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第=page11页,共=sectionpages11页2024-2025学年浙江省宁波市三锋联盟高二(上)期中数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知直线l过点A(1,2),B(3,4),则直线l的倾斜角为(

)A.−π6 B.−π3 C.2.直线l1:x−y+1=0与直线l2:2x−2y+3=0的距离是(

)A.24 B.22 C.3.“0<t<1”是“曲线x2t+yA.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.如图,空间四边形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c,点M在线段OA上,且OM=2MA,点A.−23a+12b+15.在直三棱柱ABC−A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=1,AA1A.33 B.−33 6.已知点A(3,0),B(5,0),C(0,5),圆M:(x−2)2+(y+2)2=1,一条光线从A点发出,经直线BCA.3 B.4 C.5 D.67.已知直线l:x−y−2=0与圆O:x2+y2=1,过直线l上的任意一点P作圆O的切线PA,PB,切点分别为A,B,则A.3π4 B.2π3 C.π28.设椭圆C的两个焦点是F1,F2,过点F1的直线与椭圆C交于点P,Q,若|PF2|=|F1A.13 B.57 C.35二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.已知F1,F2分别是椭圆C:x29+y25A.△PF1F2的周长为10 B.△PF1F2面积的最大值为25

C.10.已知圆O1:x2+y2+2x=0与圆OA.两圆的公切线有2条

B.AB直线方程为2x+y+1=0

C.|AB|=255

D.动点P(x,y)在圆O11.如图,已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2,点E,F在四边形A1A.二面角A1−BD−A的平面角的正切值为2

B.CF⊥AC1

C.点E的轨迹是一个圆

D.直线DF与平面三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.a=(2,x,−1),b=(1,2,0),a⋅b=2,则13.已知正四面体P−ABC的棱长为1,空间中一点M满足PM=xPA+yPB+zPC,其中x,y,z∈R,且14.已知点P是椭圆x225+y216=1上一动点,Q是圆(x+3四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知直线l1经过点A(2,3).

(1)若l1与直线l2:x+2y+4=0垂直,求l1的方程;

(2)若l116.(本小题15分)

已知直线l:y=kx+1,l与圆C:(x−1)2+y2=4交于A,B两点,点Q在圆C上运动.

(1)当|AB|=23时,求k;

(2)17.(本小题15分)

在直三棱柱ABC−A1B1C1中,D、E分别是AA1、BC的中点,AC=BC=1,AA1=2,∠BCA=90°.

(1)求证:AE//平面18.(本小题17分)

如图,已知等腰梯形ABCD中,AD//BC,AB=AD=12BC=2,E是BC的中点,AE⋂BD=M,将△BAE沿着AE翻折成△B1AE,使平面B1AE⊥平面AECD.

(1)求证:CD⊥平面B1DM;

(2)求B1E与平面B1MD所成的角;19.(本小题17分)

已知F1、F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点P(263,1)在椭圆C上,离心率为12.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设A为椭圆C的左顶点,过点F2的直线I交椭圆C于D、E两点,S△ADE=18参考答案1.C

2.A

3.B

4.A

5.C

6.B

7.C

8.B

9.AB

10.AB

11.BCD

12.513.614.6

15.解:(1)由题可知,l2的斜率为−12,

设l1的斜率为k,因为l1⊥l2,所以−12k=−1,则k=2,

又l1经过点A(2,3),所以l1的方程为y−3=2(x−2),即2x−y−1=0;

(2)若l1在两坐标轴上的截距为0,即l1经过原点,设l1的方程为y=kx,

将A(2,3)代入解析式得2k=3,解得k=32,

故l1的方程为3x−2y=0,

若l1在两坐标轴上的截距不为0,则设l1的方程为xa16.解:(1)由题意可知:圆C:(x−1)2+y2=4的圆心C(1,0),半径r=2,

则圆心C(1,0)到直线l的距离d=r2−(|AB|2)2=1,

可得|k+1|1+k2=1,解得k=0.

(2)设M(x,y),

因为点P(2,1),且M为PQ17.解:(1)证明:因为ABC−A1B1C1为直三棱柱,

则C1C⊥平面ABC,且∠BCA=90°,

以C的原点,CA,CB,CC1分别为x轴,y轴,z轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

因为AC=BC=1,AA1=2,且D,E分别是AA1,BC的中点,

则C(0,0,0),A(1,0,0),C1(0,0,2),B(0,1,0),D(1,0,1),E(0,12,0),

所以AE=(−1,12,0),C1B=(0,1,−2),C1D=(1,0,−1),

设平面C1BD的法向量为n=(x,y,z),

则n⋅C1B=y−2z=0n⋅C1D=x−z=0,

18.(1)证明:∵AD/​/BC,E是BC的中点,∴AB=AD=BE=12BC=2,

故四边形ABED是菱形,从而AE⊥BD,

∴△BAE沿着AE翻折成△B1AE后,AE⊥B1M,AE⊥DM,

又∵B1M∩DM=M,

∴AE⊥平面B1MD,

由题意,易知AD/​/CE,AD=CE,

∴四边形AECD是平行四边形,故AE//CD,

∴CD⊥平面B1DM;

(2)解:∵AE⊥平面B1MD,

∴B1E与平面B1MD所成的角为∠EB1M,

由已知条件,可知AB=AE=CD,AB=AD=BE=12BC=2,

∴△B1AE是正三角形,∴∠EB1M=30°,

∴B1E与平面B1MD所成的角为30°;

(3)假设线段B1C上是存在点P,使得MP/​/平面B1AD,

过点P作PQ/​/CD交B1D于Q,连结MP,AQ,如下图:19.解:(1)由题可得:(263)2a2+1b2=1e=ca=12a2=b2+c2,

解得:a=2,b=3,

故椭圆C的方程为x24+y23=1;

(2)由(1)知,A(−2,0),F2(1,0),

若直线l的斜率不存在,则

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