第1章 特殊平行四边形（2类知识拓展）

第1章特殊平行四边形单元复习提升（知识拓展）知识拓展拓展01特殊平行四边形的综合判断题典例1．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折型△AFE，延长EF交BC于点G，连AG、CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③AG∥CF；④∠AGB+∠AED=145°；⑤S△EFC=

A．2 B．3 C．4 D．5跟踪训练1．如图，在正方形ABCD中，AB=8，若点E在对角线AC上运动，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF、CF．点P在CD上，且．给出以下四个结论：

①EF=2DE，②，③线段PF的最小值是32，④△CFE

A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④跟踪训练2．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在边AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在边AD上的点H处，点D落在点G处，有下列四个结论：①四边形CFHE是菱形；②平分∠DCH；③线段长的取值范围是3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF=25，其中，正确的是（

）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④跟踪训练3．如图（1），点P为菱形ABCD对角线AC上一动点，点E为边CD上一定点，连接PB，PE，．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时，△PBE的面积y随AP的长度x变化的关系图象（当点P在上时，令y=0），则菱形ABCD的周长为（

）A．83 B．85 C．20跟踪训练4．如图，在菱形纸片ABCD中，∠ABC=60°，E是CD边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线AE上的点G处，折痕为，FG与CD交于点H，有如下结论：①∠CFH=30°；②DE=33AE；③CH=GH；④S△A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④拓展02特殊平行四边形的材料信息探究题典例2．综合与实践：在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，现有矩形纸片ABCD，AB=12，BC=8．

(1)操作发现操作一：如图1，将矩形ABCD纸片沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，将纸片展平再次折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，然后展平得到图2，则以点A，F，C，E(2)实践探究操作二：如图3，在矩形纸片ABCD中，点G为AB的中点，将纸片沿折叠，使点B落在点B'处，连接AB①判断AB'与折痕②求AB(3)拓展应用将矩形纸片ABCD裁剪为AB=8，BC=6，在图3的情形下，若G为AB上任意一点，其他条件不变，当点A与点B'距离最小时，直接写出BG跟踪训练1．阅读材料：在数轴上，表示一个点；在平面直角坐标系中，表示一条直线；以二元一次方程x+y=2的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y=−x+2的图象，它也是一条直线．如图1，在平面直角坐标系中，不等式x≤2表示一个平面区域，即直线及其左侧的部分；如图2，不等式y≤−x+2也表示一个平面区域，即直线

y=−x+2及其下方的部分．请根据以上材料回答问题：(1)图3阴影部分（含边界）表示的是___________（填写不等式）表示的平面区域；(2)如图4，请求出表示阴影部分平面区域（含边界）的不等式组；(3)如图5，点A在x轴上，点B的坐标为（0，1），且∠ABO=60°，点P为△ABO内部一点（含边界），过点P分别作，PD⊥AB，，垂足分别为C，D，E，若PC≤PE≤PD，则所有点P组成的平面区域的面积为___________．过关训练一、单选题1．矩形，菱形，正方形都具有的性质是（

）A．对角线相等 B．对角线互相平分C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠BAD=110°，则∠OBC的度数为（

A．30° B．35° C．55° D．70°3．下列四个命题中，真命题是（

）A．对角线垂直且相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形C．一组邻边相等的平行四边形是正方形D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形4．已知矩形的较短边长为6，对角线相交成60°角，则这个矩形的较长边的长是（

）A．36 B．63 C．95．如图，E是矩形ABCD的边DC上一点，AB=AE,∠AED=30°，则∠BEC等于（

A．60° B．70° C．75° D．80°6．如图，在正方形ABCD中，E是AC上的一点，且，则∠EBC的度数是（)A．20度 B．22.5度 C．30度 D．45度7．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接，若OA=4，OH=3，则DH的长（）A．125 B．245 C．4858．如图所示，在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，将矩形沿BD折叠，点A落在点E处，DE与BC交于点F，则重叠部分的面积是(

)A．20 B．16 C．12 D．109．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，在其中一张纸条转动的过程中，下列结论一定成立的是（）A．AD=CD B．四边形ABCD面积不变C． D．四边形ABCD周长不变10．如图，在正方形ABCD中，E、F是射线BD上的动点，且∠EAF=45°，射线AE、分别交BC、CD延长线于G、，连接，在下列结论中：①AE=CE；②BG=GH+DH；③EF2=BE2+DF2；④⑤S△AGH:A．5个 B．4个 C．3个 D．2个二、填空题11．菱形的对角线之比为3：4，且面积为24，则它的周长为．12．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是(只填写序号)．13．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．若AC=20，则四边形OCED的周长是．14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ABC=80°，E是线段AO上一点，且BC=CE，则的度数是°．15．如图，在菱形ABCD中，E，F，G分别是AD，AB，CD的中点，且FG=10cm，EF=6cm，则菱形ABCD的面积是16．如图，在正方形ABCD中，AB=3，延长BC到点E，使CE=1，连接DE，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP和△DCE全等时，t的值为．17．如图，正方形ABCD的边长为3cm，点E为CD边上一点，∠DAE=30°，点M为AE的中点，过点M作直线分别与AD，BC相交于点P，Q.若PQ=AE，则AP长为.18．如图，菱形ABCD中，∠B=60°,AB=7，点E在对角线AC上，且6AE=EC，点F在CB延长线上，连接EF，作∠FEG=60°．交DC延长线于点G，CG=4，则FC=，延长FG，交于点H，则EH的长是．三、解答题19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E．(1)求证：OC=1(2)若AB=5，BD=8，求△BDE20．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD边上，，连接AF，BF．(1)求证：四边形BFDE是矩形；(2)若平分∠DAB，CF=3，DF=5，求四边形BFDE的面积．21．如图是由边长为1的小正方形构成的8×7的网格，点A，B均在格点上．(1)在图1中画出以AB为边的菱形ABCD，且点C和点D均在格点上；(2)在图2中画出以AB为对角线的矩形AEBF，且点E和点F均在格点上（画出一个即可）．22．如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，连接AF，且EA⊥AF．(1)求证：DE＝BF；(2)若AH平分∠FAE交线段BC上一点H，连接EH，请判断线段DE、BH、HE三者存在怎样的数量关系？并加以证明．23．如图，DF，EF是△ABC(1)围成的四边形是否必定是平行四边形？(2)在什么条件下，围成的四边形是菱形？(3)在什么条件下，围成的四边形是矩形？(4)你还能发现其他什么结论吗？24．如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，过点D作，且DE=12AC，连接CE,OE，连接AE交OD于点（1）求证：OE=CD；（2）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60∘，求25．如图，在正方形ABCD中．点E为对角线AC上一点．过点E作FH⊥AC于点E交边AD，AB于点F，H．连接CF，CH．(1)求证：AF=AH；(2)若正方形ABCD的边长为1，当△AFH与△CDF的面积相等时，求AE的长．26．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段DG与、AE分别相交于点、K．(1)求证：∠ABE=(2)判断与DG的关系，并说明理由；(3)若AB=62，AG=6，求DK27．如图，已知四边形ABCD是正方形，AB=22，点E为对角线AC上一动点，连接DE．过点E作EF⊥DE，交射线BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG．连接．(1)连接，求证：BE=DE．(2)求证：矩形DEFG是正方形．(3)探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．28．已知正方形ABCD的边长为4，E是CD上一个动点，以点E为直角顶点，在正方形外侧等腰直角三角形CEF，连结、BD、FD．（1）BD与CF的位置关系是__________．（2）①如图1，当CE=4（即点E与点D重合）时，△BDF②如图2，当CE=2（即点E为CD的中点）时，△BDF③如图3，当CE=3时，△BDF（3）如图4，根据上述计算的结果，当E是CD上任意一点时，请提出你对△BDF面积与正方形ABCD的面积之间关系的猜想，并证明你的猜想．29．如图1，已知线段BE＝8，点C是线段BC上的动点，分别以BC，CE为边在BE的同侧作正方形ABCD和正方形CEFG，连接AF．（1）若BC＝7，则AF的长为；（2）如图2，连接BD交AF于点H，求证：点H恰为AF中点；（3）如图3，连接AC，CF，HG并延长HG交CF于点M，求证：四边形CMHO为矩形；（4）如图4，连接OM，直接写出OM的最小值．

第1章特殊平行四边形单元复习提升（知识拓展）知识拓展拓展01特殊平行四边形的综合判断题典例1．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折型△AFE，延长EF交BC于点G，连AG、CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③AG∥CF；④∠AGB+∠AED=145°；⑤S△EFC=

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根据正方形的性质得到AB=AD=DC=6，，求出DE=2，AF=AB，根据HL推出Rt△ABG≌Rt△AFG；推出BG=FG，∠AGB=∠AGF，设BG=x，则CG=BC−BG=6−x，GE=GF+EF=BG+DE=x+2，在Rt△ECG中，由勾股定理得出(6−x)2+42=(x+2)2，求出x=3，得出BG=GF=CG；在△AEG中可推得④正确；求出∠AGB=∠FCG【解析】

∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=DC=6，∵CD=3DE，∴DE=2，∵将△ADE沿AE对折至△AFE∴DE=EF=2，AD=AF，∠∵∠ABG=90°∴∠ABG=∠AFG，又AF=AD=AB，AG=AG，∴Rt△ABG≌∴BG=FG，∠设BG=x，则CG=BC−BG=6−x，GE=GF+EF=BG+DE=x+2，在Rt△ECG中，由勾股定理得出即(6−x)求出x=3，∴BG=GF=CG，②正确；∵CG=GF，∴∠∵∠BGF=∵∠AGB=∴∠AGB=∴AG∥CF，由△ADE沿AE对折至△AFE，得：∠DAE=由Rt△ABG≌∴∠DAE+∵∠BAD=∴∠FAE+∠FAG=45°，即∠EAG=45°∴在△AEG中，∠AEF+∴∠AGB+∠AED=145°∵S∴S△EFC=25×1故答案为①②③④⑤，正确答案个数为5个，故选：D．【点睛】此题主要考查正方形的性质与全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知折叠的性质利用勾股定理进行求解．跟踪训练1．如图，在正方形ABCD中，AB=8，若点E在对角线AC上运动，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF、CF．点P在CD上，且．给出以下四个结论：

①EF=2DE，②，③线段PF的最小值是32，④△CFE

A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④【答案】A【分析】①根据旋转的性质证明△DEF①根据正方形的性质，和旋转的性质，利用“SAS”证明△ADE≌△CDF，得出AE=CF，∠DCF=∠DAE=45°，证明∠ECF=③根据∠ECF=90°，得出点F总是在过点C与AC垂直的直线上运动，过点P作PH⊥CF垂足为点H，此时PF最小值即为PH的长，求出PH的长即可；④根据，得出CF+CE=AE+CE=AC=2CD=82，表示出【解析】解：根据旋转可知，DE=DF，∠EDF=90°∴△DEF∴EF=2DE，故∵四边形ABCD为正方形，∴∠ADC=∠BCD=∠BAD=90°，AD=CD=BC=AB=8，∠DAC=∴∠ADE+∴∠ADE=又∵AD=CD，DE=DF，∴△ADE∴AE=CF，∠DCF=∴∠ECF=∴EF2=C③∵∠ECF=90°∴点F总是在过点C与AC垂直的直线上运动，过点P作PH⊥CF垂足为点

∵，∴CP=3∵∠PHC=90°，∠PCH=45°∴∠∴PH=CH，∴△PCHi∴PH=2即PF的最小值为32，故③④∵，∴CF+CE=AE+CE=AC=2∵==−=−1∵CE−42∴−CE−4∴−∴当CE=42时，的面积最大，且最大值为16，故④正确，符合题意；综上分析可知，其中正确的是①②③④．故选：A．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，根据“SAS”证明△ADE跟踪训练2．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在边AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在边AD上的点H处，点D落在点G处，有下列四个结论：①四边形CFHE是菱形；②平分∠DCH；③线段长的取值范围是3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF=25，其中，正确的是（

）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】C【分析】先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；由菱形的性质可得∠ECH=∠FCH，由点C落在AD上的一点H处，∠ECD不一定等于30°，可判断②；当点H与点A重合时，有最小值，由勾股定理可求的最小值，若CD与AD重合时，有最大值，由正方形的性质可求的最大值，可判断③；如图，过点H作于M，由勾股定理可求EF的长，可判断④；即可求解．【解析】解：∵HE∥∴∠HEF=∵∠EFC=∴∠HEF=∴HE=HF，∵FC=FH，∴HE=CF，∵EH∥∴四边形CFHE是平行四边形，∵CF=FH，∴四边形CFHE是菱形，故①正确；∵四边形CFHE是菱形，∴∠ECH=若平分∠DCH，∴∠ECD=∴∠ECD=∵点C落在AD上的一点H处，∴∠ECD∴不一定平分∠DCH，故②错误；当点H与点A重合时，有最小值，设BF=x，则AF=FC=8−x，在Rt△ABF中，AB即42+x∴BF=3，若CD落在AD上时，有最大值，∴四边形CDHF是正方形，∴CF=4，∴最大值为4，∴3≤BF≤4，故③正确；如图，过点F作FM⊥BC于

∴四边形HMFB是矩形，∴AB=MF=4，AM=BF=3，∵四边形AFCE是菱形，∴AE=AF=5，∴ME=2，∴EF=ME2故选C.【点睛】本题考查了翻折变换的性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理的应用，难点在于灵活运用菱形的判定与性质与勾股定理等其它知识有机结合．跟踪训练3．如图（1），点P为菱形ABCD对角线AC上一动点，点E为边CD上一定点，连接PB，PE，．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时，△PBE的面积y随AP的长度x变化的关系图象（当点P在上时，令y=0），则菱形ABCD的周长为（

）A．83 B．85 C．20【答案】C【分析】根据图象可知，当x=0时，即点P与点A重合，此时S△ABE=12，进而求出菱形的面积，当x=8时，此时点P与点C重合，即AC=8，连接【解析】解：由图象可知：当x=0时，即点P与点A重合，此时S△∴S菱形ABCD当x=8时，此时点P与点C重合，即AC=8，连接BD，交AC于点O，则：BD⊥∴S菱形ABCD∴BD=6，∴OB=OD=3，∴AB=O∴菱形ABCD的周长为4×5=20；故选C．【点睛】本题考查菱形的性质和动点的函数图象．熟练掌握菱形的性质，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键．跟踪训练4．如图，在菱形纸片ABCD中，∠ABC=60°，E是CD边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线AE上的点G处，折痕为，FG与CD交于点H，有如下结论：①∠CFH=30°；②DE=33AE；③CH=GH；④S△A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④【答案】B【分析】连接AC，得到△ACD是等边三角形，根据三线合一的性质得到AG⊥CD，由折叠得∠G=∠B=60°，求出∠C,∠CHF的度数即可判断①；利用30度角的性质求出DE，勾股定理求出AE，即可判断②；连接，由折叠得AG=AB=AC，根据等边对等角求出∠ACG=∠AGC，得到∠HCG=∠HGC，即可判断③；过点F作FM⊥AB于点M，先求出∠BAG=90°，由折叠得∠BAF=∠GAF=45°，MF=3BM，设BM=x，则AM=MF=3x，求出S△ABF，再得到AD=CD=AB=1+3x【解析】解：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∠D=∴△ACD∵E是CD边的中点，∴AG⊥∴∠AED=由折叠得∠G=∴∠CHF=∵∠C=180°−∴∠CFH=30°，故①∵∠DAE=90°−∴AD=2DE，∴AE=A∴DEAE=DE3DE连接，由折叠得AG=AB=AC，∴∠ACG=∵∠ACD=∴∠HCG=∴CH=GH，故③正确；过点F作FM⊥AB于点∵∠BAD=180°−∴∠BAG=90°由折叠得∠BAF=∴∠AFM=45°=∴AM=FM，∵∠BFM=90°−∴MF=3设BM=x，则AM=MF=3∴AB=1+3x∵AD=CD=AB=1+∴AE=3∴S菱形ABCD∴四边形的面积=S菱形ABCD∴S△ABF：故选：B．【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质，三线合一的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键．拓展02特殊平行四边形的材料信息探究题典例2．综合与实践：在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，现有矩形纸片ABCD，AB=12，BC=8．

(1)操作发现操作一：如图1，将矩形ABCD纸片沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，将纸片展平再次折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，然后展平得到图2，则以点A，F，C，E(2)实践探究操作二：如图3，在矩形纸片ABCD中，点G为AB的中点，将纸片沿折叠，使点B落在点B'处，连接AB①判断AB'与折痕②求AB(3)拓展应用将矩形纸片ABCD裁剪为AB=8，BC=6，在图3的情形下，若G为AB上任意一点，其他条件不变，当点A与点B'距离最小时，直接写出BG【答案】(1)菱形，理由见解析(2)①AB'∥(3)3【分析】（1）根据折叠可得AE=EC，AF=FC，证明△ECM≌△FAM（2）①理由折叠的性质可得∠B'GB=2∠B'②连接BB'交于M，证明∠AB'B=90°（3）连接AC，根据AB'≥AC−B'C可知当A、B'、C三点共线时，A【解析】（1）解：以点A，F，C，E为顶点的四边形是菱形．理由如下：如图，连接EA，CF，设EF与AC交于点M，由折叠可知，∠AME=∠CME=90°∴AE=EC，AF=FC，∵四边形ABCD是矩形，∴EC//∴∠ECM=∠FAM∴△ECM∴EC=FA，∴AE=EC=FC=FA，∴以点A，F，C，E为顶点的四边形是菱形；（2）解：①AB理由如下：∵折叠，∴B'G=BG，又∠B∴∠B∵G为AB中点，∴AG=BG=B∴∠B又∠B∴∠B∴∠A∴AB②连接BB'交于M，∵B'∴∠G又∠B'AG=∴∠AB'∵矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=8，G为AB中点，∴BG=6，∠B=90°∴CG=B∵折叠，∴BM=B'∵12∴BM=BC∴B'∴AB（3）解：连接AC，∵∠B=90°，AB=8，BC=6∴AC=10，∵折叠，∴B'∵AB∴当A、B'、C三点共线时，AB'最小，A如图，设BG=x，则B'G=x，在Rt△AB∴42解得x=3，∴BG=3．【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，平行线的判定，三角形外角的性质等知识，灵活应用所学知识解决问题是解本题的关键．跟踪训练1．阅读材料：在数轴上，表示一个点；在平面直角坐标系中，表示一条直线；以二元一次方程x+y=2的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y=−x+2的图象，它也是一条直线．如图1，在平面直角坐标系中，不等式x≤2表示一个平面区域，即直线及其左侧的部分；如图2，不等式y≤−x+2也表示一个平面区域，即直线

y=−x+2及其下方的部分．请根据以上材料回答问题：(1)图3阴影部分（含边界）表示的是___________（填写不等式）表示的平面区域；(2)如图4，请求出表示阴影部分平面区域（含边界）的不等式组；(3)如图5，点A在x轴上，点B的坐标为（0，1），且∠ABO=60°，点P为△ABO内部一点（含边界），过点P分别作，PD⊥AB，，垂足分别为C，D，E，若PC≤PE≤PD，则所有点P【答案】(1)y≥x+2；(2)y≤−1(3)3−3【分析】（1）求出经过(−2,0)，的直线为y=x+2，可得图3阴影部分（含边界）表示的是y≥x+2表示的平面区域；（2）用待定系数法求出直线m解析式为y=−12x+3，直线n解析式为y=3x+3（3）作∠AOB的平分线交AB于，∠OBA的平分线交OA于K，的平分线交OB于T，BK，，AT交于G，满足条件的P在内（包括边界），再求出，列方程求得，用三角形面积公式可得答案．【解析】（1）设经过(−2,0)，的直线为y=kx+2，∴−解得k=1，∴经过(−2,0)，的直线为y=x+2，观察图象可知，图3阴影部分（含边界）表示的是y≥x+2表示的平面区域；故答案为：y≥x+2；（2）设直线m解析式为y=k1x+3，解得k1∴直线m解析式为y=−1设直线n解析式为，将(−1,0)代入得：，解得k2∴直线n解析式为y=3x+3，观察图象可知，阴影部分平面区域（含边界）的不等式组为y≤−1（3）作∠AOB的平分线交AB于，∠OBA的平分线交OA于K，的平分线交OB于T，BK，，AT交于G，如图：

满足条件的P在内（包括边界），即图中阴影部分，在Rt△BOC中，．，∴OE=GE，OC=CG，，∴四边形是正方形，设，则BE=3x，，，，故答案为：3−3【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，不等式（组)，三角形面积等知识，解题的关键是数形结合思想的应用．过关训练一、单选题1．矩形，菱形，正方形都具有的性质是（

）A．对角线相等 B．对角线互相平分C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直【答案】B【分析】根据矩形、菱形、正方形的性质一一判断即可．【解析】解：A、只有正方形和矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，不符合题意；B、矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分，符合题意；C、只有菱形和正方形的对角线平分一组对角，矩形的对角线不一定平分一组对角，不符合题意；D、只有菱形和正方形的对角线互相垂直，矩形的对角线不一定互相垂直，不符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查了矩形、菱形、正方形的相关性质，解决本题的关键是结合矩形、菱形、正方形的相关性质进行分析．2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠BAD=110°，则∠OBC的度数为（

A．30° B．35° C．55° D．70°【答案】B【分析】根据菱形的性质得到AD∥BC，【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC∵∠，∴∠故选B．【点睛】本题主要考查了菱形的性质和平行线的性质，熟知菱形的对角线平分一组对角是解题的关键．3．下列四个命题中，真命题是（

）A．对角线垂直且相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形C．一组邻边相等的平行四边形是正方形D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形【答案】D【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理等知识逐项判定即可．【解析】解：选项，对角线相等且互相垂直的四边形是菱形，若对角线不互相平分，则不是菱形，故原命题为假命题；B选项，对角线互相平分说明是平行四边形，菱形的判定定理：对角线垂直的平行四边形是菱形，故原命题为假命题；C选项，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故原命题为假命题；D选项，对角线相等且互相平分的四边形是矩形，为真命题；故选：D．【点睛】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握菱形、矩形、正方形的判定定理是解题的关键．4．已知矩形的较短边长为6，对角线相交成60°角，则这个矩形的较长边的长是（

）A．36 B．63 C．9【答案】B【分析】根据矩形对角线相等且互相平分的性质和题中的条件易得△AOB为等边三角形，即可得到矩形对角线的长，进而求解即可．【解析】如图：AB=6，∠AOB=60°，∵四边形是矩形，AC，BD是对角线，∴OA=OB=OC=OD=12BD=1在△AOB中，OA=OB，∠AOB=60°，∴OA=OB=AB=6，BD=2OB=12，∴BC=12故选：B．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理等内容，熟悉性质是解题的关键．5．如图，E是矩形ABCD的边DC上一点，AB=AE,∠AED=30°，则∠BEC等于（

A．60° B．70° C．75° D．80°【答案】C【分析】先由矩形证得AB∥CD，从而得，再由等腰三角形的性质求出等腰三角形的底角，再由平行线性质得出结论．【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∴∵，∴∠∴，∵AB∴，故选：C【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及等腰三角形的性质，正确得出∠ABE6．如图，在正方形ABCD中，E是AC上的一点，且，则∠EBC的度数是（)A．20度 B．22.5度 C．30度 D．45度【答案】B【分析】在正方形中可知∠BAC＝45°，由AB＝AE，进而求出∠ABE，又知∠ABE＋∠EBC＝90°，故能求出∠EBC．【解析】解：在正方形ABCD中，∠BAC＝45°，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝67.5°，∵∠ABE＋∠EBC＝90°，∴∠EBC＝22.5°，故选B．【点睛】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握基础知识是解题关键．7．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接，若OA=4，OH=3，则DH的长（）A．125 B．245 C．485【答案】B【分析】根据菱形的性质得O为BD的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得BD的长度，利用勾股定理求得AB的长，最后由菱形的面积公式求解．【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥∵DH⊥∴∠BHD=90°∴BD=2OH，∵OH=3，∴BD=6，OB=3，∵OA=4，∴AC=8，AB=3∵12AC×BD=AB×DH，即∴DH=24故选：B．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三角形的性质求得BD．8．如图所示，在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，将矩形沿BD折叠，点A落在点E处，DE与BC交于点F，则重叠部分的面积是(

)A．20 B．16 C．12 D．10【答案】D【分析】根据折叠的性质可得∠ADB=∠EDB，由平行可得∠ADB=∠CBD，推出∠CBD=∠EDB，设BF为x，在Rt△DCF中，根据勾股定理列出方程求出x，再根据面积公式求出△BDF的面积即可．【解析】∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵△BDE是△BDA折叠后的图形，∴∠ADB=∠EDB，∴∠CBD=∠EDB，设BF为x，则DF为x，CF为8－x，在Rt△DCF中，8−x解得：x=5，∴S△BDF=12故选D．【点睛】本题考查折叠中矩形的性质，关键在于利用勾股定理列出方程求解．9．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，在其中一张纸条转动的过程中，下列结论一定成立的是（）A．AD=CD B．四边形ABCD面积不变C． D．四边形ABCD周长不变【答案】A【分析】两张等宽的纸条的宽为h，根据题意可得AD∥BC,AB∥DC，从而得到四边形ABCD是平行四边形，再由S▱ABCD=BC⋅ℎ=AB⋅ℎ，可得BC=AB，进而得到四边形【解析】解∶设两张等宽的纸条的宽为h，∵纸条的对边平行，∴AD∥∴四边形ABCD是平行四边形，又∵S▱∴BC=AB，∴四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，故A选项正确，符合题意，C选项错误，不符合题意；∵在旋转的过程中，CD在变化，∴四边形ABCD面积和周长也在变化，故B、D选项错误，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，面积法等知识，学握菱形的性质是解题的关键．10．如图，在正方形ABCD中，E、F是射线BD上的动点，且∠EAF=45°，射线AE、分别交BC、CD延长线于G、，连接，在下列结论中：①AE=CE；②BG=GH+DH；③EF2=BE2+DF2；④⑤S△AGH:A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】B【分析】由“SAS”可证△ABE≌△CBE，可得AE=EC，故①正确；如图1，在BC上截取BN=DH连接AN，由“SAS”可证△ABN≌△ADH，可得AN=AH，∠BAN=∠DAH由“SAS”可证△ANG≌△AHG，可得NG=HG，BG=BN+NG=GH+DH，故②正确；如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABM，连接EM，由旋转的性质可得AF=AM，∠ABM=∠ADF，DF=BM，由“SAS”可证△AEF≌△AEM，可得EF=EM，由勾股定理可得EF2=B如图1，设DH=a，则AB=3DH=3a=BC=CD，利用勾股定理可求CG=3a=CD,故④错误；由三角形的面积公式可求S△AGH:S【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABD=∵BE=BE∴△∴AE=EC故①正确；如图1，在BC上截取BN=DH，连接AN，∵AB=AD，∠ABN=∠ADH=90°,BN=DH，∴△∴AN=AH,∠BAN=∴∠∵∠∴∠又∵AN=AH，AG=AG，∴△，BG=BN+NG=GH+DH，故②正确；如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABM，连接EM，∴△ADF≌△ABM，∠FAM=90°∴AF=AM，∠ABM=∠ADF，DF=BM，∵∠∴∠ABM=∠∵∠∴∠又，AF=AM，∴△∴EF=EM在Rt△BEM中，∴E故③正确；∵AB=3DH∴设DH=a，则AB=3DH=3a=BC=CD，CH=4a，如图1，在BC上截取BN=DH，连接AN，由③可得：HG=NG，设CG=x，则BG=3a+x，∴NG=2a+x=HG∵C∴(4a∴x=3a∴CD=CG故④错误；如图1，∵△ANGS△S△AGH故⑤正确；∴正确的结论有①②③⑤，共4个．故选：B【点睛】本题属于几何综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．二、填空题11．菱形的对角线之比为3：4，且面积为24，则它的周长为．【答案】20【分析】依题意，已知菱形的面积以及对角线之比，首先根据面积公式求出菱形的对角线长，然后利用勾股定理求出菱形的边长．【解析】解：如图：由题：，∴可设AC=3k，BD=4k，∵菱形ABCD的面积为SABCD∴k=2（−2舍去），∴AC=6，BD=8，∴，，∴Rt△AOD中，由勾股定理得：∴菱形ABCD的周长是：5×4=20．故答案是：20．【点睛】此题主要考查菱形的性质和菱形的面积公式，利用菱形的面积求解是解题的关键．12．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是(只填写序号)．【答案】②③或①④【分析】要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形．【解析】有6种选法：（1）①②：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；（2）②③：由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误；（3）①③：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；（4）②④：由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；（5）①④：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误；（6）③④：由③得对角线相等的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；综上所述：错误的是：②③或①④．故答案为②③或①④．【点睛】本题考查了正方形的判定方法：先判定四边形是菱形，再判定四边形是矩形；或先判定四边形是矩形，再判定四边形是菱形；那么四边形一定是正方形；熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键．13．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．若AC=20，则四边形OCED的周长是．【答案】40【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等，得到OD=OC=12AC，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC，OB=OD，且，∴OA=OB=OC=OD=1∵CE∥BD，DE∴四边形为平行四边形，∵OD=OC∴四边形为菱形，∴∴C故答案为：40【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ABC=80°，E是线段AO上一点，且BC=CE，则的度数是°．【答案】25【分析】由菱形的性质可得∠ABO=∠CBO=40°，AC⊥BD，可得∠BAC=50°=∠ACB，由三角形内角和定理求得∠CBE【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=80°∴∠ABO=∠CBO=40°，AC⊥∴∠BAC=90°−40°=50°=∵BC=CE，∴∠CBE=∴∠OBE=65°−40°=25°故答案为：25．【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形内角和定理，熟练运用菱形的性质是本题的关键．15．如图，在菱形ABCD中，E，F，G分别是AD，AB，CD的中点，且FG=10cm，EF=6cm，则菱形ABCD的面积是【答案】96【分析】连接AC，BD，交点为O，EF与AC交于点M，EG与BD交于点N，由三角形中位线定理得出，EF=12BD，，EG=12AC，得出【解析】解：如图，连接AC，BD，交点为O，EF与AC交于点M，EG与BD交于点N，∵四边形ABCD是菱形，，∵E，F，G分别是AD，AB，CD的中点，∴EF//BD，EF=12BD，，∴四边形OMEN是矩形，∴∠∵FG=10cm，，∴EG=∴AC=16cm，，∴菱形ABCD的面积是12故答案为96．【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，菱形的面积，根据三角形的中位线定理求出AC和BD的长是解题的关键．16．如图，在正方形ABCD中，AB=3，延长BC到点E，使CE=1，连接DE，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP和△DCE全等时，t的值为．【答案】4或11【分析】根据运动过程，根据点P运动的位置和全等情况分类讨论，根据全等三角形的性质即可分别求解．【解析】解：当点P在AB上运动时，显然A、B、P构不成三角形∴此时不符合题意；当点P在BC上运动时，由AB=CD，∠ABP=∠DCE=90°，显然此时存在△ABP≌△DCE∴BP=CE∴t-3=1，即t=4；当点P在CD上运动时，如下图所示，显然不存在点P，使得△ABP和△DCE全等；当点P在DA上运动时，如下图所示由AB=CD，∠A=∠DCE=90°，显然此时存在△ABP≌△CDE∴AP=CE=1∴3×4-t=1解得t=11．综上：当△ABP和△DCE全等时，t的值为4或11．故答案为：4或11．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应情况分类讨论是解题关键．17．如图，正方形ABCD的边长为3cm，点E为CD边上一点，∠DAE=30°，点M为AE的中点，过点M作直线分别与AD，BC相交于点P，Q.若PQ=AE，则AP长为.【答案】1或2【分析】根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，由ABCD为正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形ADE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，进而利用勾股定理求出AE的长，根据M为AE中点求出AM的长，利用HL得到三角形ADE与三角形PQN全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，再由PN与DC平行，得到∠PFA=∠DEA=60°，进而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根据AM的长，利用锐角三角函数定义求出AP的长，再利用对称性确定出AP′的长即可．【解析】根据题意画出图形，过点P作PN⊥BC，交BC于点N，交AE于点F，四边形ABCD为正方形，∴AD=DC=PN在中，∠DAE=30°，AD=3cm，∴DE=根据勾股定理得AE=3为AE的中点，∴AM=在和RtΔPNQ中，AD=PN,∴RtΔADE∴DE=NQ，∠DAE=∵PN//DC，∴∠∴∠PMF=90°，即PM⊥在RtΔAMP中，∠MAP=30°∴AP=由对称性得到AP综上，AP等于1cm或2cm.故答案为1或2.【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．18．如图，菱形ABCD中，∠B=60°,AB=7，点E在对角线AC上，且6AE=EC，点F在CB延长线上，连接EF，作∠FEG=60°．交DC延长线于点G，CG=4，则FC=，延长FG，交于点H，则EH的长是．【答案】1038【分析】先根据题意求得AE,EC，如图，过点E作EM//AD，则可的△EMC是等边三角形，由∠FEG=60°可得∠FEC=∠GEM,∠ECF=∠EMG=60°,EC=EM则MC=6，MG=MC+CG=10,进而根据AAS可证明△EMG≌△ECF，进而可得FC的长，过点G作GN⊥EH于点N，过E作EP⊥FH于P，根据勾股定理可得GN的长，设NH=a，进而求得GH的长由△EMG≌△ECF，可得△EFG是等边三角形，进而求得EP,根据△的面积等于12⋅EH⋅GN=12【解析】如图，过点E作EM//∵四边形ABCD是菱形，∠∴∴△ADC，△ABC∴∴∴△∴∴∵6AE=EC，AE+EC=AD=7∴∴∵∴∵∠FEG=60°,∠∴即∠在△EMG和△ECF∠∴△∴FC=MG=10,EG=EF∵∴△过点G作GN⊥EH于点N，过E作EP⊥FH于P，如图，在Rt△∵∴∴∴∴在Rt△EG=在Rt△GNH中，设NH=a,GN=2∴∴∵△EFG是等边三角形，EP∴∴EP=∵△的面积等于12∴整理得15因式分解得：(3a−14)(5a+2)=0解得a=143或∴故答案为：10，【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质与判定，添加辅助线是解题的关键．三、解答题19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E．(1)求证：OC=1(2)若AB=5，BD=8，求△BDE【答案】(1)见详解(2)24【分析】（1）只要证明OC是△BDE（2）在Rt△AOB中求出OA，再求出DE、【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BC，AD∥BC，OB=OD，∵DE//AC∴四边形ACED是平行四边形，∴AD=CE，∴BC=CE．（2）解：在菱形ABCD中，AC⊥在Rt△AOB中，∵AB=5，，，，∴△DBE周长．【点睛】本题考查菱形的性质、三角形中位线定理、三角形周长等知识，解题的关键是证明点C是中点，记住菱形的对角线互相垂直，属于中考常考题型．20．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD边上，，连接AF，BF．(1)求证：四边形BFDE是矩形；(2)若平分∠DAB，CF=3，DF=5，求四边形BFDE的面积．【答案】(1)见解析(2)20【分析】（1）根据有一个角是90度的平行四边形是矩形即可判定；（2）首先证明AD=FD，求出AD即可解决问题．【解析】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，∴DF∥又∵DF=EB，∴四边形BFDE是平行四边形，∵DE⊥∴∠DEB=90°∴四边形BFDE是矩形；（2）解：∵DE⊥∵平分∠DAB，DC∥AB∴，，∴，∴，∵AB=CD，DF=BE，∴AE=CF=3，∴DE=A∴矩形BFDE的面积是：DF×DE=5×4=20，即矩形BFDE的面积是20．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质、角平分线的定义、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．21．如图是由边长为1的小正方形构成的8×7的网格，点A，B均在格点上．(1)在图1中画出以AB为边的菱形ABCD，且点C和点D均在格点上；(2)在图2中画出以AB为对角线的矩形AEBF，且点E和点F均在格点上（画出一个即可）．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据题意直接做出图形即可；（2）如图，取格点E、F，连接EF，则EF与AB互相平分且相等，根据矩形的判定方法，则四边形AEBF为所作．【解析】（1）如图1，菱形ABCD即为所求（2）如图2，矩形AEBF即为所求：【点睛】本题考查了在网格中作特殊四边形，熟练掌握菱形和矩形形的判定方法是准确作图的关键．22．如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，连接AF，且EA⊥AF．(1)求证：DE＝BF；(2)若AH平分∠FAE交线段BC上一点H，连接EH，请判断线段DE、BH、HE三者存在怎样的数量关系？并加以证明．【答案】(1)证明见解析(2)DE+BH＝HE；证明见解析【分析】（1）由同角的余角相等知，∠FAB＝∠DAE，由正方形的性质知，AB＝AD，∠ABF＝∠ADE＝90°，则ASA证得△AFB≌△ADE，由全等三角形的性质可得DE＝BF；（2）根据全等三角形的性质得到AF＝AE，根据角平分线的定义得到∠FAH＝∠EAH，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABF=∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，∵EA⊥AF，∴∠EAF＝90°，∴∠FAB+∠BAE＝90°，∠DAE+∠BAE＝90°，∴∠FAB＝∠DAE，在△BAF和△DAE中，∠FAB＝∴△BAF≌△DAE（SAS），∴DE＝BF；（2）解：DE+BH＝HE，理由如下：如图所示：由（1）知△BAF≌△DAE，∴BF=DE，∴AF＝AE，∵AH平分∠FAE，∴∠FAH＝∠EAH，在△FAH与△EAH中，AF=AE∠∴△FAH≌△EAH（SAS），∴FH＝EH，∴DE+BH＝HE．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．23．如图，DF，EF是△ABC(1)围成的四边形是否必定是平行四边形？(2)在什么条件下，围成的四边形是菱形？(3)在什么条件下，围成的四边形是矩形？(4)你还能发现其他什么结论吗？【答案】(1)是平行四边形，证明见解析；(2)当AB=BC时，四边形BDFE是菱形；(3)当∠B=90°时，四边形BDFE是矩形；(4)当AB=BC且∠B=90°时，四边形BDFE是正方形【分析】（1）根据中位线的性质及平行四边形的判定证明即可；（2）结合（1）中结论，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可求解；（3）结合（1）中结论，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可求解；（4）结合（1）中结论，根据邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形即可求解．【解析】（1）解：是平行四边形，理由如下：∵DF，EF是△ABC∴DF∥BC,EF∥AB，DF=12BC=BE∴四边形BDFE是平行四边形；（2）由（1）得四边形BDFE是平行四边形，当AB=BC时，DF=EF，∴四边形BDFE是菱形；（3）由（1）得四边形BDFE是平行四边形，当∠B=90°时，四边形BDFE是矩形；（4）当AB=BC且∠B=90°四边形BDFE是正方形．【点睛】题目主要考查平行四边形、菱形、矩形及正方形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定定理是解题关键．24．如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，过点D作，且DE=12AC，连接CE,OE，连接AE交OD于点（1）求证：OE=CD；（2）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60∘，求【答案】（1）证明过程见解析；（2）2【分析】（1）先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD＝90°，证明OCED是矩形，可得OE＝CD即可；（2）根据菱形的性质得出AC＝AB，再根据勾股定理得出AE的长度即可．【解析】(1)证明：在菱形ABCD中OC=12AC，AC⊥∵DE=12∴DE=OC，∵DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形，∵AC⊥BD，∴□OCED是矩形，∴OE=CD．(2)在菱形ABCD中,AB=BC=4，∵∠ABC=60˚，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=4，OA=12在Rt△AOB中，OB=∵四边形OCED是矩形，∴OD=CE=OB=23在Rt△ACE中，AE=【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，是基础题，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．25．如图，在正方形ABCD中．点E为对角线AC上一点．过点E作FH⊥AC于点E交边AD，AB于点F，H．连接CF，CH．(1)求证：AF=AH；(2)若正方形ABCD的边长为1，当△AFH与△CDF的面积相等时，求AE的长．【答案】(1)见解析(2)10【分析】（1）利用正方形的性质得到∠FAE=∠HAE=45°，证明△AEF≌△AEH（2）设AE=x，根据勾股定理得到AF=2x，FH=2x，利用三角形面积公式得到（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠∵EF∴∠在△AEF和△AEH∠FAE=∴△AEF≌△AEH∴AF=AH（2）解：设AE=x，AF=AH=x2+x2∵△AFH与△CDF∴1整理得2x2+2x−1=0∴AE=【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解一元二次方程，三角形的面积公式，关键在于证明三角形全等．26．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段DG与、AE分别相交于点、K．(1)求证：∠ABE=(2)判断与DG的关系，并说明理由；(3)若AB=62，AG=6，求DK【答案】(1)见解析(2)BE=DG，BE⊥(3)DK=3【分析】（1）根据正方形的性质和SAS定理证明即可得出结论；（2）由（1）的结论得，∠AKG=∠HKE，再根据（3）连接DE，证明出四边形AEDO是正方形，再利用正方形的性质得出条件，证出△DKE≌△GAK，在Rt△DKE中利用勾股定理求得DE的长．【解析】（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AB=AD，AE=AG，∠DAB=∴∠∴∠∴SAS．∴∠（2）BE=DG，BE⊥∵，∴，BE=DG，∵∠在Rt△AGK中，∴∠∴∠∴BE（3）连接DE，如图，∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，OA=OC=OB=OD，AE=AG，∵AB=62，AG=6在Rt△∴AB=BC=6∴AC=∴OA=OD=∴AE=AO=DO=6∵AO⊥DO，AG⊥∴AE=DO，AE∴四边形AEDO是平行四边形，∵AO⊥DO，AO=DO∴四边形AEDO是正方形，∴∠DEK=∵DE=