人教B版高中数学必修第一册第一章集合与常用逻辑用语1.1.2集合的基本关系课件

1.1.2集合的基本关系【课程标准】1.在具体情境中，了解空集的含义.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.能使用Venn图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用．教

材

要

点知识点一子集文字语言符号语言图形语言对于两个集合A，B，如果集合A的________元素都是集合B的元素，我们就说这两个集合有________关系，称集合A为集合B的子集对任意元素x∈A，必有x∈B，则____________，读作__________或________任意一个包含A⊆B(或B⊇A)“A包含于B”“B包含A”状元随笔“A是B的子集”的含义是：集合A的任何一个元素都是集合B的元素，即任意x∈A都能推出x∈B.知识点二真子集一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作A

B(或B

A)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)．

状元随笔在真子集的定义中，A

B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.知识点三集合相等一般地，如果集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B，读作“A等于B”．由集合相等的定义可知：如果A⊆B且B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B且B⊆A.知识点四子集、真子集的性质根据子集、真子集的定义可知：(1)对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C；(2)对于集合A，B，C，如果A

B，B

C，则A

C.基

础

自

测1．集合{0，1}的子集有(

)A．1个

B．2个C．3个

D．4个答案：D解析：集合{0，1}的子集为∅，{0}，{1}，{0，1}．

答案：D解析：选项A中两个集合的元素互不相等，选项B中两个集合一个是数集，一个是点集，选项C中集合M＝{0，1}，只有D是正确的．3．(多选)已知集合A＝{x|－1－x＜0}，则下列各式不正确的是(

)A．0⊆AB．{0}∈AC．∅∈AD．{0}⊆A答案：ABC解析：集合A＝{x|－1－x<0}＝{x|x>－1}，所以0∈A，{0}⊆A，ABC不正确．4．已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m＝________．1解析：∵B⊆A，∴2m－1＝m2，∴m＝1.题型1集合间关系的判断[经典例题]例1(1)下列各式中，正确的个数是(

)①{0}∈{0，1，2}；②{0，1，2}⊆{2，1，0}；③∅⊆{0，1，2}；④∅＝{0}；⑤{0，1}＝{(0，1)}；⑥0＝{0}．A.1

B．2

C．3

D．4【答案】

B【解析】

(1)对于①，是集合与集合的关系，应为{0}

{0，1，2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅

{0}；对于⑤，{0，1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0，1)}是以有序数组(0，1)为元素的单元素集合，所以{0，1}与{(0，1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B.状元随笔根据元素与集合、集合与集合之间的关系直接判断①②③④⑥，对于⑤应先明确两个集合中的元素是点还是实数．(2)指出下列各组集合之间的关系：①A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．

【答案】

B

方法归纳判断集合间关系的方法(1)用定义判断首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集；其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集；若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B.(2)数形结合判断对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．(3)利用Venn图跟踪训练1

(1)若集合M＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0，1}，则M与T的关系是(

)答案：A

解析：(1)因为M＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，又T＝{－1，0，1}，所以MT.(2)用Venn图表示下列集合之间的关系：A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}．学习完知识点后，我们可以得到B⊆A，C⊆A，D⊆A，D⊆B，D⊆C.解析：(2)根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合之间的关系，再画Venn图．如图题型2子集、真子集及个数问题例2(1)写出集合A＝{6，7，8}的所有子集和真子集．

【解析】

(1)如何才能一个不漏地写出这个集合的所有子集呢？注意到集合A含有3个元素，因此它的子集含有的元素个数为0，1，2，3.可依下列步骤来完成此题：①写出元素个数为0的子集，即∅；②写出元素个数为1的子集，即{6}，{7}，{8}；③写出元素个数为2的子集，即{6，7}，{6，8}，{7，8}；④写出元素个数为3的子集，即{6，7，8}．集合A的所有子集是∅，{6}，{7}，{8}，{6，7}，{6，8}，{7，8}，{6，7，8}．在上述子集中，除去集合A本身，即{6，7，8}，剩下的都是A的真子集．(2)[2024·辽宁省实验中学月考]已知集合A满足{1，2}⊆A⊆{1，2，3，4，5}，{2，3}⊆A⊆{1，2，3，5，6}，则满足条件的集合A的个数为(

)A．8

B．4

C．2

D．1【答案】

C【解析】(2)因为{1，2}⊆A⊆{1，2，3，4，5}，{2，3}⊆A⊆{1，2，3，5，6}，所以1，2，3是集合A中的元素，4，6不是集合A中的元素，5可以是集合A中的元素，所以集合A是{1，2，3}或{1，2，3，5}，满足条件的集合A的个数为2.状元随笔写出集合的子集时易忘∅，真子集是在子集的基础上去掉自身．方法归纳(1)求集合子集、真子集个数的三个步骤(2)若集合A中含有n个元素，集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.跟踪训练2

(1)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0＜x＜5}，则满足条件A

C

B的集合C的个数为(

)A.1

B．2

C．3

D．4答案：B解析：由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1，2}．由题意知B＝{1，2，3，4}，所以满足条件的C可为{1，2，3}，{1，2，4}．(2)已知集合A＝{x∈R|x2＝a}，使集合A的子集个数为2个的a的值为(

)A．－2

B．4C．0D．以上答案都不是答案：C解析：由题意知，集合A中只有1个元素，必有x2＝a只有一个解；若方程x2＝a只有一个解，必有a＝0.状元随笔(1)先用列举法表示集合A，B，然后根据A

C

B确定集合C.(2)先确定关于x的方程x2＝a解的个数，然后求a的值．题型3根据集合间的关系求参数[经典例题]例3(1)[2024·陕西省榆林市周测]已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}，若A＝B，则c＝________．

(2)设集合A＝{x|－3≤x≤2}，B＝{x|k＋1＜x＜2k－1}，且A⊇B，则实数k的取值范围是________；(－∞，2]

【答案】

ABC

(4)已知集合A＝{x∈R|x2＋ax＋1＝0}和B＝{1，2}，且A⊆B，则实数a的取值范围是________．[－2，2)【解析】因为A⊆B，所以A＝∅或A＝{1}，A＝{2}或A＝{1，2}．若A＝∅，则Δ＝a2－4＜0，解得－2＜a＜2；若A＝{1}应有Δ＝a2－4＝0且1＋a＋1＝0，解得a＝－2；若A＝{2}时，应有Δ＝a2－4＝0且4＋2a＋1＝0，此时无解；若A＝{1，2}，则1，2是方程x2＋ax＋1＝0的两个根，所以由根与系数的关系得1×2＝1，显然不成立．综上满足条件的实数a的取值范围是－2≤a＜2.方法归纳(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必需的．

(2)已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|0＜x＜2}．若B⊆A，则实数a的取值范围为(

)A．[2，＋∞)B．(2，＋∞)C．(－∞，2)D．(－∞，2]答案：A解析：∵集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|0＜x＜2}，B⊆A，∴a≥2.

【易错警示】错误原因纠错心得错解忽略了N＝∅这种情况．空集是任何集合的子集，解这类问题时，一定要注意“空集优先”的原则．

答案：ABD

2．[2024·四川成都期中]已知集合A＝{x|x2＋2x－a＝0}，当∅是A的真子集时，a的取值范围是________；若B＝{x|x2＋x＝0}，且A是B的子集，则a的取值范围是________．{a|a≥－1}{a|a≤－1}

一、选择题(每小题5分，共20分)1．(5分)能正确表示集合M＝{x|x∈R且0≤x≤1}和集合N＝{x∈R|x2＝x}关系的Venn图是(

)答案：B解析：N＝{x∈R|x2＝x}＝{0，1}，M＝{x|x∈R

且0≤x≤1}，∴NM.2．(5分)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{3，x2，2}，若A＝B，则x＝(

)A．1

B．－1C．±1

D．0答案：C解析：由A＝B得x2＝1，所以x＝±1，故选C.

答案：B

4．(5分)已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且若下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0，有且只有一个正确，则100a＋10b＋c＝(

)A．12

B．21C．102

D．201答案：D解析：由{a，b，c}＝{0，1，2}得a，b，c的取值情况如下：当a＝0时，b＝1，c＝2或b＝2，c＝1，此时不满足条件；当a＝1时，b＝0，c＝2或b＝2，c＝0，此时不满足条件；当a＝2时，b＝1，c＝0，此时不满足条件；当a＝2时，b＝0，c＝1，此时满足条件；综上得，a＝2，b＝0，c＝1，将其代入得100a＋10b＋c＝200＋1＝201.二、填空题(每小题5分，共15分)5．(5分