平行线的四大基本模型重难点题型专训（原卷版+解析）

专题03平行线的四大基本模型重难点题型专训

国【题型目录】

题型一平行线基本模型之M模型

题型二平行线四大模型之铅笔模型

题型三平行线四大模型之“鸡翅”模型

题型四平行线四大模型之“骨折”模型

丹【经典例题一平行基本模型之M模型】

【结论1]若AB〃CD,则NB0C=NB+NC

【结论2］若NB0C=NB+NC,则AB〃CD.

【结论3】如图所示，AB/7EF,贝1]NB+ND=NC十NE

朝向左边的角的和=朝向右边的角的和

结论3的模型也称为锯齿模型;

锯齿模型的变换解题思路

1

23.

拆分成猪蹄模型和内错角拆分成2个猪蹄模型

【例1】（2022春・山东济宁•七年级统考阶段练习）如图所示，如果AB//CD,则Na、Zp>/丫之间的

A.Za+Zp+Zy=180°B.Za-Zp+Zy=180°

C.Za+Zp-Zy=180°D.Za-Zp-Zy=180°[

【变式训练】

【变式1］（2021春.全国•七年级专题练习）如图，直线a//b,一块含60。角的直角三角板ABC（ZA=60°）

按如图所示放置.若/1=43。，则/2的度数为（）

A.101°B.103°C.105°D.107°

【变式2］（2022秋・辽宁鞍山•八年级统考期中）如图，已知AB〃CD,BE平分/ABC,DE平分NADC,

ZBAD=80°,/BCD=,则N3ED的度数为.（用含”的式子表示）

D

【变式3】(2022春・山东聊城・七年级统考阶段练习)已知直线AB//CD,所是截线，点M在直线A3、CD

之间.

(1)如图1,连接GM,HM.求证：ZM=ZAGM+ZCHM；

(2)如图2,在NGHC的角平分线上取两点M、Q,使得NAGAf=///GQ.试判断与NGQH之间的数量

关系，并说明理由.

丹【经典例题二平行基本模型之铅笔模型】

【结论1】如图所示，AB〃CD,贝l]NB+NB0C+NC=360°

【结论2】如图所示，NB+NB0C+NC=360°,贝I]AB〃CD.

变异的铅笔头：拐点数n,NA+...+NC=180°X(n+1)

【例2】(2021.全国•九年级专题练习)如图，两直线AB、CO平行，贝UNl+/2+N3+N4+N5+N6=().

AR

A.630°B.720°C.800°D.900°

【变式训练】

【变式1】（2022•全国•七年级假期作业）如图，直线机//〃，在RGABC中，2B90?,点A落在直线加上,

3C与直线〃交于点。，若N2=130。，则N1的度数为（）.

A.30°B.40°C.50°D.65°

【变式2］（2020春.山西临汾.七年级统考期末）如图，一环湖公路的段为东西方向，经过四次拐弯后,

又变成了东西方向的FE段，则NB+NC+NO+NE的度数是.

AB

__________/D

FE

【变式3］（2022春.江苏扬州•七年级校考阶段练习）已知直线尸为平面内一点，连接出、PD.

（1）如图1,已知NA=50。，ND=150。，求的度数；

（2）如图2,判断NE4B、ZCDP,44尸。之间的数量关系为.

（3）如图3,在（2）的条件下，APLPD,DN平分/PDC,若/B4N+；/AP。，求NAN£）的度

数.

p

个【经典例题三平行基本模型之“鸡翅”模型】

【例3】（2022秋.全国•八年级专题练习）①如图1,AB〃CD,则ZA+NE+NC=360。；②如图2,AB//CD,

则NP=NA-NC；③如图3,AB//CD,则NE=NA+N1；④如图4,直线A3〃8//EF,点。在直

线防上，则Na-4+N7=180。.以上结论正确的个数是（）

C.3个D.4个

【变式训练】

【变式1】（2021秋•八年级课时练习）（1）已知：如图（a）,直线求证：ZABC+Z.CDE=ZBCD-

（2）如图（b）,如果点C在AB与之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么

新的猜想？

ABB

(a)

【变式2](2021春.广东东莞.七年级东莞市光明中学校考期中)(1)如图(1)AB〃CD猜想/2尸。与乙8、

的关系，说出理由.

(2)观察图(2),已知AB〃C£>,猜想图中的/BPD与NB、ND的关系，并说明理由.

(3)观察图(3)和(4),已知4B〃C。，猜想图中的/8尸£(与/8、ND的关系，不需要说明理由.

(1)(2)(3)(4)

【变式3】(2022•全国•七年级假期作业)已知，AE//BD,ZA=ZD.

(1)如图1,求证：AB//CD-,

(2)如图2,作NBAE的平分线交CO于点尸，点G为AB上一点，连接尸G,若NCFG的平分线交线段AG

于点、H,连接AC,若ZACE=NBAC+NBGM,过点H作旧拉，户H交FG的延长线于点M,且

3ZE-5ZAFH=18°,求ZEAF+Z.GMH的度数.

【经典例题四平行基本模型之“骨折”模型】

【例4】（2021.全国.九年级专题练习）如图所示，AB//CD,/E=37。,/C=20°,则NEAB的度数为

【变式训练】

【变式1］（2022春・湖北黄冈•七年级校考期中）如图，己知AB//OE,NA2C=80。，ZC£）E=140°,则

/BCD=.

【变式2］（2022春・江苏盐城.七年级景山中学校考阶段练习）如图，若AB//CD,则/1+N3-N2的度数为

E

【变式3］（2021春・全国•七年级专题练习）（1）如图，AB//CD,CF平分/DCE,若/。（才=30。，ZE=2Q°,

求NA8E的度数；

（2）如图，AB//CD,ZEBF=2ZABF,CF平分/DCE,若NP的2倍与/E的补角的和为190。，求/ABE

的度数.

D

H

AB

E

(3)如图，尸为(2)中射线BE上一点，G是8上任一点，P。平分/BPG,GN//PQ,GM平分4DGP,

若/8=30。，求/MGN的度数.

【培优检测】

1.（2022・全国.七年级假期作业）如图，AB//ED,a^ZA+ZE,£=/B+/C+/D,则力与a的数量关系

是（）

A.2汽=3aB.B=2aC.2/i=5aD.4=3a

2.（2020・湖南.中考真题）如图，己知Nl=30。，N2=35。，则NBCE的度数为（）

DE

A.70°B.65°C.35°D.5°

3.（2021.全国.九年级专题练习）把一副三角板放在水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点

重合，两条斜边平行，则N1的度数是（）

4.（2021春.新疆乌鲁木齐.七年级新疆师范大学附属中学校考阶段练习）如图所示，AB〃CD,则

NA+NE+NF+NC等于（）

A.180°B.360°C.540°D.720°

5.（2022・全国•七年级假期作业）如图，已知AB//CD,N4=140。，NE=120。，则/C的度数是（）

A.80°B.120°

C.100°D.140°

6.（2022春.甘肃金昌.七年级校考期中）如图，已知ABIIDE,则N1+N2+N3的度数是（）

A.180°B.270°C.360°D.540°

7.（2022.全国•七年级假期作业）如图，已知.//。，将直角三角形如图放置，若N2=40。，则/I为（)

A.120°B.130°C.140°D.150°

8.（2021春・全国•七年级专题练习）如图，已知AB〃CD,则/a,",々之间的等量关系为（）

A.Za+Z^-Z/=180°B.Zy0+Zx-Z<z=18O°

C.Za+Z/?+Z/=360°D,Za+Z^+Z/=180°

9.(2022秋・山东临沂•八年级校考阶段练习)如图，已知点尸是矩形ABCD内一点(不含边界)，设

ZPAD=6l,ZPBA=e2,ZPCB=93,ZPDC=e4,若/AP8=80°,NCPZ)=50°,贝!!()

A.(4+%)-(%+4)=30°B.(。2+，4)-(4+。3)=40"

C.(4+%)-(%+4)=70°D.©+%)+(。3+%)=180。

10.(2021春•全国•七年级河南省淮滨县第一中学校考期末)如图，AB//CD,点E在AC上，NA=110。,

Z£>=15°,则下列结论正确的个数是()

(1)AE=EC；(2)ZAED=85°；(3)ZA=ZCED+ZD；(4)/BED=45。

-D

A.1个B.2个C.3个D.4个

11.（2021春.全国•七年级专题练习）如图，/BCD=I0°,AB//DE,则Na与/p满足（）

A.Za+Zp=110°B.Za+Zp=70°C.Zp-Za=70°D.Za+Zp=90°

12.（2021春・全国•七年级专题练习）如图,AB〃EF,/D=90。,则的大小关系是（）

A.B=a+yB.P=a+y-90°

c.j3=/+90°-aD.P=a+90°-y

13.（2022・全国•七年级假期作业）如图所示,直角三角板的60。角压在一组平行线上，AB//CD,ZABE=40°,

贝(JN£Z)C=.度.

14.（2021春・甘肃庆阳•七年级校考期中）如图，如果AB〃C£）,那么/B+NE+

15.（2022•全国•七年级假期作业）如图，若直线//〃/2,Za=Zp,/1=30。则N2的度数为

16.（2022・全国•七年级假期作业）如图，如果EF//CD,则Nl,Z2,/3的关系式.

D

17.（2022・全国•七年级假期作业）如图，EE//MN,CA±CB,ZEAC=35°27,,则

ZMBC=_____________________

18.（2021春・安徽安庆•七年级统考期末）如图，直线AB//CD,点〃、N分别在直线AS、C。上，点E为直

线AB与C。之间的一点，连接ME、NE,且/MEN=80。，NAME的角平分线与NCNE的角平分线交于点尸,

则ZMFN的度数为.

CD

19.（2022秋・贵州六盘水•八年级统考期末）如图，已知AB〃C。，易得Nl+/2+/3=360。，Z1+Z2+Z3+Z4

=540°,根据以上的规律求N1+N2+/3+...+N"=.

ZECF=-ZECD,

3

则ZAEC=____度.

21.（2022秋.全国•七年级统考期末）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问

题.

小明:老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今

天老师介绍了一个“美味”的模型一“猪蹄模型”.即

已知:如图1,ABUCD,E为AB、8之间一点，连接AE,CE得到/AEC.

求证:ZAEC=ZA+NC

小明笔记上写出的证明过程如下：

证明:过点£作石尸//川，

・・・N1=N5

*：AB//CD,EF//AB

：.EFI/CD

：.N2=NC.

ZAEC=Z1+Z2

ZAEC=ZA+AC

请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题.

(1)如图，若AB//CD,ZE=60°,贝！jNB+NC+/=.

(2)如图，AB//CD,BE平分NABG,CF平分NDCG,NG=N"+27。，则NH=.

D

E

G

22.（2021・全国•九年级专题练习）如图所示，已知AB//CD,3E平分/ABC,OE平分一ADC,求证:

ZE=1（ZA+ZC）

23.（2022.全国•七年级假期作业）如图，ABIICD,点、E为两平行线间的一点.请证明两个结论.

(1)ZB£D=Z1+Z2；

(2)ZEBM+ZEDN+ABED=360°.

24.(2021春・山东德州•七年级统考期中)(1)如图1,AB//CD,ZA=33°,ZC=40°,则NAPC=

（2）如图2,AB〃DC,点P在射线O河上运动，当点P在8、。两点之间运动时，ZBAP=Za,4DCP=4/3,

求/CR4与/£、"之间的数量关系，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，如果点尸在5、。两点外侧运动时（点尸与点8、D、。三点不重合），请你直接

写出NCR4与/a、/之间的数量关系.

25.（2022・全国•七年级假期作业）综合探究：已知AB//CD,点V、N分别是45、8上两点，点G在A3、

CD之间，连接MG、NG.

图1

(1)如图1,若GM1GN,求/AMG+NOVG的度数;

（2）如图2,若点P是CD下方一点，MG平分N3MP,ND平分NGNP,已知N3MG=4O。，求

NMGV+ZWPN的度数.

26.（2022・全国•七年级假期作业）⑴问题情景：如图1,AB//CD,ZE4B=130°,NPC£）=120。，求/APC的

度数.

小明想到一种方法，但是没有解答完：

如图2,过尸作尸E〃A2,AZAPE+ZE4B=180°,

ZAPE=180°-ZPAB=180°-130°=50°

\'AB//CD,：.PE//CD.

请你帮助小明完成剩余的解答.

（2）问题迁移：请你依据小明的解题思路，解答下面的问题：

如图3,AD//BC,当点尸在A、2两点之间时，ZADP=Za,ZBCP=Z^,则NCP。，Za,/p之间有何数

27.（2021春・广西柳州•七年级统考期中）已知直线。〃6,直线所分别与直线a,b相交于点E,F,点A,

8分别在直线a,6上，且在直线跖的左侧，点P是直线EP上一动点（不与点E,尸重合），设/以E=N1,

ZAPB=Z2,ZPBF=Z3.

（D如图1,当点尸在线段所上运动时，试说明Nl+/3=/2；

（2）当点尸在线段所外运动时有两种情况.

①如图2写出/I,Z2,23之间的关系并给出证明；

②如图3所示，猜想/I,Z2,N3之间的关系（不要求证明）.

28.（2022春•江苏常州•七年级统考期中）问题情境：如图①，直线AB〃CD,点E,E分别在直线AB,CD

上.

(1)猜想：若4=130。，Z2=150°,试猜想NP='

(2)探究：在图①中探究Nl,N2,一尸之间的数量关系，并证明你的结论;

(3)拓展：将图①变为图②，若Nl+N2=325。，ZEPG=15°,求/PG厂的度数.

29.(2022秋・河南平顶山•八年级统考期末)如图:

⑴如图1,AB//CD,^ABE=45°,NCDE=21。,直接写出N3ED的度数.

(2)如图2,AB〃CD,点E为直线AB,8间的一点，BF平分/ABE,DF平分NCDE,写出NBED与Nb

之间的关系并说明理由.

(3)如图3,与CO相交于点G,点E为4GD内一点，BF平分/ABE,DF平分NCDE,若N3GD=60。，

ZBFD=95°,直接写出N3即的度数.

30.(2022春•江西九江•七年级统考期中)如图1,ABHCD,ZR4B=130°,ZPCD=120°,求/APC的度

数.小明的思路是：如图2,过P作尸E7/AB,通过平行线性质可求NAPC的度数.

(1)请你按小明的思路，写出NAPC度数的求解过程；

(2)如图3,AB〃CD,点尸在直线上运动，记NR4B=N(z,乙PCD=4/3.

①当点尸在线段上运动时，则/APC与/a、4之间有何数量关系？请说明理由;

②若点尸不在线段3。上运动时，请直接写出/"C与Na、”之间的数量关系.

专题03平行线的四大基本模型重难点题型专训

旨【题型目录】

题型一平行线基本模型之M模型

题型二平行线四大模型之铅笔模型

题型三平行线四大模型之“鸡翅”模型

题型四平行线四大模型之“骨折”模型

,4【经典例题一平行基本模型之M模型】

【结论1］若AB〃CD,贝l］NB0C=NB+NC

【结论2］若NB0C=NB+NC,则AB〃CD.

【结论3】如图所示，AB//EF,贝ljNB+ND=NC+NE

朝向左边的角的和=朝向右边的角的和

1名

结论3的模型也称为锯齿模型;

锯齿模型的变换解题思路

拆分成猪蹄模型和内错角拆分成2个猪蹄模型

【例0（2022春・山东济宁•七年级统考阶段练习）如图所示，如果AB〃CD,则/a、Zp>

/丫之间的关系为（）

A.Za+Zp+Zy=180°B.Za-Zp+Zy=180°

C.Za+Zp-Zy=180°D.Za-Zp-Zy=180o[

【答案】C

【分析】过E作EF〃AB,由平行线的质可得EF〃CD,Za+ZAEF=180°,ZFED=Zy,

由/p=/AEF+/FED即可得/a、Zp>/丫之间的关系.

【详解】解：过点E作EF〃AB,

Na+NAEF=180。（两直线平行，同旁内角互补），

VAB//CD,

；.EF〃CD,

ZFED=ZEDC（两直线平行，内错角相等），

Zp=ZAEF+ZFED,

又：Zy=ZEDC,

.,.Za+Zp-Zy=180°,

故选：C.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键.

【变式训练】

【变式1]（2021春・全国•七年级专题练习）如图，直线a//b,一块含60。角的直角三角板ABC

（ZA=60°）按如图所示放置.若Nl=43。，则N2的度数为（）

A.101°B.103°C.105°D.107°

【答案】B

【分析】如图，首先证明/AMO=N2；然后运用对顶角的性质求出/ANM=43。，借助三角

形外角的性质求出NAMO即可解决问题.

【详解】解：如图，：直线2〃b

.•.ZAMO=Z2；

VZANM=Z1,Zl=43°,

ZANM=43°,

ZAMO=ZA+ZANM=60°+43°=103°,

，/2=NAMO=103°.

故选：B.

【点睛】该题主要考查了平行线的性质、对顶角的性质、三角形的外角性质等几何知识点及

其应用问题；牢固掌握平行线的性质、对顶角的性质等几何知识点是灵活运用、解题的基础.

【变式2］（2022秋•辽宁鞍山•八年级统考期中）如图，已知AB〃CD,BE平分/ABC,DE

平分/ADC,ZBAD=8O°,NBCD=n。,则ZBED的度数为.（用含w的式子

表示）

【答案】40°+-«°

2

【分析】首先过点E作抄〃AB,由平行线的传递性得再根据两直线平行,

内错角相等，得出入%刀=N4%=〃。，ZS4D=ZADC=80°,由角平分线的定义得出

ZABE=~n°,ZEDC=40°,再由两直线平行，内错角相等得出NBEF=ZABE=：。

22

/FED=NEDC=40°,由ABED=ZBEF+NFED即可得出答案.

【详解】解：如图，过点E作砂〃AB,则AB〃CD〃班，

B

•：AB//CD,

：.ABCD=/ABC=if,ABAD=ZADC=80°,

又；BE平分/ABC,DE平分NADC,

：.ZABE=-ZABC=-n°,

22

NEDC=-NADC=L80°=40°,

22

,/AB//EF//CD,

ZBEF=ZABE=-n°,

2

/FED=NEDC=40。,

：.ABED=ZFED+NBEF=40。+Lz。，

2

故答案为：40。+；“。.

【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解题关键是作出正确的辅助线，掌握平

行线的性质和角平分线的定义.

【变式3](2022春・山东聊城•七年级统考阶段练习)已知直线4B//CD,跖是截线，点M

在直线A3、C。之间.

(1)如图1,连接GM,HM.求证：ZM=ZAGM+ZCHM；

(2)如图2,在/GHC的角平分线上取两点M、Q,使得试判断与/GQH

之间的数量关系，并说明理由.

【答案】(1)证明见详解

(2)ZG2W=180°-ZM;理由见详解

【分析】(1)过点M作肱V〃钻，由AB〃C£>,可知MN〃AB〃CD.由此可知：

ZAGM=ZGMN,ZCHM=ZHMN,®ZAGM+Z.CHM=Z.GMN+AHMN^AM；

(2)由(1)可知+.再由=/AGM=/HG。，可知：

AM=ZHGQ+ZGHM,利用三角形内角和是180。，可得NGQH=180。-NM.

(1)

解：如图：过点M作MV〃AB,

：.MN//AB//CD,

：.ZAGM=ZGMN,ZCHM=4HMN,

'：AM=ZGMN+4HMN,

：.ZM=ZAGM+Z.CHM.

(2)

解：ZGgH=180°-ZM,理由如下：

如图：过点〃作肱V〃回，

由(1)知NM=NAGA/+NCHM,

:HM平济NGHC,

：.ZCHM=ZGHM,

:ZAGM=ZHGQ,

：.ZM=ZHGQ+ZGHM,

ZHGQ+ZGHM+ZGQH=180°,

ZGgH=180°-ZM.

【点睛】本题考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，正确的作出辅助线是解决本题

的关键，同时这也是比较常见的几何模型“猪蹄模型”的应用.

X【经典例题二平行基本模型之铅笔模型】

【结论1】如图所示，AB〃CD,贝l]NB+NB0C+NC=360°

4

D-----------------1

【结论2】如图所示，NB+NB0C+NC=360°,贝I]AB〃CD.

Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=().

A.630°B.720°C.800°D.900°

【答案】D

【详解】分别过E点万点,G点，8点作£1,£2,£3,14平行于

观察图形可知，图中有5组同旁内角，

贝！JNl+N2+N3+N4+N5+N6=180。x5=900：

故选D

【点睛】本题考查了平行线的性质，添加辅助线是解题的关键

【变式训练】

【变式1］（2022•全国•七年级假期作业）如图，直线mlln,在中，?B90?,点A

落在直线加上，5C与直线〃交于点O,若N2=130。，则N1的度数为（）.

A.30°B.40°C.50°D.65°

【答案】B

【分析】由题意过点B作直线”/加，利用平行线的判定定理和性质定理进行分析即可得出

答案.

【详解】解：如图，过点B作直线/〃机,

二•直线m//n,IIIm,

.\Z2+Z3=180°,

VZ2=130°,

AZ3=50°,

VZB=90°,

Z4=90°-50°=40°,

VZ//m,

.\Z1=Z4=4O°.

故选：B.

【点睛】本题主要考查平行线的性质定理和判定定理，熟练掌握两直线平行，平面内其外一

条直线平行于其中一条直线则平行于另一条直线是解答此题的关键.

【变式2］（2020春.山西临汾.七年级统考期末）如图，一环湖公路的AB段为东西方向，

经过四次拐弯后，又变成了东西方向的FE段，则NB+NC+ND+ZE的度数是.

AB

FE

【答案】540°

【分析】分别过点C,D作AB的平行线CG,DH,进而利用同旁内角互补可得NB+NBCD

+ZCDE+ZE的大小.

【详解】解：如图，根据题意可知：AB〃EF,

分别过点C,D作AB的平行线CG,DH,

所以AB〃CG〃DH〃EF,

则NB+NBCG=180°,ZGCD+ZHDC=180°,ZHDE+ZDEF=180°,

ZB+ZBCG+ZGCD+ZHDC+ZHDE+ZDEF=180°x3=540°,

ZB+ZBCD+ZCDE+NE=540。.

故答案为：540°.

【点睛】考查了平行线的性质，解题的关键是作辅助线，利用平行线的性质计算角的大小.

【变式3](2022春.江苏扬州•七年级校考阶段练习)已知直线42〃。，尸为平面内一点,

连接B4、PD.

(1)如图1,已知NA=50。，ZZ)=150°,求乙4尸。的度数；

(2)如图2,判断NP42、ZCDP.NAPD之间的数量关系为.

(3)如图3,在(2)的条件下，AP±PD,DN平分/PDC,若NAPD,

求/AND的度数.

【答案】(1)ZAPD=80°；(2)ZPAB+ZCDP-ZAPD=180°；(3)ZAND=45°.

【分析】(1)首先过点尸作尸。〃Ab则易得AB〃PQ〃C。，然后由两直线平行，同旁内

角互补以及内错角相等，即可求解；

(2)作尸。〃AB,易得A3〃尸。〃CD,根据平行线的性质，即可证得

ZPAB+ZCDP-ZAPD=180°；

(3)先证明NNO。二;NB45,ZODN=^ZPDC,利用(2)的结论即可求解.

【详解】解：(1)VZA=50°,Z£)=150°,

过点尸作尸。〃A3,

ZA=ZAPQ=50°,

'：AB//CD,

：.PQ//CD,

：.NQ+NQPQ=180°,贝1」/。尸。二180。-150。=30。,

・•・ZAPD=ZAPQ+ZDPQ=500+30°=80°；

(2)ZB4B+ZCDP-ZAPD=180°,

如图，作尸0〃A5,

・•・ZPAB=ZAPQ,

*：AB//CD,

：.PQ//CD,

：.ZCDP+ZDPQ=180°,即NO尸。=1800-NCQP,

•/ZAPD=ZAPQ-ZDPQ,

：.ZAPD=ZB4B-(180°-ZCZ)P)=ZB4B+ZCDP-180°；

ZPAB+ZCDP-ZAPD=180°；

(3)设尸。交AN于O,如图，

N

C

VAPXPD,

・•・ZAPO=90°,

由题知/PAN+-ZPAB=ZAPD,即/PAN+-ZPAB=90°,

22

又；ZPOA+ZRiN=1800-ZAPO=90°,

：.ZPOA=-ZPAB,

2

ZPOA=ZNOD,

：.ZNOD=-ZPAB,

2

•:DN平分NPDC,

：.ZODN=-ZPDC,

2

NAND=180°-ZNOD-ZODN=180°-1(ZPAB+ZPDC),

由⑵得APAB+ZCDP-ZAPD=180°,

ZPAB+ZPDC=1SO°+ZAPD,

：.ZA^D=180°-1(ZB4B+ZPZ)C)

=180°-1(180°+ZAPO)

=180°-1(1800+90°)

=45°,

即/AND=45°.

【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义.注意掌握辅助线的作法，注意掌握

数形结合思想的应用.

人【经典例题三平行基本模型之“鸡翅”模型】

【例3】(2022秋・全国•八年级专题练习)①如图1,AB//CD,则ZA+ZE+NC=360。；②

如图2,AB//CD,贝l|/P=NA-NC；③如图3,AB//CD,贝！14=/4+/1；④如图4,

直线A3〃CD//EF,点。在直线E尸上，则4-4+々=180。.以上结论正确的个数是

()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】①过点E作直线所〃AB,由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得

出结论；

②如图2,先根据三角形外角的性质得出N1=/C+NP,再根据两直线平行，内错角相等

即可作出判断；

③如图3,过点E作直线E尸〃由平行线的性质可得出NA+NAEC-/1=180。，即得

ZAEC=18O°+Z1-NA；

④如图4,根据平行线的性质得出/a=N20RZy+ZCOF=180°,再利用角的关系解答

即可.

【详解】解：

①如图1,过点£作直线EF//AB,

'."AB//CD,

J.AB//CD//EF,

：.ZA+Zl=180°,Z2+ZC=180°,

/.ZA+ZB+ZAEC=36Q°,

故①错误；

②如图2,是ACEP的外角，

.\Z1=ZC+ZP,

'：AB//CD,

：.ZA=Z1,

即NP=NA-NC,

故②正确；

③如图3,过点E作直线E尸〃AB,

'：AB//CD,

：.AB//CD//EF,

：.ZA+Z3=180°,Z1=Z2,

AZA+ZAEC-/I=180。，

即NAEC=180°+N1-ZA,

故③错误；

④如图4,'：AB//EF,

:.Na=NBOF,

'JCD//EF,

；.NY+NC。/=180°,

'：ZBOF=ZCOF+Z^,

：.ZCOF=Za-Zp,

AZy+Za-Zp=180°,

故④正确；

综上结论正确的个数为2,

故选：B.

【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题

意作出辅助线是解答此题的关键.

【变式训练】

【变式1］（2021秋•八年级课时练习）（1）已知：如图（°）,直线求证：

ZABC+ZCDE=ZBCD；

（2）如图（6）,如果点C在与之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能

就本题作出什么新的猜想？

(a)

【答案】（1）见解析；（2）当点C在A8与EO之外时，ZABC-NCDE=NBCD,见解析

【分析】（1）由题意首先过点C作CfWAB,由直线AB〃£D,可得A2〃CP〃/）E然后由

两直线平行，内错角相等，即可证得N42C+/CDE=/BC。；

（2）根据题意首先由两直线平行，内错角相等，可得/ABC=/BFD,然后根据三角形外角

的性质即可证得ZABC-ZCDE=ZBCD.

【详解】解：（1）证明：过点C作C/〃AB,

B

,:AB〃ED,

J.AB//ED//CF,

，ZBCF=ZABC,ZDCF=ZEDC,

：.ZABC+ZCDE=ZBCD；

(2)结论：ZABC-ZCDE=ZBCD,

证明：如图：

,:AB〃ED,

NABC=NBFD,

在△DFC中，ZBFD=ZBCD+ZCDE,

：.ZABC=ZBCD+ZCDE,

：.ZABC-ZCDE^ZBCD.

若点C在直线AB与之间，猜想ZABC+ZBCD+ZCDE=360°,

'：AB//ED//CF,

：.ZABC+NBCF=180°,ZCDE+NDCF=180°,

ZABC+ZBCD+ZCDE=ZABC+NBCF+ZDCF+ZCDE=360°.

【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本

题的关键，注意掌握辅助线的作法.

【变式2](2021春.广东东莞.七年级东莞市光明中学校考期中)(1)如图(1)AB//CD,

猜想N8尸。与NB、的关系，说出理由.

(2)观察图(2),已知A8〃CD,猜想图中的28PO与/B、的关系，并说明理由.

(3)观察图(3)和(4),已知A8〃CD,猜想图中的/8P。与48、的关系，不需要

说明理由.

【答案】（1）ZB+ZBPD+ZD=360°,理由见解析；（2）ZBPD=ZB+ZD,理由见解析；（3）

NBPD=/D-NB或/BPD=NB-/D,理由见解析

【分析】（1）过点尸作班'〃根据两直线平行，同旁内角互补即可求解；

（2）首先过点P作由AB〃CD,可得PE〃AB〃CD,根据两直线平行，内错角

相等，即可得Z2=ZD,则可求得

（3）由AB〃CO,根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得/8PO与

NB、NO的关系.

【详解】解：（1）如图（1）过点尸作E尸〃

：.ZB+ZBPE=18Q°,

'：AB//CD,EF//AB,

：.EF//CD,

：.ZEPD+ZD=180°,

：.ZB+ZBPE+ZEPD+ZD=36Q°,

：.ZB+ZBPD+ZD=360°.

(2)ZBPD=ZB+ZD.

理由：如图2,过点尸作PE〃AB,

(2)

9：AB//CD,

J.PE//AB//CD,

・・・N1=NB,Z2=ZD,

ZBPD=Z1+Z2=ZB+ZD.

(3)如图(3),ZBPD=ZD-ZB.

理由：\'AB//CD,

.\Z1-ZD,

'：Z1=ZB+ZBPD,

：.ZD=ZB+ZBPD,

即

如图(4),ZBPD=ZB-ZD.

(4)

理由：'：AB//CD,

：.Z1=ZB,

'：Z\=ZD+ZBPD,

：.NB=ND+NBPD,

即NBP£)=/aND.

【点睛】此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质.此题难度不大，解题的关键是注意

掌握平行线的性质，注意辅助线的作法.

【变式3】(2022•全国•七年级假期作业)已知，AE//BD,ZA^ZD.

(1)如图1,求证：AB//CD；

(2)如图2,作，54E的平分线交。于点尸，点G为上一点，连接FG,若NCWG的

平分线交线段AG于点连接AC,若NACE=44C+/BGM,过点H作加1.用交FG

的延长线于点M,且3/E-5NAFH=18。，求/E4F+NGMH的度数.

【答案】(1)见解析；(2)72°

【分析】(1)根据平行线的性质得出ZA+ZB=180。，再根据等量代换可得NB+NO=180。，

最后根据平行线的判定即可得证；

(2)过点E作b//CD,延长。。至Q,过点M作根据平行线的性质及等量代

换可得出NECQ=ZBGM=/D尸G,再根据平角的含义得出NECF=NCFG,然后根据平行

线的性质及角平分线的定义可推出NBHF=ZCFH,ZCFA=ZFAB；设

/FAB=a,/CFH=0,根据角的和差可得出NAEe=2NA7",结合已知条件

3NAEC-5NAFH=180。可求得NA/0=18。，最后根据垂线的含义及平行线的性质，即可得

出答案.

【详解】(1)证明：・・・AE//5。

/.ZA+ZB=180°

・.・NA=ND

.•.N5+ND=180。

:.AB//CD；

(2)过点石作EP//CD,延长0c至。，过点M作ACV〃Ag

­.­AB//CD

ZQCA=ZCAB,/BGM=NDFG,/CFH=NBHF,ZCFA=FAG

・・•ZACE=ABAC+ZBGM

ZECQ+ZQCA=ABAC+ZBGM

ZECQ=ZBGM=ZDFG

・・・ZECQ+ECD=180°,ZDFG+CFG=180°

：./ECF=/CFG

•：ABIICD

:.AB//EP

ZPEA=NEAB,APEC=NECF

・.・ZAEC=ZPEC-ZPEA

/.ZAEC=ZECF-ZEAB

ZECF=ZAEC-^-ZEAB

•・♦A厂平分/B4后

ZEAF=ZFAB=-/EAB

2

FH平分/CFG

/.ZCFH=ZHFG=-/CFG

2

QCD//AB

ZBHF=ZCFH,ZCFA=ZFAB

设ZFAB=a,/CFH=0

•/ZAFH=ZCFH-ZCFA=Z.CFH-ZFAB

/.AAFH=/3-a,ABHF=ACFH=/3

ZECF+2ZAFH=ZAEC+/EAB+2ZAFH=ZAEC+2/7

ZECF+2ZAFH=NE+2ZBHF

,\ZAEC=2ZAFH

•/3ZAEC-5ZAFH=180°

..ZAFH=18°

:"FHM=90。

NGHM=90。—0

・.•ZCFM-^-ZNMF=180°

ZHMB=ZHMN=90。—夕

\-ZEAF=ZFAB

ZEAF=ZCFA=ZCFH-ZAFH=尸一18。

/.ZEAF+ZGMH=/3-lS°+90°-/3=12°

:.ZEAF+ZGMH=12°.

【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的定义，能灵活根据平行线的性质和判

定进行推理是解此题的关键.

为【经典例题四平行基本模型之“骨折”模型】

【例4】（2021•全国•九年级专题练习）如图所示，A5〃CD,ZE=37°,/C=20°,则NEA5

的度数为.

Ar------------------B

CD

E

【答案】57°

【分析】根据三角形内角和180。以及平行线的性质：1、如果两直线平行，那么它们的同位

角相等；2、如果两直线平行，那么它们的同旁内角互补；3、如果两直线平行，那么它们

的内错角相等，据此计算即可.

【详解】解：设AE、CD交于点、F,

VZE=37O,ZC=20°,

ZCF£=180°-37o-20o=123°,

ZAFD=123°,

'：AB//CD,

ZAFD+ZEAB=ISO°,

.•.ZEAB=180°-123o=57°,

故答案为：57°.

【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，熟知平行的性质是解题的关键.

【变式训练】

【变式11（2022春・湖北黄冈•七年级校考期中）如图，已知AB//DE,ZABC=80°,ZCD£=140°,

则N8CZX.

【答案】40°

【分析】延长即交于根据两直线平行，内错角相等证明再求解

ZCMD,再利用三角形的外角的性质可得答案.

【详解】解：延长瓦＞交BC于M,

AB//DE,

.,.ZBMD=ZABC=80°,

,NCMD=180°-ZBMD=100°；

又；ZCDE=ZCMD+ZC,

ZBCD=Z.CDE-Z.CMD=140°-100°=40°.

B

故答案是：40°

【点睛】本题考查了平行线的性质.三角形的外角的性质，邻补角的定义，掌握以上知识是

解题的关键.

【变式2］（2022春.江苏盐城•七年级景山中学校考阶段练习）如图，若ABHCD,则

Z1+Z3-Z2的度数为

【答案】180°

【分析】延长EA交CD于点F,则有N2+NEFC=N3,然后根据AB//C。可得N1=NEFD,

最后根据领补角及等量代换可求解.

【详解】解：延长EA交CD于点F,如图所示：

AB//CD,

Z1=ZEFD,

Z2+ZEFC=Z3,

ZEFC=Z3-Z2,

VZEFC+ZEFD=180°,

Zl+Z3-Z2=180°；

故答案为180°.

［点睛】本题主要考查三角形外角的性质及平行线的性质，熟练掌握三角形外角的性质及平

行线的性质是解题的关键.

【变式3](2021春・全国•七年级专题练习)(1)如图,AB//CZ),CF平分/DCE,若NDCF=30。,

/E=20。，求NABE1的度数；

(2)如图，AB//CD,ZEBF=2ZABF,C尸平分/OCE,若/尸的2倍与/E的补角的和为

190°,求/A8E1的度数.

(3)如图，尸为(2)中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分/BPG,GN//PQ,

GM平分NOGP,若/B=30。，求/MGN的度数.

【答案】(1)ZABE=40°；(2)ZABE=30°；(3)ZMGN=15°.

【分析】(1)过E作EM〃AS根据平行线的判定与性质和角平分线的定义解答即可；

(2)过E作过P作版〃A8,根据平行线的判定与性质，角平分线的定义以及

解一元一次方程解答即可；

(3)过尸作包〃AB,根据平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外

角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义解答即可.

【详解】解：(1)过E作

图1

9：AB//CD,

：.CD//EM//AB,

ZABE=ZBEM,ZDCE=