2.6 应用一元二次方程 同步练习

第二章一元二次方程6应用一元二次方程基础过关全练知识点1列一元二次方程解应用题的一般步骤及平均增长(降低)率问题1.为了保障人民群众的生命安全和身体健康，某感冒退烧药生产企业产能逐步提升，10月份产量为256万片，11月、12月两个月增长率相同，预计12月份产量可达到400万片.求该企业感冒退烧药产量的月增长率.2.(2023广东佛山月考改编)下图是2022年某工厂1~4月份的口罩产量统计图.设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的月均增长率为x.(1)求口罩产量的月均增长率；(2)按照这个增长率，预计5月份口罩的产量能否超过600万只.知识点2数字问题3.一个三位数的十位数字等于百位与个位数字的和，个位数字比百位数字多1.这个三位数与个位数字的积为264，求这个三位数.4.(2021山西中考)2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月月历表上可以用一个方框圈出4个数(如图所示)，若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数(请用方程知识解答).知识点3单、双循环问题5.某人建了一个好友助力群，群内的每个成员都分别给其他成员助力1次，这样共助力10100次，设这个助力群共有x个成员，根据题意列出的方程为()A.x(x+1)=10100 B.x(x-1)=10100 C.x(x+1)6.(2022黑龙江龙东地区中考)2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛()A.8 B.10 C.7 D.9知识点4分裂、传播问题7.(2023山西太原月考)在某次病毒感染中，有5只动物被感染，后来经过两轮感染后，共有605只动物被感染.若设每轮感染中平均一只动物会感染x只动物，则可列方程为()A.5x(x+1)=605 B.5+5x+5x2=605 C.5(1+x)2=605 D.5+5(1+x)+5(1+x)2=6058.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是()A.4 B.5 C.6 D.7知识点5几何图形问题9.(2022青海中考)如图，小明用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可(损耗不计).设剪去的正方形的边长为xcm，则可列出关于x的方程为.

10.如图，在一块长为7米，宽为6米的长方形花坛里，栽种同样宽度的两条粉色花带，剩余部分栽种黄色花，要使栽种黄色花的面积为30平方米，求粉色花带的宽.11.(2022江苏泰州中考)如图，在长为50m，宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪.要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少?知识点6销售问题(2022辽宁沈阳和平期末)某商场在销售一种日用品时发现，如果以单价20元销售，那么每周可售出100件，若销售单价每提高0.5元，则每周销售量会相应减少2件.若该商场这种日用品每周的销售额达到2024元，设这种日用品的销售单价为x元，则根据题意所列方程正确的是()A.(20+x)(100-2x)=2024 B.(20-x)100−2C.x[100-2(x-20)]=2024 D.x100−x13.(2021山东日照中考)某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价为35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售.已知这种消毒液销售量y(桶)与每桶降价x(元)(0<x<20)之间满足一次函数关系，其图象如图所示.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元，这种消毒液每桶实际售价为多少元?14.(2023山西太原月考)某商店以每件50元的价格购进若干件衬衫，第一个月以单价80元销售，售出200件，第二个月为增加销售量，且能够让顾客得到更大的实惠，决定降价处理，经市场调查，，如何定价，才能使以后每个月的利润达到7920元?

解：设……根据题意，得(80-50-x)200+x……根据上面所列方程，完成下列任务：(1)数学问题中横线处缺少的条件是；(2)所列方程中未知数x的实际意义是；(3)请写出解决上面的数学问题的完整的解题过程.知识点7动点问题15.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=8cm.现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，点P以1cm/s的速度沿AB向终点B移动，点Q以2cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点时，另一点也随之停止.连接PQ，经过多长时间P，Q两点之间的距离为42cm?能力提升全练16.(2023河南南阳社旗期中)学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的矩形相片周围镶上一圈等宽的彩纸.经试验，彩纸面积为相片面积的23时较美观，求所镶彩纸的宽.设所镶彩纸的宽为x厘米.①(18+2x)(12+2x)=18×12×53②4x2+18x×2+12x×2=18×12×23③(12+2x)x×2+18x×2=18×12×23A.0个 B.1个 C.2个 D.3个17.(2023重庆开州月考)甲、乙两家某商品专卖店一月份销售额分别为10万元和15万元，三月份销售额甲店比乙店多10万元.已知甲店二、三月份销售额的月平均增长率是乙店二、三月份月平均增长率的2倍，则乙店这两个月的月平均增长率是()A.40% B.50% C.60% D.70%18.(2023山东德州夏津模拟)某校机房有200台学生用电脑和1台教师用电脑，现在教师用电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有16台电脑被感染.(1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?(2)若病毒得不到有效控制，几轮感染后机房内所有电脑都被感染?19.(2022山东德州中考)如图，某小区矩形绿地的长、宽分别为35m，15m.现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地.(1)若扩充后的矩形绿地面积为800m2，求新的矩形绿地的长与宽；(2)扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长、宽之比为5∶3，求新的矩形绿地的面积.20.(2023湖南资兴月考)如图，为了节约材料，利用一面墙(墙长20米)用总长度为43米的篱笆围成一个矩形鸡舍ABCD，中间用篱笆隔开，且留两个1米宽的小门，设篱笆BC长为x米.(1)用含x的代数式表示AB的长；(2)若矩形鸡舍ABCD的面积为150平方米，求篱笆BC的长；(3)矩形鸡舍ABCD的面积能达到210平方米吗?若能，求出x的值；若不能，请说明理由.21.(2022山西运城盐湖期中)红富士苹果上市时，李明按市场价格10元/千克收购了1000千克存入冷库中，预测这种苹果的市场价格平均每天每千克上涨0.5元，但冷库存放这批苹果时每天需要支出各种费用合计110元.同时，平均每天有3千克的苹果腐烂不能出售，而且这种苹果在冷库中最多能保存90天.(1)若李明将这批苹果存放x天后一次性出售，则x天后这批苹果的销售单价为元，销售量为千克(用含x的代数式表示)；

(2)这批苹果存放x天后一次性售出，李明共获得利润12000元，求这批苹果存放了多少天后出售.22.(2022湖北宜昌中考)某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大.该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量比3月份的2倍少100吨.(1)求4月份再生纸的产量；(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加m%，5月份每吨再生纸的利润比上月增加m2%，则5月份再生纸项目月利润达到66万元，求m(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月份每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%，求6月份每吨再生纸的利润是多少元.23.(2020贵州黔南州中考)在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全班同学共通过多少次电话呢?我们可以用下面的方式来解决问题.用点A1、A2、A3、…、A48分别表示第1名同学、第2名同学、第3名同学、……、第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图模型表示：(1)第四个图中y的值为，第五个图中y的值为；

(2)通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为，当x=48时，对应的y=；

(3)若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生?素养探究全练24.小明和同桌小聪在复习时，对一道思考题进行了探索.思考题：如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙DC上，这时点B到墙DC的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米?(1)请你把小明对“思考题”的解答补充完整.解：设点B将向外移动x米，即BB1=x米，则B1C=(x+0.7)米，A1C=AC-AA1=2.52−0.72-0.4=2.4-0.4=2(米)，易知A1B1=2.5米，在Rt△A1B1C中，由B1C2+A1C2=A解方程得x1=，x2=，

∴点B将向外移动米.

(2)解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：①在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗?为什么?②在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙DC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等吗?为什么?请你解答小聪提出的这两个问题.

第二章一元二次方程6应用一元二次方程答案全解全析基础过关全练1.解析设该企业感冒退烧药产量的月增长率为x.由题意得256(1+x)2=400，解得x1=0.25=25%，x2=-2.25(舍去).答：该企业感冒退烧药产量的月增长率为25%.2.解析(1)依题意得150(1+x)2=384，解得x1=0.6=60%，x2=-2.6(不符合题意，舍去).答：口罩产量的月均增长率为60%.(2)384×(1+60%)=614.4(万只)，∵614.4万只>600万只，∴预计5月份口罩的产量能超过600万只.3.解析设百位数字为x，则个位数字为x+1，则十位数字为x+x+1=2x+1.由题意得[100x+10(2x+1)+x+1](x+1)=264，解得x1=1，x2=-2311(舍去)所以百位数字为1，十位数字为2x+1=3，个位数字为x+1=2.答：这个三位数是132.4.解析设这个最小数为x，则最大数为(x+8)，依题意得x(x+8)=65，整理得x2+8x-65=0，解得x1=5，x2=-13(不合题意，舍去).答：这个最小数为5.5.B助力群共有x个成员，则每人助力(x-1)次，共助力x(x-1)次，∴x(x-1)=10100，故选B.6.B设共有x支队伍参加比赛，根据题意，可得x(x−1)2=45，解得x=10或x=-9(舍)，7.C∵每轮感染中平均一只动物会感染x只动物，且开始有5只动物被感染，∴第一轮感染中有5x只动物被感染，∴第二轮感染中有x(5x+5)只动物被感染.根据题意得5+5x+x(5x+5)=605，整理得5(1+x)2=605.故选C.8.C设这种植物每个支干长出x个小分支，依题意，得1+x+x2=43，解得x1=-7(舍去)，x2=6.故选C.9.(11-2x)(7-2x)=21解析根据题意和图形，可以得到裁剪后的底面的长是(11-2x)cm，宽为(7-2x)cm，然后根据矩形的面积=长×宽，可以列出相应的方程.10.解析设粉色花带的宽为x米，则剩余部分可合成长为(7-x)米，宽为(6-x)米的长方形，依题意得(7-x)(6-x)=30，整理得x2-13x+12=0，解得x1=1，x2=12(不合题意，舍去).答：粉色花带的宽为1米.11.解析设道路的宽应为x米，根据题意得(50-2x)(38-2x)=1260，解得x=4或x=40(不合题意，舍去).答：道路的宽应为4米.12.D当销售单价为x元时，销售单价提高了(x-20)元，此时的销量为100−x−200.5×213.解析(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，将点(1，110)，(3，130)代入一次函数关系式得110=故y与x之间的函数关系式为y=10x+100(0<x<20).(2)由题意，得(10x+100)(55-x-35)=1760，整理，得x2-10x-24=0.解得x1=12，x2=-2(舍去).所以55-x=43.答：这种消毒液每桶实际售价为43元.14.解析(1)单价每降低2元，月销售量增加40件.(2)单价降低了x元.(3)设单价降低了x元.根据题意，得(80-50-x)200+x整理，得x2-20x+96=0，解得x1=8，x2=12，又∵要让顾客得到更大的实惠，∴x=12，∴80-x=80-12=68.答：定价为每件68元时，才能使以后每个月的利润达到7920元.15.解析设ts时P，Q两点之间的距离为42cm，∵∠B=90°，AC=10cm，BC=8cm，∴AB=AC2由题意得ts时，BP=(6-t)cm，BQ=2tcm.∵PQ=42cm，∠B=90°，∴BP2+BQ2=PQ2，即(6-t)2+4t2=32，解得t=2或t=0.4.答：出发2s或0.4s时，P，Q两点之间的距离为42cm.能力提升全练16.D∵所镶彩纸的宽为x厘米，∴相片和彩纸组成的矩形长为(18+2x)厘米，宽为(12+2x)厘米，又∵彩纸面积为相片面积的23，∴可列方程为4x2+18x×2+12x×2=18×12×23或(12+2x)x×2+18x×2=18×12×23或(18+2x)(12+2x)=18×12×1+23，即(18+2x)·(12+2x)=18×12×517.C设乙店二、三月份销售额的月平均增长率为x，则甲店三月份的销售额为10(1+2x)2万元，乙店三月份的销售额为15(1+x)2万元.由题意得10(1+2x)2-15(1+x)2=10，解得x1=0.6=60%，x2=-1(不合题意，舍去)，即乙店这两个月的月平均增长率为60%，故选C.18.解析(1)设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，依题意，得(1+x)2=16，解得x1=3，x2=-5(不合题意，舍去).答：每轮感染中平均一台电脑会感染3台电脑.(2)经过三轮感染后感染病毒的电脑数量为16×(1+3)=64(台)，经过四轮感染后感染病毒的电脑数量为64×(1+3)=256(台)，∵64<200+1<256，∴四轮感染后机房内所有电脑都被感染.19.解析(1)设将原矩形绿地的长、宽增加xm，则新的矩形绿地的长为(35+x)m，宽为(15+x)m，根据题意得(35+x)(15+x)=800，整理得x2+50x-275=0，解得x1=5，x2=-55(不符合题意，舍去)，∴35+x=35+5=40，15+x=15+5=20.答：新的矩形绿地的长为40m，宽为20m.(2)设将原矩形绿地的长、宽增加ym，则新的矩形绿地的长为(35+y)m，宽为(15+y)m，根据题意得(35+y)∶(15+y)=5∶3，即3(35+y)=5(15+y)，解得y=15，∴(35+y)(15+y)=(35+15)×(15+15)=1500.答：新的矩形绿地的面积为1500m2.20.解析(1)AB=43+2-3x=(45-3x)米.(2)依题意，得(45-3x)x=150，整理，得x2-15x+50=0，解得x1=5，x2=10.当x=5时，AB=30米>20米，不合题意，舍去；当x=10时，AB=15米，符合题意.答：篱笆BC的长为10米.(3)不能.理由如下：依题意，得(45-3x)x=210，整理，得x2-15x+70=0，∵Δ=(-15)2-4×1×70=-55<0，∴方程没有实数根，∴矩形鸡舍ABCD的面积不能达到210平方米.21.解析(1)(10+0.5x)；(1000-3x).(2)由题意得(10+0.5x)(1000-3x)-10×1000-110x=12000，解得x1=40，x2=200(不合题意，舍去).答：这批苹果存放了40天