2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用课时作业含解析新人教A版必修4

PAGE三角函数模型的简洁应用(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满意函数F(t)＝50＋4sineq\f(t,2)(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的()A．[0,5] B．[5,10]C．[10,15] D．[15,20]解析：由2kπ－eq\f(π,2)≤eq\f(t,2)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10,15]⊆[3π，5π]，故选C.答案：C2．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动，已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：s1＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,6)))，s2＝5coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t－\f(π,3))).则在时间t＝eq\f(2π,3)时，s1与s2的大小关系是()A．s1＞s2 B．s1＜s2C．s1＝s2 D．不能确定解析：当t＝eq\f(2π,3)时，s1＝－5，s2＝－5，所以s1＝s2.答案：C3．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过eq\f(1,2)周期后，乙的位置将传播至()A．甲 B．乙C．丙 D．丁

解析：相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度为半个周期，故选C.答案：C4．一根长l厘米的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摇摆时，离开平衡位置的位移s(厘米)和时间t(秒)的函数关系是：s＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(g,l))t＋\f(π,3))).已知g＝980厘米/秒，要使小球摇摆的周期是1秒，线的长度应当是()A.eq\f(980,π)cm B．eq\f(245,π)cmC.eq\f(245,π2)cm D．eq\f(980,π2)cm解析：由周期T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,\r(\f(g,l)))＝2πeq\r(\f(l,g))，所以小球的摇摆周期T＝2πeq\r(\f(l,g))，所以l＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T,2π)))2，代入g＝980，T＝1，得l＝980eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2π)))2＝eq\f(245,π2)cm.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)5．已知某种交变电流I(A)随时间t(s)的改变规律可以拟合为函数I＝5eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt－\f(π,2)))，t∈[0，＋∞)，则这种交变电流在0.5s内往复运动的次数为________．解析：周期T＝eq\f(1,50)s，∴频率为每秒50次，∴0.5秒内往复运动的次数为25.答案：256．某城市一年中12个月的月平均气温y与月份x的关系可近似地用函数y＝a＋Acoseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－6))(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃.则10月份的月平均气温为________℃.解析：依据题意得28＝a＋A,18＝a＋Acoseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)12－6))＝a－A，解得a＝23，A＝5，所以函数y＝23＋5coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－6))，令x＝10，得y＝23＋5coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)10－6))＝23＋5coseq\f(2π,3)＝20.5.答案：20.57．有一冲击波，其波形为函数y＝－sineq\f(πx,2)的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰，则正整数t的最小值是________．解析：由y＝－sineq\f(πx,2)的图象知，要使在区间[0，t]上至少有2个波峰，必需使区间[0，t]的长度不小于2T－eq\f(T,4)＝eq\f(7T,4)，即t≥eq\f(7,4)·eq\f(2π,|ω|)＝eq\f(7,4)·eq\f(2π,\f(π,2))＝7.答案：7三、解答题(每小题10分，共20分)8．如图所示，一个摩天轮半径为10m，轮子的底部在地面上2m处，假如此摩天轮按逆时针转动，每30s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时起先计时．(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17m.解析：(1)设在ts时，摩天轮上某人在高hm处．这时此人所转过的角为eq\f(2π,30)t＝eq\f(π,15)t，故在ts时，此人相对于地面的高度为h＝10sineq\f(π,15)t＋12(t≥0)．(2)由10sineq\f(π,15)t＋12≥17，得sineq\f(π,15)t≥eq\f(1,2)，则eq\f(5,2)≤t≤eq\f(25,2).故此人有10s相对于地面的高度不小于17m.9．已知电流I(A)与时间t(s)的关系为I＝Asin(ωt＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2))).(1)如图所示的是该函数在一个周期内的图象，求该函数的解析式；(2)假如t在随意一段eq\f(1,150)s的时间内，电流I都能取到最大值和最小值，那么ω的最小值是多少？解析：(1)由图可知A＝300，周期T＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,180)＋\f(1,900)))＝eq\f(1,75)，∴ω＝eq\f(2π,T)＝150π.又当t＝eq\f(1,180)时，I＝0，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(150π·\f(1,180)＋φ))＝0，而|φ|＜eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,6).故所求的函数解析式为I＝300sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(150πt＋\f(π,6))).(2)依题意，周期T≤eq\f(1,150)，即eq\f(2π,ω)≤eq\f(1,150)，∴ω≥300π，故ω的最小值为300π.eq\x(尖子生题库)☆☆☆10．通常状况下，同一地区一天的温度随时间改变的曲线接近函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象.2024年1月下旬荆门地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2℃.(1)求出荆门地区该时段的温度函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈[0,24))的表达式；(2)1月29日上午9时某中学将实行期末考试，假如温度低于10℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应当开空调吗？解析：(1)由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＋b＝14，,－A＋b＝－2))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝8，,b＝6，))易知eq\f(T,2)＝14－2，所以T＝24，所以ω＝eq\f(π,12)，则y＝8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)x＋φ))＋6.易知8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)·2＋φ))＋6＝－2，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋φ))＝－1，故eq\f(π,6)＋φ＝－eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，又|φ|<π，得φ＝－eq\f(2π,3)，所以y＝8sine