广东省茂名市区域2024-2025学年高三年级上册10月联考数学试题（含解析）

茂名市区域2024-2025学年高三上学期10月联考

数学

注意事项：

1.答题前、考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用船笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.复数z=—+的虚部为()

A.2B，V2C.-V2D.-V21

2.已知集合川={M(x-a)2=1},N={1,3},若M匚N,则a=()

A.-lB.OC.lD.2

3.记水的质量为上口，则当S=7/=e3时，水的质量为()

Inn

A.2B.eC.2.1D.3

4.已知命题p：VxeR,G'=x，俞题4七》€(0,兀)/21«=511«,贝1|()

A.2和夕都是真命题B.-!?利夕都是真命题

c.p和「q都是真命题D.~p和「q都是真命题

5.如图，O为A48c内一点，。为5c的中点，OA=a,OB=b,OC^c,则诟=()

A.a+-b+-cB.-a+-b+-s

2222

Q.a--b--ZD.-a--b--c

2222

o,则不等式工fcl”0的解集为

6.若定义在R上的奇函数/(x)在(0,+")上单调递增，且/

IX2-2

7.已知函数/⑴=/sin(ox+9)+q/〉0,0<G<10jd<•|J的部分图象如图所示，则①二()

A.lB.2C.3D.6

1e

8.已知曲线G:y=—e工在点尸处的切线与曲线G：V=———(X>0)在点。处的切线平行，且直线尸。垂

22x

直于X轴，则|P0|=()

A.eB.2eC.3eD.e或3e

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知单位向量万万，则()

A.“悭一可=121+4”是“g_LB”的必要条件

B.“悔-可=1”是“色〃B”的必要条件

C."怩一,=忸+中是”的充分条件

D.“悭一可=1"是"〃3”的充分条件：

10.设函数/(X)=X2(X-6),则()

A.x=4是/(x)的极小值点

C.当0<x<l时，/(x)>/(x2)

D.当0<x<l时，/（4+x）>/（4-x）

11.已知函数/（"=卜由2%卜（：054%，则（）

AJ（x）的最大值为1

B./（x）的最小正周期为5

C.曲线y=f（x）关于直线x=彳（左eZ）轴对称

D.当xe［O,兀］时，函数g（x）=16/（x）-17有9个零点

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

.（叫「

12.已知函数/（x）=J16J则/（/（一1））=.

2X+I.x„0.

13.己知a>l,则Iga+log“100的最小值为.

14.已知关于x的方程2sinx+cosx=l在［0,2兀）内有2个不同的解a/,贝！|cos（a—夕）=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

在中,a,仇c分别是内角4民。的对边，Ma2+b2ab+c2,bcsinA=sinC.

⑴求C；

（2）求△NBC外接圆的面积的最小值.

16.（15分）

2222

已知椭圆q：二+二=1（。>6〉0）与双曲线G：二—与=1（机>0/〉。）有公共焦点大，片,G与

abmn

c2在第一象限的交点为p,且户周=J7+1,|尸用=J7—i,尸片，尸片.

（i）求&与。2的方程；

（2）记。的上顶点为4c2的左顶点为8,直线AB与G的另一个交点为。，求|幺。|.

17.（15分）

如图，在六面体4BCD—48ICIA中，M//BBX//CCA//DDX,且底面48CD为菱形.

（1）证明：四边形为平行四边形.

（2）若幺4，平面ABCD,AAX=CCX,/BAD=60°,DDX=5,AB=BBX=2,求平面44CQ与平面

ABCD所成二面角的正弦值.

18.（17分）

甲、乙口袋都有3个小球（1个黑球和2个白球）.现从甲、乙口袋中各随机取1个小球交换放入另外一个口

袋（即甲口袋中的小球放入乙口袋，乙口袋中的小球放入甲口袋），重复〃次这样的操作后，记甲口袋中

恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为外.

（1）求P1应1;

（2）求p?；

（3）求为.

19.（17分）

（1）证明：当时，x>sinx>xcosx.

（兀兀）

（2）当于万）时，^sin2x-x2cosx...0,求〃的取值范围.

茂名区域高三10月份联考

数学参考答案

1.Cz=­,所以2的虚部为—J，.

（2+1=3,

2.D因为M={a+l,a-l},所以<[[解得a=2.

a-1=1,

当S=7/=e3时，水的质量为芸=2.

3.A

Ine

当x<0时，J系=3=-x,所以）是假命题，一是真命题.因为tanx=2nt=sinx,所以

4.D

11COSX

cosx=1或sin%=0,当xe（O,兀）时，cosx1,sinx0,所以9是假命题，F是真命题.

—■1--1—-1--1--1--1--1-1

5.BAD=-AB+-AC=-AO+-OB+-AO+-OC=-a+-b+-c.

22222222

=。.由”,o,得</（X）”0,

6.D依题意可得/（0）=0,/（x）在（一。,0）上单调递增，且/

\2-2>0或

（）

/x…0,贝|］》4-8,一百）1

2u--,0o

'X-2<0,33

4+6=3,4=2,/、,1

7.D因为/〉0,所以《—解得所以/（0）=2sin0+l=2,贝ijsin。=3.因为

1,2

,所以。=看，可得/（x）=2sin［0x+《）+l.因为/兀am兀）1~,

—2sm——+—+1=3,所以

618V186J

兀兀71

----1—=—卜2kjt,keZ,即①=6+36左，左£Z.因为0<刃<10,所以口=6.

1862

8.A依题意可设尸［加,ge"1

，其中m>0.

1x号，则曲线G在点尸处的切线斜率为;e"‘，曲线。2在点。处的切线斜率为

=2C，

乙XN

——，，所以一e"=——7，即机26"'=6（机〉0）.设函数/（"=》2行卜〉0）,则

2m22m

f\x)=[x2+2X^QX>0,所以/(x)为增函数，又/⑴=e,所以加=1,所以尸Q[1,—

故|P0|=e.

9.ACD由悭—同=悔+可,得4片+庐—4晨[㈠+浸+前方，解得展3=0，即〃3，反之

亦成立，故“忸一,=忸+.”是“A_LB”的充要条件.若'一,=1,贝U4片+/—4限3=1，解

得鼠3=1，贝”cos<a,b〉=,=l,所以<扇人〉=0,即之〃5,若]〃B，则

心很=1或—1,所以网一可=1或3,故“悭―4=1”是〃厂的充分不必要条件.

10.ABD/r(x)=2x(x-6)+x2=3x(x-4),当xe(0,4)时，/,(x)<0,当xe(-e,0)34,+e)

时，r(x)>0,所以〃x)在(-8,0)和(4,+e)上单调递增,在(0,4)上单调递减，故x=4是/(X)的

极小值点，A正确.

/(x)+/(-x)=x2(x-6)+x2(-x-6)=-12x2„0,B正确.

当0<x<l时，0</<%<1，又/(X)在(0,1)上单调递减，所以/(x)</(x2),c错误.当0<x<l

时，/(4+x)-/(4-x)=(4+x)2(4+x-6)-(4-x)2(4-x-6)=2x3>0,所以

/(4+x)>/(4-x),D正确.

11.BCf(x)=|sin2x|+l-2|sin2x|2=-21sin2x|-+g,当卜山2司二；时，/(x)取得最大值，

且最大值为2,A错误.因为y=Mn2x|/=cos4x的最小正周期均为四，所以/⑴的最小正周期为工,

822

+cos4---x)=|sin2x|+cos4x(A:GZ),所以曲线二=f(x)

jiI-J

关于直线x=T(keZ)轴对称，C正确.令g(x)=16/(x)-17=0,得/(力=而，则

|sin2x|=^±^，结合函数y=|sin2x|(0,,%,兀)的图象(图略)，可知方程卜in2x|=；±骼在［。,兀］

上有8个不同的实根，D错误.

12.—1/(-1)=2-'+1-71

=-cos—=

62

2

13.2V2lg«+logfl100=lg（2+--...2V2,当且仅当。=1（）0时，等号成立.

IgQ

3V^sin（x+0）=11tan。=—,所以sin（x+0）=.

14.--因为2sinx+cosx

由题意可得sin（a+0）=]>sin（尸+0）=

因为aw尸,”e[0,2兀），尸e[0,2兀），所以a+0+〃+0=7i,即二兀-2（尸+。）.

cos一尸）=cos［兀一2（/+/）］=—COS2（/?+9）=2sin2（/7+0）—1=——.

272_21

15.解：（1）因为Q2+/=ab+c2,所以cosC="—c=♦

2ab2

因为Ce(O,兀)，所以C=：

(2)因为bcsiih4=sinC,所以Q6C=C,

所以仍=1.

由Q?+〃=+。2,得/=。2+力2_ab...lab-ab-ab-\则。…L

当且仅当。=6=1时，等号成立.

2R=c_1_=_2_1

设△ZBC外接圆的半径为R,则一Sin。…sin二一6，则夫-国，

71

所以“BC外接圆的面积的最小值为—.

3

16.解：⑴因为忸制=e+1,|尸用=疗-1,尸片，尸片，所以阳月|=J尸引『+|尸67=4,

记耳(—c,0),工(c,0),则c=2.

222

由椭圆的定义可得,2a=附|+\PF21=2A/7,a=Jl,b=a-c=3.

由双曲线的定义可得，2m=\PF^\-\PFj\=2,m=\,n-=c2-m2=3.

22

2

所以G的方程为y+^-=l,C2的方程为X

3

(2)由题意得/(0,G),5(—l,0),则直线4s的方程为y=氐+JL设。(x"J.

7

联立<工22得4f+7x=0所以玉二_7

—=1,

._______r

\AD\=\l+k2|x(-=Jl+3x———0=—.

17.(1)证明：因为四边形/BCD为菱形，所以8c

又u平面AXADDX,8C<z平面AXADDX,

所以8c〃平面z/QR.

又BB]//AA},AAXu平面AXADDVBBX«平面AXADDX,所以BB]〃平面AAXDDV

因为84cBe=8,所以平面BCC[B]//平面AXADDX.

因为平面n平面BCCXBX=Bg,平面A}BXCXDXn平面AXADDX=AR,

所以4。//4R,

同理可得4耳//GD，所以四边形44CQ]为平行四边形.

(2)解：由题意得RD=2,NC=2G.以菱形48CQ的中心O为坐标原点，砺，反的方向分别为演歹

轴的正方向，建立空间直角坐标系。孙z,如图所示.设44]=〃，则4(0,

-V3,好片(1,0,2),G(0,G,力)Q(T0,5).

因为四边形44GR为平行四边形，所以4瓦=万而，

r-i

则(1,6,2—/z)=(l,G,/z—5),所以2—/z=/z—5,得/1=万,

所以福=1,6,_|),苑.

设平面44GQ1的法向量为4=(x,y,z),

则44•4=o,42,4=o,

X+yfiy--z=0,

即《

-X+y/iy~t~~z=0,

令z=2,得％=(3,0,2).

易知平面48CQ的一个法向量为&=(0,0,1),

n-n_22V13

则cos〈4,万%A2

同同V13xl13

所以平面481GA与平面ABCD所成二面角的正弦值为独3.

13

18.解：(1)第1次换球后甲口袋有2个黑球，即从甲口袋取出的球为白球且从乙口袋取出的球为黑球,

212

则P\=-x-=—

339

第1次换球后甲口袋有1个黑球，即从甲、乙口袋取出的球同为白球或同为黑球，则

22115

q.=—x——I——X—=—

33339

(2)若第2次换球后甲口袋有2个黑球，则分2种情况：

①当第1次换球后甲口袋有1个黑球时，第2次甲口袋取白球且乙口袋取黑球;

②当第1次换球后甲口袋有2个黑球时，第2次甲、乙口袋同取白球.

…211522116

所以22+2]X§=—X—+—X—

999381

若第2次换球后甲口袋有1个黑球，则分3种情况：

①当第1次换球后甲口袋有0个黑球时，第2次甲口袋取白球且乙口袋取黑球；

②当第1次换球后甲口袋有1个黑球时，第2次甲、乙口袋同取白球或同取黑球;

③当第1次换球后甲口袋有2个黑球时，第2次甲口袋取黑球且乙口袋取白球.

2(2211)249

所以％=(1-%—0)Xz+/x-X-+-X-+AXT=­•

Jy3J35J3o1

(3)第〃次换球后，甲口袋黑球的个数为1的情况：

①若第M-1次换球后甲口袋有2个黑球，则第九次甲口袋取黑球且乙口袋取白球；

②若第次换球后甲口袋有1个黑球，则第〃次甲、乙口袋同取黑球或同取白球;

③若第M-1次换球后甲口袋有0个黑球，则第〃次甲口袋取白球且乙口袋取黑球.

2122]221

所以=P„-ixy+^,-ixljx-+yxjl+(l_A.-1_^-i)xj=

3If3

即/

32321

又因为外一一=一一，所以外—二是以———为首项，一一为公比的等比数列,

545I51459

所以纵-：3=

19.(1)证明：令函数〃(x)=x—sinx,则l(x)=l-cosx>0,

所以〃(%