抽象函数模型归纳总结（八大题型）（解析版）

抽象函数模型归纳总结目录TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧与总结 202题型归纳总结 3题型一：一次函数模型 3题型二：二次函数模型 5题型三：幂函数模型 7题型四：指数函数模型 8题型五：对数函数模型 10题型六：正弦函数模型 13题型七：余弦函数模型 15题型八：正切函数模型 1803过关测试 20

一次函数（1）对于正比例函数，与其对应的抽象函数为．（2）对于一次函数，与其对应的抽象函数为．二次函数（3）对于二次函数，与其对应的抽象函数为幂函数（4）对于幂函数，与其对应的抽象函数为．（5）对于幂函数，其抽象函数还可以是．指数函数（6）对于指数函数，与其对应的抽象函数为．（7）对于指数函数，其抽象函数还可以是．其中对数函数（8）对于对数函数，与其对应的抽象函数为．（9）对于对数函数，其抽象函数还可以是．（10）对于对数函数，其抽象函数还可以是．其中三角函数（11）对于正弦函数，与其对应的抽象函数为注：此抽象函数对应于正弦平方差公式：（12）对于余弦函数，与其对应的抽象函数为注：此抽象函数对应于余弦和差化积公式：（13）对于余弦函数，其抽象函数还可以是注：此抽象函数对应于余弦积化和差公式：（14）对于正切函数，与其对应的抽象函数为注：此抽象函数对应于正切函数和差角公式：题型一：一次函数模型【例1】已知且，则不等于A． B．C． D．【答案】D【解析】，，构造函数，则，且，令，则，令，，得，，即，所以，数列为等差数列，且首项为，公差为，，，则.，，合乎题意；，合乎题意；故选D.【变式1-1】已知函数的定义域为，且，若，则下列结论错误的是（

）A． B．C．函数是偶函数 D．函数是减函数【答案】C【解析】对于A，令、，则有，又，故，即，令、，则有，即，由，可得，又，故，故A正确；对于C，令，则有，则，故函数是奇函数，故C错误；对于D，有，即，则函数是减函数，故D正确；对于B，由，令，有，故B正确.故选：C【变式1-2】（2024·河南新乡·一模）已知定义在上的函数满足，，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，得.令，得，解得，则不等式转化为，因为是增函数，且，所以不等式的解集为.故选：A【变式1-3】已知定义在上的单调函数，其值域也是，并且对于任意的，都有，则等于（

）A．0 B．1 C． D．【答案】D【解析】由于在上单调，且值域为，则必存在，使得，令得，，即，于是，，则，从而，有.故选：D题型二：二次函数模型【例2】（2024·高三·河北保定·期末）已知函数满足：，，成立，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，则，所以，令，则，所以，令，则，所以，令，则，所以，则当时，，则，当时，上式也成立，所以，所以.故选：C.【变式2-1】（2024·山东济南·三模）已知函数的定义域为R，且，则下列结论一定成立的是（

）A． B．为偶函数C．有最小值 D．在上单调递增【答案】C【解析】由于函数的定义域为R，且，令，则，得，时，恒成立，无法确定，A不一定成立；由于不一定成立，故不一定为偶函数，B不确定；由于的对称轴为与的位置关系不确定，故在上不一定单调递增，D也不确定，由于表示开口向上的抛物线，故函数必有最小值，C正确，故选：C【变式2-2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（

）A． B．方程有解C．是偶函数 D．是偶函数【答案】C【解析】对于A，因为函数的定义域为，且满足，取，得，则，取，得，则，故错误；对于B，取，得，则，所以，以上各式相加得，所以，令，得，此方程无解，故B错误.对于CD，由知，所以是偶函数，不是偶函数，故C正确，错误.故选：C.【变式2-3】（2024·河南·三模）已知函数满足：，且，，则的最小值是（

）A．135 B．395 C．855 D．990【答案】C【解析】由，得，令，得，令，得，故，又，所以，所以，因为，当时，的最小值为855．故选：C．题型三：幂函数模型【例3】已知函数的定义域为，且，则（

）A． B． C．是偶函数 D．没有极值点【答案】D【解析】令，则，所以，且为定义域内任意值，故为常函数.令，则，为奇函数且没有极值点，C错，D对；所以不恒成立，不一定成立，A、B错.故选：D【变式3-1】（2024·河北·模拟预测）已知定义在上的函数满足，则（

）A．是奇函数且在上单调递减B．是奇函数且在上单调递增C．是偶函数且在上单调递减D．是偶函数且在上单调递增【答案】A【解析】令，则，所以，令，则，所以，令，则，所以，令，则，所以，因为，且定义域关于原点对称，所以函数是奇函数，由反比例函数的单调性可得函数在上单调递减.故选：A.题型四：指数函数模型【例4】（多选题）（2024·山西晋中·三模）已知函数的定义域为，满足，且，，则下列说法正确的是（

）A． B．为非奇非偶函数C．若，则 D．对任意恒成立【答案】ACD【解析】我们有恒等式：.对于A，由恒等式可得，而，故，所以，即，故A正确；对于B，由于满足条件且是偶函数，所以有可能是偶函数，故B错误；对于C，由恒等式可得，故.若，则，故C正确；对于D，由恒等式可得.而，故和同号（同为正数，或同为负数，或同为0），从而再由可知，即，故D正确.故选：ACD.【变式4-1】已知函数满足，，则的值为（

）A．15 B．30 C．60 D．75【答案】B【解析】因此故选：B【变式4-2】如果且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，，，，，，，故选：C．【变式4-3】已知函数对一切实数满足，且，若，则数列的前项和为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵函数对一切实数满足，且∴∴数列是等比数列，首项为2，公比为2∴所以所以数列的前项和为．故选：C．题型五：对数函数模型【例5】（多选题）已知函数的定义域为，，则（

）．A． B．C．是偶函数 D．为的极小值点【答案】ABC【解析】方法一：因为，对于A，令，，故正确.对于B，令，，则，故B正确.对于C，令，，则，令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.方法二：因为，对于A，令，，故正确.对于B，令，，则，故B正确.对于C，令，，则，令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，对于D，当时，对两边同时除以，得到，故可以设，则，当肘，，则，令，得；令，得；故在上单调递减，在上单调递增，因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，显然，此时是的极大值，故D错误.故选：.【变式5-1】已知定义在上的函数，满足，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，则，解得，令，则，解得，令，则，解得，令，则，解得，，依次类推可得。故选：C【变式5-2】（2024·四川凉山·三模）已知为定义在R上且不恒为零的函数，若对，都有成立，则下列说法中正确的有（

）个．①；②若当时，，则函数在单调递增；③对，；

④若，则.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】令有，令有.所以①正确.，因为，所以，所以，又因为，且当时，，所以.所以②正确.当时由①可得③成立；当时，由②得，所以，所以……，累加得，即，所以，所以③正确．令，，由①得，又因为，所以，由③得，所以，所以，所以④错误．故选：C【变式5-3】（2024·山西·一模）已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（

）A． B．C．为偶函数 D．为奇函数【答案】C【解析】令，则，故，A选项错误；令，则，故，B选项错误；令，则，故为偶函数，C选项正确；因为为偶函数，又函数是定义在上不恒为零的函数，D选项错误.故选：C题型六：正弦函数模型【例6】（多选题）（2024·辽宁·模拟预测）已知函数的定义域为R，且，则下列说法中正确的是（

）A．为偶函数 B． C． D．【答案】BD【解析】令，则.另令，则，由，所以不成立，所以，所以函数为奇函数，故A错误；令，，则，故B正确；令，，则，又，所以，故C错；令得.且，，.所以；；所以，又，，所以；所以；所以所以，故D正确.故选：BD【变式6-1】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则下列说法中正确的是（

）A．为偶函数 B． C． D．【答案】BC【解析】方法一：先介绍正弦平方差公式：．证明过程如下：．由题意，可以令，因为为奇函数，故选项A错误．因为，故选项B正确．因为，故选项C正确．因为，故，故选项D错误．方法二：对于选项A，因为的定义域为，令，则，故，则，令，则，又不恒为0，故，所以为奇函数，故A错误．对于选项B，令，则．而，所以，故选项B正确．对于选项C，由选项B可知，，令，则，所以．又因为为奇函数，所以，故C正确．对于选项D，由选项B以及，可得，所以，同理可得．因为，故，故D错误．故选：BC题型七：余弦函数模型【例7】（多选题）已知定义域为的函数满足，且，则（

）A．B．是偶函数C．D．【答案】BC【解析】A.，令，则，故A错误；令，则，又，所以，令，则，所以函数关于对称，令，则，令，且，则，所以，又函数的定义域，所以函数为偶函数，故B正确；令，则，又，所以，故C正确；因为，所以，所以函数的一个周期为8，令，则，所以，所以，所以，，所以，所以，故D错误.故选：BC【变式7-1】（多选题）（2024·辽宁·二模）已知定义城为R的函数．满足，且，，则（

）A． B．是偶函数C． D．【答案】ABC【解析】对于A项，由，令，则，故A项正确；对于B项，令，则，因，故，令，则①，所以函数关于点成中心对称，令，则，令，则②，由①可得：③，由②③可知：，且函数的定义域为，则函数是偶函数，故B项正确；对于C项，令，则，因为，，，代入上式中得，故得：，故C项正确；对于D项，由上可知：，则，故函数的一个周期为4，故，令，则，所以，则，故D项错误．故选：ABC．【变式7-2】（2024·吉林·模拟预测）已知函数的定义域为，且，，，则（

）A． B． C．0 D．1【答案】D【解析】由题意知函数的定义域为，且，，令，则，即，故为偶函数；又，令，则，又由，得，即的图象关于点成中心对称，则；，即，又结合为偶函数，则，故，即4为的周期，故，故，故选：D【变式7-3】（2024·安徽·模拟预测）若定义在上的函数，满足，且，则（

）A．0 B．-1 C．2 D．1【答案】D【解析】令，则有，又，∴.令，.则有，∴.令，则有.∵，∴，∴，∴.故选：D.题型八：正切函数模型【例8】定义在上的函数满足：，当时，有，且．设，则实数与的大小关系为（

）A． B． C． D．不确定【答案】C【解析】函数满足，令得；令得在为奇函数，又时，有，所以时，有，设，所以，所以，则，所以，即，在是单调减函数，在时，，又，，即，故选：C.【变式8-1】（2024·浙江·二模）已知函数满足对任意的且都有，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵函数满足对任意的且都有∴令，则，∴∴.故选：D1．已知函数对于一切实数均有成立，且，则当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】∵函数对于一切实数均有成立，∴令得，，又，∴，∴令得，，即，当时，不等式恒成立，∴当时，恒成立，令，，则在上单调递增，∴，∴要使当时，恒成立，则在上恒成立，当时，，不成立，当时，则有，所以.故选：D.2．设函数f：R→R满足f(0)＝1，且对任意，都有，则＝（）A．0 B．2018 C．2017 D．1【答案】B【解析】，令，得，，令，又，，，故选B.3．满足对任意的实数都有，且，则（

）A．2017 B．2018 C．4034 D．4036【答案】B【解析】满足对任意的实数都有令得，，，故选B.4．如果函数对任意满足，且，则A．4032 B．2016 C．1008 D．504【答案】B【解析】在中令，则有，所以，所以＝，故选B．考点：1、函数解析式；2、新定义．5．设函数的定义域为，对任意实数，，只要，就有成立，则函数（

）A．一定是奇函数 B．一定是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数【答案】C【解析】令,则，∵,∴,即,其中,∵,∴.∵,∴.∵,∴.综上,知,∴函数既是奇函数又是偶函数.故选：C6．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，，则（

）A． B．C．为偶函数 D．为奇函数【答案】D【解析】当时，不恒成立，故，A错误．B：解法一

令，得，又，所以，故，B错误．解法二

令，得，又，所以，B错误．C：解法一

由B选项的解法一可知，则，所以为奇函数，C错误，D正确．解法二

令，得，又，所以，所以，结合选项得C错误，D正确．综上可知，选D．故选：D.7．设函数的定义域为，，若，则等于（

）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】因为，令，则，即，可得；令，则，即，可得；令，可得.故选：D.8．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，，且，则（

）A．为偶函数B．C．D．【答案】BD【解析】因为，令，得，即，所以函数为奇函数，故选项A不正确；用替换，令，得，即，又函数为奇函数，所以，所以，故选项B正确；令，得，即，即，所以，所以函数的周期为2，再由，令，可得，由函数的周期性可知，，，所以，故选项C不正确；由，令，得，即①．由，令，得，即，可得②．由①+②整理后可得，即，故选项D正确.故选：BD．9．（多选题）已知函数的定义域为，，，则（

）A． B．C．的一个周期为3 D．【答案】ABD【解析】令，则，所以，A选项正确；令，则，即，所以，令，则，令，则，所以，因为，所以，所以，因为，所以，，B选项正确；令，则，所以，，所以，所以，由此可知：的一个周期为6，C选项错误；因为，且，令，，令，，且，，所以，由可知，，所以，因为的一个周期为6，且，所以，D选项正确.故选：ABD．10．（多选题）（2024·江西九江·二模）已知函数的定义域为，，，则下列命题正确的是（

）A．为奇函数 B．为上减函数C．若，则为定值 D．若，则【答案】ACD【解析】因为，，令，可得，则，令，可得，则，令，可得，令，可得，所以，所以为奇函数，故A正确；因为、，所以不可能为上减函数，故B错误；令可得，所以，故C正确；令可得，因为，所以，所以，，，所以，所以，故D正确.故选：ACD11．（多选题）（2024·江苏南京·二模）已知函数满足，则（

）A． B． C．是偶函数 D．是奇函数【答案】AC【解析】令，则，令，则，解得或，若，则恒成立，不合题意，故，A选项正确；，则,，B选项错误；函数，定义域为R，，为偶函数，C正确，D错误.故选：AC12．（多选题）（2024·广西·二模）已知函数的定义域与值域均为，且，则（

）A． B．函数的周期为4C． D．【答案】ACD【解析】令得，即①，令，得②，联立①②，故A正确；令，得③，由①，，，将它们代入③整理可得，所以由，故D对；由可知为一元二次函数，设，则有，整理得，又由，所以，经验证满足题设要求，故B错C对，故选：ACD.13．（多选题）已知非常数函数的定义域为，且，则（

）A． B．或C．是上的增函数 D．是上的增函数【答案】AC【解析】在中，令，得，即．因为函数为非常数函数，所以，A正确．令，则．令，则，①令，则，②由①②，解得，从而，B错误．令，则，即，因为，所以，所以C正确，D错误．故选：AC14．（多选题）已知是定义在上的函数，，且，则（

）A．B．是偶函数C．的最小值是1D．不等式的解集是【答案】BCD【解析】对于A，令，得，解得或2.因为，所以，则A错误.对于BC，令，得，则，从而是偶函数，且，故B，C正确.对于D，因为是偶函数，在上单调递增，且，所以不等式等价于，所以，解得，则正确.故选：BCD.15．（多选题）已知函数满足，则（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，，故D错误．故选：ABC．16．（多选题）（2024·高三·云南昆明·开学考试）已知函数的定义域为，且，则（

）A．B．C．是奇函数D．是偶函数【答案】ABD【解析】令，则，即.A正确.令，则.令，则，则.故.B正确.是非奇非偶函数.C不正确.是偶函数.D正确.故选：ABD.17．（多选题）（2024·重庆·三模）函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的x，均满足：，，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】令，得，代入，得，当为正整数时，，所以，所以，代入，得，所以，又当时，也符合题意，所以.当不为正整数时，经验证也满足，故为任意实数时，都有.所以，故A正确；，故B正确；所以，，故C不正确；所以，令，则，所以，所以，所以，故D正确.故选：ABD18．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，且，时，，，则（

）A．B．函数在区间单调递增C．函数是奇函数D．函数的一个解析式为【答案】ABD【解析】A项：因为，当时，，令，则，解得，A正确；B项：任取：，则，因为当时，，所以，，所以，即，所以函数在区间单调递增，B正确；C项：令，则，解得或，当，且时，令，则，若为奇函数，则，即，解得，与题意矛盾；当时不为奇函数．综上所述，函数不是奇函数，C错误；D项：当，则，，所以，易得在上单调递增，所以时，，，故函数的一个解析式为，D正确．故选:ABD19．（多选题）已知函数，对于任意，，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】令，故A正确；由已知，①令满足题干要求，则，故B错误；由①可知，令，则，又因为，则，所以，故C正确；因为，所以，又由①，令，则，所以，故D正确.故选：ACD.20．（多选题）（2024·高三·辽宁·期中）已知函数的定义域为，，且，当时，，则（

）A．B．是偶函数C．当A，B是锐角的内角时，D．当，且，时，【答案】AD【解析】令x＝y＝0，得，故A正确．令x＝0，则，所以为奇函数，故B错误．任取，且，则．因为，所以，所以．因为，，所以，，即在上单调递增．因为A，B是锐角的内角，所以，所以，所以．因为，，所以，故C错误．因为，且，所以．令y＝－x，则，令，则，所以．因为，所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以，故D正确．故选：AD21．（多选题）函数的定义域为，，若，则下列选项正确的有（

）A． B．C．函数是增函数 D．函数是奇函数【答案】ABD【解析】令，，得，因为，所以；令，得，因为，所以，即选项A正确；由选项A知的图象过点、，令，则得，，所以，因为，所以选项B正确；因为是减函数，所以选项C错误；因为，所以为奇函数，即选项D正确；故选：ABD．22．（多选题）定义在上的函数，对，均有，当时，，令，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】对，均有，令可得，所以，则，故A正确；，可令得，所以，则，故B不正确；令，可得，因为当时，，又，所以，故，所以，所以