中考数学专项复习：矩形中的综合

专题1.2矩形中的综合

典例精析

【典例1】在矩形N5C。中，AB=3,BC=4,E,尸是对角线NC上的两个动点，分别从N,C同时出发相

向而行，速度均为1c加/s,运动时间为t秒，0</<5.

(1)若G,X分别是N2,。。中点，试说明：四边形EGEH为平行四边形;

(2)在(1)的条件下，当，为何值时，四边形EGF”为矩形.

【思路点拨】

(1)证明咨△C£7/(S/S),得GF=HE,同理G£=HF,即可得出结论；

(2)由“对角线相等的平行四边形是矩形“得£F=G〃，再证四边形/G7TO是平行四边形，得GH=BC=4,

然后分两种情况分别求出/的值即可.

【解题过程】

(1)证明：・・•四边形45CZ)是矩形,

：.AB=CD,AB//CD,AD//BC,NB=90。,

:・/GAF=/HCE,

,:G、女分别是45、QC的中点,

：.AG=BG,CH=DH,

:.AG=CH,

•：AE=CF,

：.AF=CE,

在△4FG与△C£H中，

AG=CH

^GAF=乙HCE

AF=CE

MAFG必CEH(SAS),

GF=HE,

同理：GE=HF,

，四边形EGFH是平行四边形.

(2)解：：四边形/BCD是矩形，

/B=9Q°,

.'.AC—y/AB2+BC2—V32+42=5,

由(2)可知四边形EGF77是平行四边形，

连接G，，

:点G、〃分别是矩形的边/8、。。的中点，

：.AG=DH,AG//DH,

...四边形是平行四边形，

：.GH=BC=4,

当斯=G8=4时，四边形EGFH是矩形，分两种情况:

①如图1,

图1

AE=CF=t,

则防=5-2/=4,

解得：£=0.5；

②如图2,

图2

AE=CF=tf

则EF=5-2(5-?)=4,

解得：t=4.5；

综上所述，当/为0.5或4.5时，四边形EGFH为矩形.

学霸必刷

1.（2021•富平县二模）如图，点。是菱形45CD对角线的交点，DE//AC,CE//BD,连接OE,设NC=

12,BD=\6,则。£的长为（）

【思路点拨】

由菱形的性质和勾股定理求出CD=10,再证出平行四边形。为矩形，得O£=CZ）=10即可.

【解题过程】

解：'：DE//AC,CE//BD,

：.四边形OCED为平行四边形，

:四边形/BCD是菱形，AC^12,BD=16,

11

C.ACLBD,O/=OC="C=6,08=0D=拜）=8,

NDOC=90°,CD=VOC2+OD2=V62+82=10,

平行四边形OCED为矩形，

：.OE=CD=W,

故选：C.

2.（2021春•武安市期末）如图，四边形N5CD中，以对角线/C为斜边作RtZX/CE,连接BE、DE,BE工DE,

AC,3。互相平分.若2AB=BC=4,则AD的值为（）

B

A.2V5B.V5C.3D.4

【思路点拨】

连接。£,由/C,3。互相平分得出四边形48CD是平行四边形，由直角三角形斜边上的中线性质推出4C

=BD,则四边形/BCD是矩形，再由勾股定理即可得出结果.

【解题过程】

解：连接。£,如图所示：

..AB=2,

'.'AC,8。互相平分，

J.OA^OC,OB=OD,四边形/BCD是平行四边形，

:以NC为斜边作Rt/XACE,

：.OE=OA=OC=^AC,

•；BELDE,

：.OE=OB=0D=^BD,

：.AC=BD,

二四边形/BCD是矩形，

：.AD=BC=4,ZBAD=90°,

：.BD=7AB2+力£）2=V22+42=2而，

故选：A.

3.（2020春•江津区期中）如图，四边形/BCD,Z£>=ZC=90°,CO=2,点E在边48,且/。=/£,

BE=BC,则/QBE的值为（

D

lV21

A.V2B.1C.—D.一

22

【思路点拨】

过/作HFUBC于B,推出四边形//CD是矩形，得到/b=CD=2,CF=AD,ikAD=AE=x,BE=BC

=y,根据勾股定理即可得到结论.

【解题过程】

解：过/作ZnL8C于尸，

二四边形/尸CD是矩形，

：.AF=CD=2,CF=AD,

T^AD=AE—X,BE—BC=y,

^.AB=x+y,BF=y-x,

*：AB2=AF2+BF2,

(x+y)2=(y-x)2+22,

••xy—~1,

：・AE・BE=1,

故选：B.

4.(2021嗨桥区模拟)如图，在矩形/BCD中，42=10,尸是CD边上一点，M、N、E分别是我、PB、

Z5的中点，以下四种情况，哪一种四边形PMEN不可能为矩形()

A.AD=3B.AD=4C.AD=5D.AD=6

【思路点拨】

先证四边形PA/EN是平行四边形，当N4P2=90°时，四边形PMEN是矩形，设。P=x,CP=10-x,再由

勾股定理得出方程，分别计算即可.

在证得平行四边形后，连接尸£,分别是E4、尸2的中点，是的中位线，

=5,若四边形尸MEN是矩形，则P£=MN=5,而当/。=6时，尸£不可能等于5

【解题过程】

解：方法1：：四边形/BCD是矩形，

：.AD=BC,AB=CD=10,ZC=ZZ)=90°,

,:M、N、E分别是F4、PB、的中点，

:.ME、NE是△48尸的中位线，

J.ME//BP,NE//AP,

二四边形PMEN是平行四边形，

当N4尸5=90。时，四边形PMEN是矩形，

设。尸=x,CP=10-x,

由勾股定理得：AP2=AD2+X2,BP2=BC2+(10-X)2,AP2+BP2=AB2,

：.AD1+x1+AD1+(10-x)2=1()2,

AD2+^-10x=0,

①当/。=3时，/-10x+9=0,

x=l或x=9,符合题意；

②当AD=4时，x2-10x+16=0,

x=2或x=8,符合题意；

③当AD=5时，x2-10x+25=0,

x=5,符合题意；

④当4D=6时，/-10x+36=0,无解；

故选：D.

方法2：

由方法1得：四边形PMEN是平行四边形，

:M、N分别是E4、尸8的中点，

:.MN是丛PAB的中位线，

1

：.MN^jAB=5,

若四边形PMEN是矩形，则PE=ACV=5,

而当AD=6时，尸£不可能等于5,

.•.当/。=6时，四边形PMEN不可能为矩形，

故选：D.

5.（2021春•梁山县期中）如图，在Rt^NBC中，NA4c=90。，AB=5,AC=12,尸为边8C上一动点（尸

不与2,C重合），PELABE,PFLAC^-F,M为斯中点，则的取值范围是（）

A.—<AM<6B.—<AM<12C.—<AM<12D.一<AM<6

551313

【思路点拨】

证明四边形/£尸尸是矩形，得EF=AP,再由直角三角形斜边上的中线性质得/河=芳1尸=?1％,然后求出

发的最小值可得/加■的最小值，又由4PC/C,即可求得的取值范围.

【解题过程】

解：如图，连接口,

在RtZk/BC中，ZBAC=90°,AB=5,AC=12,

：.BC=y/AB2+AC2=V52+122=13,

■:PE上AB于E,PFLACF,

：.NPEA=ZPFA=ZEAF=90°,

二四边形厂是矩形，

：.EF=AP,

为E尸中点，

11

：.AM=湃=汐，

当时，刃=券羿=当中=瑞，

30

•\AM的最小值为三，

U：PA<AC,

：.PA<\2,

：.AM<6,

30

・•・一<AM<6,

13

故选：D.

6.（2021春•十堰期末）如图，在口45C。中，对角线4C、助相交于点。，且CM=OD,ZOAD=55°,

则NCU5的度数为35。.

【思路点拨】

根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质求出NLM8,代入/O4B=/Q4B—/O4Q求出

即可.

【解题过程】

解：：四边形A8CD是平行四边形，

：.OA=OC,OB=OD,

"JOA^OD,

：.AC=BD,

，四边形/BCD是矩形，

，ZDAB=90°,

"：ZOAD=55°,

：.ZOAB=ZDAB-ZOAD=35°,

故答案为：35°.

7.（2020春•石城县期末）如图，在矩形48CD中，AB=4cm,4D=12cm,点尸从点/向点D以每秒lev”

的速度运动，0以每秒4c加的速度从点C出发，在8、。两点之间做往返运动，两点同时出发，点尸到达

点。为止（同时点。也停止），这段时间内，当运动时间为2.4s或4s或7.2s时,P、0、C、。四点组

成矩形.

4产-------------

B-----------------£—C

【思路点拨】

根据已知可知：当点尸到达点。时，点。将由C-8-C-3-C运动，根据矩形的性质列方程即可得到结

论.

【解题过程】

解：根据已知可知：当点尸到达点。时，点。将由运动，

・・•四边形是矩形，

：.AD//BC,ZD=90°,

C.PD//CQ,

若产。=。。，则四边形/尸。5是矩形，

由题意得DP=12-6

当00区3时，CQ=4312-t=4t,

.\t=2A(s),

当3＜云6时，C°=24-4f,12-7=24-47,

.,.t—4(5),

当6〈云9时，CQ=4「24,12-t=4t-24,

；"=7.2(s)；

当9＜合12时，CQ=48-4312-r=48-At,

；"=12(s),此时PQ与重合，无法构成矩形，故舍去，

故答案为：2.4s或4s或7.2s.

8.(2021春•川汇区期末)如图，在矩形/BCD中，E,尸分别是边N5,/D上的动点，尸是线段所的中

点，PGLBC,PH1CD,G,“为垂足，连接G〃.若N8=8,AD=6,EF=6,则的最小值是7.

【思路点拨】

连接NC、4P、CP,由勾股定理求出/C=10,再由直角三角形斜边上的中线性质得4P=3,然后证四边形

PGCH是矩形,得GH=CP,当/、P、C三点共线时，C尸最小=NC-NP=10-3=7,即可求解.

【解题过程】

•.•四边形是矩形，

:.BC=4D=6,ZBAD=ZB=ZC=90°,

；./C=7AB2+BC2=V82+62=10,

是线段防的中点，

1

：.AP=^EF=3,

VPG±5C,PHLCD,

：.ZPGC=ZPHC=90°,

，四边形尸GC"是矩形,

:.GH=CP,

当/、P、C三点共线时，C尸最小=NC-/尸=10-3=7,

.•.G8的最小值是7,

故答案为：7.

9.(2021秋•龙岗区校级期中)如图，点/(0,4)，点、B(3,0)，点尸为线段上一个动点，作

36

轴于点M,作PNLx轴于点N,连接MN,当MN取最小值时，则PN为

【思路点拨】

连接。尸，易得四边形0Mo河是矩形，得OP=MN,当。尸，时。尸最短，即AW最小，再由勾股定理与

三角形的面积求出。尸的最小值，进而求解即可.

【解题过程】

轴于点W,PNLx轴于点N

Z./PMO=NMON=/ONP=90°.

二四边形。MW是矩形.

：.OP=MN,

在Rt^AOB中,当OPUB时OP最短，即MN最小.

,：A(0,4),B(3,0),

.'.AO=4,20=3,

根据勾股定理可得：AB=y/OA2+OB2=V42+32=5.

■:SYOB=^AO-BO=^AB'OP,

.八nOAxOB4x312

-='=亏,

即OP的最小值为孩，

:.PB=yJOB2-OP2=J32—(.)2=I，

■:SgoB=^OP^PB=泞B・PN,

129

•PN—°PXPB—亏《耳―36

,,r；V-OB~~3~~25;

故答案为：

10.(2022•龙岗区一模)如图，等腰△/BC中，AB=AC,AD_LBC交BC于D点、,E点是48的中点，分

别过D,E两点作线段NC的垂线，垂足分别为G,歹两点.

(1)求证：四边形DEFG为矩形；

(2)若AB=10,EF=4,求CG的长.

【思路点拨】

(1)欲证明四边形DEFG为矩形，只需推知该四边形为平行四边形，且有一内角为直角即可；

(2)首先根据直角三角形斜边上中线的性质求得/£=。£=5;然后在直角△4EF中利用勾股定理得到/尸

的长度；最后结合48=/C=4F+尸G+CG=10求解即可.

【解题过程】

(1)证明：；4B=4C,AD±BC,

.••点。是3c的中点.

点是的中点,

：.DE是△/BC的中位线.

：.DE//AC.

'：DG±AC,EFLAC,

J.EF//DG.

四边形DEFG是平行四边形.

又：/EFG=90。,

...四边形。EFG为矩形；

(2)交8c于。点，E点是的中点，/8=10,

1

:.DE=AE=^BC=5.

由(1)知，四边形DEFG为矩形，则G尸=。£=5.

在直角△/£尸中，EF=4,AE=5,由勾股定理得：AF^VX£2-EF2=V52-42=3.

'：AB=AC=10,FG=ED=5,

：.GC=AC-FG-AF=W-5-3=2.

11.(2021秋•萍乡期末)如图，在平行四边形/BCD中，4E_LBC于点E,延长至点尸，使CF=BE,

连接4F,DE,DF.

(1)求证：四边形/EFD为矩形；

(2)若4B=3,DE=4,BF=5,求。尸的长.

-----------------P

BECF

【思路点拨】

(1)先证四边形为平行四边形，再证NNE尸=90°,即可得出结论；

(2)由矩形的性质得£＞户=/瓦AF=DE=4,再由勾股定理的逆定理得△84尸为直角三角形，NBAF=90°,

然后由面积法求出4E的长，即可得出答案.

【解题过程】

(1)证明：,；BE=CF,

：.BE+CE=CF+CE,

即BC=EF,

,/四边形是平行四边形，

：.AD//BC,AD=BC,

:.AD=BC=EF,

又,：AD〃EF,

四边形/EFD为平行四边形，

,：AELBC,

：.NAEF=90°,

，平行四边形NEED为矩形；

(2)解：由(1)知，四边形/瓦加为矩形，

:.DF=AE,4F=DE=4,

'：AB=3>,DE=4,BF=5,

：.AB2+AF2=BF2,

...△3/尸为直角三角形，ZBAF=90°,

11

・'SUB尸=々43xAF=qBFxAE,

:・ABxAF=BF"E,

即3x4=54E,

.12

••AE—5,

12

.•.DF=AE=苦.

12.(2021秋•罗湖区校级月考)如图，平行四边形N8CD中，点£,尸分别在边8C,上，BE=DF,

ZAEC=90°.

Cl)求证：四边形/EC尸是矩形；

(2)连接5凡若/8=4,ZABC=60°,BF平分NABC,求平行四边形N3CD的面积.

【思路点拨】

(1)由平行四边形的性质得8C=/D,BC//AD,再证£C=4b,得四边形4ECF为平行四边形，然后由

ZAEC=90°,即可得出结论；

1

(2)由含30。角的直角三角形的性质得3£=2/3=2,再由勾股定理得/£=2b，然后证/尸=/2=4,求

出BC=BE+EC=6,即可求解.

【解题过程】

(1)证明：•.•四边形/8C〃是平行四边形，

：.BC=AD,BC//AD,

又,：BE=DF,

：.BC-BE=AD-DF,

即EC=AF,

四边形/ECF为平行四边形，

又•:ZAEC=90°,

,平行四边形AECF是矩形；

(2)解：VZAEB=9Q°,ZABE=60°,

：.ZBAE=9Q°-60°=30°,

1

：.BE=抑=2,

：.AE=y/AB2-BE2=V42_22=2后

四边形45CQ是平行四边形，

J.AD//BC,

：.NAFB=/CBF,

•；BF平分/ABC,

：./ABF=/CBF,

：.NAFB=/ABF,

:・AF=AB=4,

•・•四边形4改才是矩形，

.\EC=AF=4,

：.BC=BE+EC=2+4=6,

NAEC=90。,

：.AELBC,

平行四边形4SCD的面积=3Cx/£=6x2遮=12V3.

1

13.(2022春•东台市月考)如图，菱形/8C。的对角线相交于点O,过点D作DE//AC,且DE=^AC,

连接4B、CE.

(1)求证：四边形。CE。为矩形；

(2)若菱形/BCD的边长为2,ZBCD=60°,求4B的长.

D____________

【思路点拨】

(1)先证四边形OCEZ)是平行四边形，再由NDOC=90°,即可得出结论；

(2)先证△BCD是等边三角形，得BD=BC=2,再由勾股定理得。。=b，则4C=2OC=2W，然后由

矩形的性质得CE=O〃=1,/OCE=90。，最后由勾股定理即可得出答案.

【解题过程】

(1)证明：：四边形/BCD是菱形，

J.ACLBD,AO=OC^^AC,

：.ZDOC=90°,

'JDE//AC,OE=%C,

:.DE=OC,DE//OC,

...四边形OCED是平行四边形，

又：ZDOC=90°,

平行四边形OCED是矩形；

(2)解：•.•四边形48CD是菱形，

：.ACLBD,BC=CD=8,OB=OD,AO=OC=^AC,

ZBCD=60°,

...△BCD是等边三角形，

:.BD=BC=2,

：.OD=OB=\,

：.OC=V3,

：.AC=2OC=2V3,

由(1)得：四边形0C切为矩形，

：.CE=OD=\,ZOC£=90°,

在RtZX/CE中，由勾股定理得：AE=V13,

故/E的长为：V13.

14.(2022•云南模拟)在等腰三角形/8C中，/8=/C,点。是3C中点，点E是/。中点，过点工作/斤〃8C

交3E的延长线于点?

(1)试判断四边形/OCF的形状，并加以证明；

(2)若4B=17,BC=30,求四边形/DC尸的面积.

【思路点拨】

(1)由W4S证明△4EF之△DE8,—DB,证得四边形4DCF为平行四边形，根据矩形的判定定理可

证得结论；

1

(2)根据等腰三角形的性质得到5。=。。=¥。=15,勾股定理求得4Q,然后根据矩形的面积公式即可得

到结论.

【解题过程】

解：(1)四边形4QC分是矩形；

证明：・・・万是40的中点，

：.AE=DE,

•:AF〃BC,

：.ZAFE=/DBE,

在和△。砂中，

Z.AFE=Z.DBE

Z.AEF=乙DEB,

AE=DE

：.AAEF^ADEB(AAS)；

:.AF=DB,

又,：AF〃BC,

...四边形ADCF是平行四边形，

点。是2c中点，

J.ADLCD,

：.N4DC=90。，

四边形/DC尸是矩形；

(2)点。是2c中点，

1

:.BD=CD=^BC=15,AD±BC,

：.ZADC=90°,

.'.AD=7AB2—BC2=8,

四边形ADCF的面积=15x8=120.

15.(2021•峨山县模拟)如图，在△/BC中，//8C=90。，点O是斜边NC的中点，过点。作OE_L/C,

交于点E,过点/作4D〃3C,与2。的延长线交于点。，连接CD、DE.

Cl)求证：四边形/BCD是矩形；

(2)若BC=3,NBAC=30°,求DE的长.

【思路点拨】

(1)证△O4D四△0C8(AAS),得AD=BC,再证四边形4BCD是平行四边形，然后由N4BC=90°,即

可得出结论；

(2)由矩形的性质和含30。角的直角三角形的性质求出4E的长，再由勾股定理即可求解.

【解题过程】

(1)证明：：点。是NC的中点，

：.OA^OC,

".'AD//BC,

：.ZDAO=ZBCO,ZADO=ZCBO,

在△04。与△OC8中,

24。。=乙CBO

Z-DAO=乙BCO,

、。4=0C

：.AOAD^/\OCB(AAS),

：.AD=BC,

♦：AD〃BC,

・・・四边形4SCQ是平行四边形，

*.•ZABC=90%

・•・平行四边形ABCD是矩形；

(2)解：,・,四边形是矩形，

：・AD=BC=3,

VZABC=90°,ZBAC=30°f

：.AC=2BC=6f

：.OA=3,

•：OEL4C,

：./AOE=9U。,

NR4c=30。,

：.OE=^-OA=V3,

，AE=2OE=2®

:.DE=VA"+物=J32+(2V3)2=VM.

16.(2021秋•法库县期末)如图，在四边形48CD中，AC,3。相交于点O,AD//BC,/ADC=NABC,

OA=OB.

(1)如图1,求证：四边形/BCD为矩形；

(2)如图2,尸是/。边上任意一点，PELBD,PFLAC,E、尸分别是垂足，若ND=12,AB=5,求PE+PF

的值.

【思路点拨】

(1)先证四边形48CD是平行四边形，得出。4=。。=夕C,OB=OD=^BD,再证出/C=5D,即可得出

结论；

(2)由勾股定理可求/C=AD=13,由面积法可求解.

【解题过程】

证明：(1)'：AD//BC,

：.ZABC+ZBAD=ISO°,AADC+ABCD=\^°,

,：AABC=ZADC,

：./BAD=NBCD,

：.四边形/BCD是平行四边形，

OA=OC=%C,OB=OD=寺BD,

"：OA=OB,

：.AC=BD,

四边形/BCD是矩形；

(2)如图，连接。尸，

图2

\"AD=n,AB=5,

：.BD=VAB2+AD2="44+25=13,

13

：.BO=OD=AO=CO=号，

,：S“OD=%矩形48cz>=,xl2x5=15，

•••S/xzop+S△F0。=15,

113113

・•・一x—xFP+4x4^x£尸=15,

2222

:.PE+PF=瑞.

17.(2021春•淮滨县期中)如图，平行四边形A8CD中，AB=4cm,BC=6cm,N3=60。，G是CD的中

点，£是边/。上的动点(£不与力,。重合)，且点E由点N向点。运动，速度为lcm/s,£G的延长线

与3c的延长线交于点尸，连接CE,DF,设点E运动时间为K

(1)求证：无论f为何值，四边形CEO尸都是平行四边形；

(2)①当t=4s时,四边形CED尸是矩形；

②当k2s时,四边形CED尸是菱形.

【思路点拨】

(1)证△CFG咨△E0G,推出尸G=£G,根据平行四边形的判定推出即可；

(2)①过/作/"L8C于M,由含30。角的直角三角形的性质得皿/=纠8=2(cm),再求出MC=4cm,

然后证四边形4ECM是平行四边形，得4E=MC=4cm,即可求解；

②证明△&)£■是等边三角形，推出。£=CD=4CVM,则/£=4)-。£=2(cm),即可求解.

【解题过程】

(1)证明：•••四边形/BCD是平行四边形，

J.BC//XAD,

C.CF//ED,

ZFCD=ZEDG,

：G是CD的中点，

CG=DG,

在△尸CG和△EDG中,

ZFCG=Z-EDG

CG=DG,

Z-CGF=乙DGE

:•△CFGQAEDG(ASA),

:,FG=EG,

*：CG=DG,

・・・四边形CEDF是平行四边形；

(2)解：①过4作于河,

VZ5=60°,

・•・ZBAM=900-NB=30。，

i

：.BM=^4B=2(cm),

・・・四边形ABCD是平行四边形，

：.AD//BC,ZCDA=ZB=60°,DC=AB=4cm,BC=AD=6cm,

：.MC=BC-BM=4(cm),

・・•四边形C功用是矩形，

・・・Z^CF=90°,

：.ECLBC,

：.AM//EC,

・•・四边形4ECM是平行四边形，

.\AE=MC=4cm,

故答案为：4；

②•・•四边形CEQb是菱形.

:・CE=DE,

VZCD£=60°,

・•.△CQE是等边三角形,

:・DE=CD=4cm,

:・AE=AD-DE=2(cm),

:.t=2,

故答案为：2.

18.(2021秋•峡江县期末)如图，AB〃CD,点、E,尸分别在NB,CD上，连接E凡NAEF、/CFE的平

分线交于点G,4BEF、/。尸£的平分线交于点

(1)求证：四边形EG/旧是矩形；

(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索，过G4乍MN〃EF,分别交4B,CD于点M,N,过〃作

PQ//EF,分别交48,CD于点P,Q,得到四边形"NQP,此时，他猜想四边形脑VQP是菱形，他的猜想

是否正确，请予以说明.

【思路点拨】

(1)根据角平分线的性质进行导角，可求得四边形EGFH的四个内角均为90。，进而可说明其为矩形.

(2)根据题目条件可得四边形尸为平行四边形，要证菱形只需邻边相等，连接GH,由于MN=EF=

GH,要1正MN=MP,只需［正GH=MP,只需证四边形AffT/P为平行四边形，可证G、H热分别为MN、PQ

中点，即可得出结果.

【解题过程】

(1)证明：:EH平济NBEF,FH平分NDFE,

11

:・/FEH="BEF,ZEFH=^ZDFE,

*：AB//CD,

：./BEF+NDFE=18。。,

11

；・/FEH+NEFH=W(NBEF+NDFE)=^xl80°=90°,

・.・ZFEH+ZEFH+ZEHF=180°,

AZEHF=1SO0-(ZFEH+ZEFH)=180°-90°=90°,

同理可得：NEG/=90。,

■:EG平分N4EF,

■:EH平%/BEF,

：.ZGEF=^ZAEF,ZFEH=^ZBEF,

•.•点N、E、8在同一条直线上，

Z.NAEB=180°,即ZAEF+NBEF=180°,

11

AZFEG+ZFEH=j(ZAEF+ZBEF)=^xl80°=90°,

即NGE77=90。，

・・・四边形EGF"是矩形

(2)解：他的猜想正确，

理由是：

9：MN//EF//PQ,MP//NQ,

・・・四边形MNQP为平行四边形.

如图，延长E8交CQ于点。，

NMEP

/PEO=/FEO,NPEO=NFOE,

：./FOE=NFEO,

:・EF=FD,

■:FH1EO,

：.HE=HO,

VZEHP=ZOHQ,ZEPH=ZOQH,

：.丛EHP丝丛OH。,

：.HP=HQ,

同理可得GM=GN,

•：MN=PQ,

:・MG=HP,

...四边形MGHP为平行四边形,

：.GH=MP,

,:MN〃EF,ME//NF,

，四边形MEFN为平行四边形，

：.MN=EF,

VGH=EF,

：.MN=MP,

.•.平行四边形MNQP为菱形.

19.(2021春•番禺区期末)如图，在平行四边形A8C。中，对角线/C与5。相交于点。，点E,厂分别

为OB,OD的中点.

(1)求证：AABE名/\CDF；

(2)延长/£至G,使EG=/E,连接CG,延长CF,交4D于点P

①当N5与/C满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由；

②若4P=2Z)P=8,CP^V17,CD=5,求四边形EGCF的面积.

G

【思路点拨】

(1)由平行四边形的性质得出4B=CO,AB//CD,OB=OD,由平行线的性质得出NC。尸，证出

BE=DF,由S4s亍正明LABE义ACDF即可；

(2)①先证出N8=ON,由等腰三角形的性质得出NG_LO8,/OEG=90。,同理：CFLOD,得出EG〃C尸,

由三角形中位线定理得出OE〃CG,EF//CG,得出四边形EGC尸是平行四边形，即可得出结论；

②作辅助线，构建高线C77,根据勾股定理列方程可得C7/=4,计算△BCD的面积，由点E,F分别为OB,

OD的中点可知跖=如。，根据同高三角形面积等于对应底边的比可得△斯C的面积为12,从而得结论.

【解题过程】

(1)证明：•••四边形/BCD是平行四边形,

：.AB=CD,AB//CD,OB=OD,

：.ZABE=ACDF,

•:点E,尸分别为05,0。的中点，

:.BE=DF=~^pD,

:・BE=DF,

在△45E和△CO/中，

AB=CD

乙ABE=乙CDF,

、BE=DF

：.AABE^ACDF(SAS)；

(2)解：①当4C=2/B时，四边形EGCF是矩形；理由如下:

9：AC=2OA,AC=2AB,

.*.AB=OA,

・・・E是05的中点，

：.AGA.OB,

・・・NOEG=90。，

同理：CFLOD,

C.AG//CF,

C.EG//CF,

*：EG=AE,OA=OC,

・・・0E是AZC