的

面积.

【详解】设z=a+bi(a,6eR),

则z2=4•2i=(〃+历)•2i=—2b+2ai.

所以点Z1,Z2的坐标分别为Z[(a,b),Z2(-2b,2a)

又两点Z”Z2连线的中点对应的复数为3+4i,

又鬲=(a,b),区=(-26,2A),

OZ；-OZ2=0,:.OZ；J_OZ2

:.^ZtOZ2的面积为S=1X2^X4A/5=20.

故答案为：20.

高频考点三：复数分类

典型例题

例题1.(2024上•河北廊坊・高三河北省文安县第一中学校联考期末)若复数;为纯虚数，贝

()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】A

【分析】利用复数的除法运算法则以及纯虚数的定义求解.

【详解】因1+ai为1+ai(+i+1)(Li)=++2—l)Ji为纯虚数,

+1=0,

所以|八解得a=-l,

[〃一1w0,

故选：A.

例题2.(2024下•全国•高一专题练习)复数z=(l+i)〃/-(8+i)机+15-6i(meR),求实数机的取值范围使

得：

(l)z为纯虚数；

(2)z在复平面上对应的点在第四象限.

【答案】⑴加=5

(2)-2<m<3

【分析】(1)根据Z为纯虚数，列出方程，即可求解；

(2)根据z在复平面上对应的点在第四象限，列出不等式组，即可求解；

【详解】(1)z=(1+i)根2—(8+i)机+15—6i=(根2—8根+15)+(m?—加—6)i,

加2—8加+15=0

若Z为纯虚数，贝IJ2…，解得：相=5.

m-m-o0

,_.,[m2-8m+15>0

(2)由题思知，<2，解得：

[m-m-6<0

例题3.(2023下•河北唐山•高一校联考期中)己知6eR,a>0,复数z=a+历，且目=出，复数z(l+i)

在复平面上对应的点在函数y=-3x的图像上.

(1)求复数z；

(2)若z-币(加eR)为纯虚数，求实数机的值.

【答案】⑴z=l+2i

(2)2

【分析】(1)利用复数的四则运算，得到z(l+i)=a-A+(a+A)i,再根据条件得到b=2a,又由题设知

a2+b2=5,从而求出a力得到结果；

(2)利用(1)中的结果和复数的除法，再结合条件即可求出结果.

【详解】(1)因为z=“+历(a,6eR),

所以z(l+i)=(a+/ziXl+i)=4+ai+bi-/?=a-/?+(a+b)i,对应的点为(a-b,a+6),

所以a+6=-3(a-6),得至！Jb=2a,又目=若，

所以"+62=5,又。>0,

由卜?5,解得＜2=1,6=2,

[b=2a

所以z=l+2i.

(2)由(1)知，z=l+2z,

，-，-2m,、wz(l-i),mm、.

所以z--=l+2i——--=1-—+(2+—)i,

l+i222

T。

故，得到m=2.

2+—。0

2

练透核心考点

1.（2024•天津滨海新•高三天津市滨海新区塘沽第一中学校联考期末）已知z=（〃?+l）+（2-7W）i是纯虚数（其

中,”eR,i是虚数单位）,则空出=

【答案】亚

【分析】根据实部为0虚部不为0,解方程可得复数，进而根据复数的除法运算计算模长即可.

【详解】由题思｛,解得m=-1,「.z=3i,

2-m^0

6+3i_6+3i

z3i

故答案为：A/5.

2.（2024•全国•高一假期作业）已知复数z满足忖=5.

（1）若（4+3i>z是实数,求复数z；

7

（2）求］+2-i的取值范围.

【答案】（1）复数z=4-3i或T+3i；（2）|-V5,|+V5

【分析】（1）利用实数概念及模长，即可得到复数z；

（2）利用点与圆的位置关系，即可得到取值范围.

【详解】（1）设2=。+力，a、beR,则々2+02=25,

又（4+3i）・z=4〃-3Z?+（3Q+4Z?）i是实数，

3a+4b=0,又/+/=25,

Q=4,b=—3或1=-4,匕=3,

复数z=4—3i或T+3i；

(2)=-|z-(-4+2i)|

2

|z-(T+2i)|表示复数z对应的点与T+2i对应的点A间的距离,

而复数z在以原点为圆心，半径为5的圆上,

如图所示,

y/k

4

3

2

1

.O

2

一3

■4

■

3.(2024下•全国•高一专题练习)已知机ER,复数z=(l+i)加-(5i+3)加-(4+6i),当用为何值时,

(1)2为实数？

(2)z为虚数？

(3)z为纯虚数？

(4)z在复平面内对应的点在第四象限？

【答案】(1)根=6或机=一1(2)加。6且相。一1(3)m=4(4)4<m<6

【分析】由题意得解得z=(加一34)+(疗-5根-6)1,

(1)由苏-5m-6=0,求出m即可；

(2)m2-5m-6w0,即可得出m；

(3)由