4.4-4.5 相似三角形判定定理的证明 同步练习

第四章图形的相似4探索三角形相似的条件*5相似三角形判定定理的证明基础过关全练知识点1相似三角形的概念1.已知△ABC∽△A'B'C'，若AC=3，A'C'=1.8，则△A'B'C'与△ABC的相似比为()A.23 B.32 2.(2019甘肃兰州中考)已知△ABC∽△A'B'C'，AB=8，A'B'=6，则BCB'C'A.2 B.43 C.3 知识点2相似三角形的判定定理13.如图所示的三个三角形，相似的是()A.①② B.②③ C.①③ D.①②③4.(2023陕西西安交大附中月考)如图，△ABC中，CE⊥AB，垂足为点E，BD⊥AC，垂足为点D，CE与BD交于点F，则图中与△BEF不相似的三角形是()A.△ABD B.△CDF C.△BCD D.△ACE5.下列各组图形中有可能不相似的是()A.各有一个角是50°的两个等腰三角形B.各有一个角是60°的两个等腰三角形C.各有一个角是100°的两个等腰三角形D.两个等腰直角三角形6.(2023陕西师大附中月考)如图，在▱ABCD中，G是AB延长线上一点，连接DG交BC于点E，则图中相似三角形共有()A.2对 B.3对 C.4对 D.5对7.(2022山东菏泽中考)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，E是边AC上一点，且BE=BC，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：△ADE∽△ABC.8.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于O.M，N分别是OD，OB的中点，过M作PE∥AB，分别交AD，BC于P，E.连接PN并延长交BC于F，若AB=12，PD=3，求EF的长.知识点3相似三角形的判定定理29.(2023山东济南市中期中)如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是() 10.如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是()A.ACCD=ABBC B.CDAD=BCAC C.AC2=AD·11.(2023上海杨浦期中)如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，AB=4，BC=9，当BD=时，△ABD∽△DBC.

[变式](2022甘肃酒泉金塔期末)在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=105°，AC=4cm，AB=6cm，DE=3cm，则DF=时，△ABC与△DEF相似.

12.(2022云南广南期末)如图，在△ABC中，D、E分别是AC、BC边上的点，BC=6，AC=4，CE=2，AD=1.求证：△ABC∽△EDC.知识点4相似三角形的判定定理313.若△ABC和△DEF满足下列条件，其中能使△ABC与△DEF相似的是()A.AB=3，BC=8，AC=9，DE=163，EF=2，DFB.AB=4，BC=6，AC=8，DE=5，EF=10，DF=16C.AB=1，BC=2，AC=2，DE=6，EF=3，DF=5D.AB=1，BC=5，AC=3，DE=15，EF=23，DF=614.(2023湖南岳阳七校联考期中改编)如图，小正方形的边长为1，则下列选项中的三角形与△ABC相似的是() 15.如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点F，点E在BD上，且ABAE(1)∠1与∠2相等吗?为什么?(2)判断△ABE与△ACD是否相似，并说明理由.知识点5黄金分割16.(2023江苏徐州期末)点B把线段AC分成两部分，如果BCAB=ABAC=A.5+12 B.5−1217.(2022湖南衡阳中考)在设计人体雕像时，使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感.下图是按此比例设计的一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是(结果精确到0.01m.参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236)()A.0.73m B.1.24m C.1.37m D.1.42m能力提升全练18.(2022山东泰安宁阳期末)如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若OA∶OC=OB∶OD，则下列结论中一定正确的是()A.①和②相似 B.①和③相似 C.①和④相似 D.②和④相似19.(2022吉林长春期末)如图，△ABC中，∠A=76°，AB=8，AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是()A B C D20.(2020云南昆明中考)在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形ADE(不含△ABC)，使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形只算一个)，这样的格点三角形一共有()A.4个 B.5个 C.6个 D.7个21.(2023山西代县期末)数学中，把5−12这个比称为黄金分割比.鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工.如图，P是AB的黄金分割点(AP>BP)，若线段AB的长为8cm，则BP的长为cm22.(2021广西贵港中考)尺规作图(只保留作图痕迹，不要求写出作法).如图，已知△ABC，且AB>AC.(1)在AB边上求作点D，使DB=DC；(2)在AC边上求作点E，使△ADE∽△ACB.23.(2022上海中考)如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE2=AQ·AB.求证：(1)∠CAE=∠BAF；(2)CF·FQ=AF·BQ.24.(2020江苏南京中考)如图，在△ABC和△A'B'C'中，D、D'分别是AB、A'B'上的点，ADAB(1)当CDC'D'=ACA'C'=证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格：(2)当CDC'D'=ACA'C'=BCB'C'时，判断素养探究全练25.学习图形的相似后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件.(1)“对于两个直角三角形，满足一边、一锐角分别相等或两直角边分别相等，这两个直角三角形全等.”类似地，可以得到：“满足或的两个直角三角形相似.”

(2)“满足斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.”类似地，可以得到“满足的两个直角三角形相似.”

请结合下列所给图形，写出已知，并完成说明过程.已知：如图，.

试说明：Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.26.(2023陕西师大附中月考)【问题呈现】(1)如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD、CE.求证：BD=CE.【类比探究】(2)如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，连接BD、CE，则BDCE=【拓展提升】(3)如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，∠DAE=∠BAC=30°，连接BD、CE，CE交AB于点F.①求BDCE②延长CE交BD于点G，求∠BGC.

第四章图形的相似4探索三角形相似的条件*5相似三角形判定定理的证明答案全解全析基础过关全练1.D由于对应边的比是相似比，且相似比有顺序性，故△A'B'C'与△ABC的相似比为A'C'AC=1.82.B∵△ABC∽△A'B'C'，∴BCB'C'=AB3.A分别求出三个三角形中第三个角的度数，①②两个三角形满足两角分别相等，故①②相似，故选A.4.C∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDA=∠BDC=∠CEA=∠CEB=90°，∵∠FBE=∠ABD，∴△FBE∽△ABD，∵∠BFE=∠CFD，∴△BFE∽△CFD，∵∠FCD=∠ACE，∴△CFD∽△CAE，∴△BFE∽△CAE，综上所述，题图中与△BEF相似的三角形有△ABD、△CDF、△ACE，题图中与△BEF不相似的三角形是△BCD.故选C.5.A选项A中，当一个三角形中，50°的角为顶角，底角为65°，另一个三角形中，50°的角为底角，顶角为80°时，这两个三角形不相似，故选A.6.B∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，DC∥AB，∴△GBE∽△GAD∽△DCE，∴相似三角形共有3对.故选B.7.证明∵BE=BC，∴∠C=∠CEB，∵∠CEB=∠AED，∴∠C=∠AED，∵AD⊥BE，∴∠D=∠ABC=90°，∴△ADE∽△ABC.8.解析在菱形ABCD中，BC=AB=12，AB∥CD，AD∥BC.∵PE∥AB，∴PE∥CD，∴四边形CDPE是平行四边形，∴CE=PD=3.∵O是对角线的交点，∴OB=OD，∵M，N分别是OD，OB的中点，∴DN∶NB=3∶1.∵AD∥BC，∴∠PDN=∠FBN，∠DPN=∠BFN，∴△PDN∽△FBN，∴PD∶BF=DN∶NB，∴3∶BF=3∶1，∴BF=1，∴EF=BC-CE-BF=12-3-1=8.9.D由题图可知AB=AC=6，∠B=75°，∴∠C=75°，∴∠A=30°，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”可知D中三角形与△ABC相似.10.C∵在△ACD和△ABC中，∠A=∠A，∴根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得出添加的条件是ACAB=ADAC，即AC2=11.6解析∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，当满足ABBD=BDBC时，△ABD∽△DBC，∵AB=4，BC=9，∴4故答案为6.[变式]2cm或4.5cm解析∵∠A=∠D，AB=6cm，AC=4cm，DE=3cm，∴当△ABC∽△DEF时，ABDE=ACDF，即当△ABC∽△DFE时，ABDF=ACDE，即6DF=综上所述，当DF=2cm或4.5cm时，△ABC和△DEF相似.故答案为2cm或4.5cm.12.证明∵AC=4，AD=1，∴CD=AC-AD=4-1=3，又∵BC=6，CE=2，∴CBCD=63=2，CA又∵∠C=∠C，∴△ABC∽△EDC.13.AA中，∵ABEF=32，∴ABEF∴△ABC与△DEF相似.易知B，C，D不正确，故选A.14.C根据题意可得AB=2，BC=2，AC=10，∴BC∶AB∶AC=1∶2∶A.三边之比为2∶5∶3，A中的三角形与△ABCB.三边之比为1∶5∶10，B中的三角形与△ABCC.三边之比为2∶22∶25=1∶D.三边之比为5∶4∶29，D中的三角形与故选C.15.解析(1)∠1与∠2相等.理由如下：∵ABAE=BCED=∴∠BAC=∠EAD.∴∠BAC-∠EAF=∠EAD-∠EAF，即∠1=∠2.(2)△ABE与△ACD相似.理由如下：∵ABAE=ACAD又∵∠1=∠2，∴△ABE∽△ACD.16.B∵点B把线段AC分成两部分，BCAB=ABAC=k，∴点B是线段AC的黄金分割点，AB>BC，∴17.B设下部的高度为xm，则上部的高度是(2-x)m，∵雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比等于下部与全部的高度比，∴2−xx=x2，解得x=5∴x=5-1≈1.24，故选B.能力提升全练18.B在△AOB与△COD中，AOCO=BODO，∠AOB∴△AOB∽△COD，∴①与③相似，故B选项正确，又由于①与②，①与④，②与④均不满足相似的判定条件，故A，C，D选项均不正确，故选B.19.C选项A，阴影三角形与原三角形有两个角分别相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；选项B，阴影三角形与原三角形有两个角分别相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；选项C，两三角形有两边成比例，但其夹角不相等，故两三角形不相似，故本选项符合题意；选项D，阴影三角形中，夹∠A的两边长分别为6-2=4，8-5=3，则两三角形两边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意.故选C.20.C如图：使得△ADE∽△ABC的格点三角形一共有6个.故选C.21.(12-45)解析∵点P是AB的黄金分割点(AP>BP)，线段AB的长为8cm，∴APAB=5−12，即AP8=5∴BP=AB-AP=(12-45)cm.22.解析(1)如图，点D即为所求.(2)如图，点E即为所求.23.证明(1)∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵CF=BE，∴CF-EF=BE-EF，即CE=BF，在△ACE和△ABF中，AC∴△ACE≌△ABF(SAS)，∴∠CAE=∠BAF.(2)∵△ACE≌△ABF，∴AE=AF，∵AE2=AQ·AB，AC=AB，∴AEAQ又∠CAE=∠BAF，∴△ACE∽△AFQ，∴∠AEC=∠AQF，∴∠AEF=∠BQF，∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，∴∠BQF=∠AFE，又∵∠B=∠C，∴△BFQ∽△CAF，∴BQCF=FQAF，即CF·FQ24.解析(1)CDC'D'=ACA'C'=AD(2)相似.理由：如图，过点D、D'分别作DE∥BC，D'E'∥B'C'，DE交AC于E，D'E'交A'C'于E'.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB=DE∵ADAB=A'D'A'B'，∴DEBC=D'E'B'C'，即ECAC=E'C'A'C'，∴ECE'C'=AC