2024-2025学年广东省珠海市珠海一中高一（上）第一次段考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省珠海一中高一（上）第一次段考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M=x|1<x<2，N=x|x<3，则M∩N=(

)A.x|x<2 B.x|x<3 C.x|1<x<2 D.x|1<x<32.若a∈{1,2,a2}，则a的取值集合为A.{0} B.{0,1} C.{0,2} D.{0,1,2}3.已知集合A满足{0,1}∪A={0,1,2,3}，则集合A的个数为(

)A.1 B.2 C.3 D.44.若命题“∃x0∈R,x02A.(−∞,−1)∪(2,+∞) B.(−∞,−1]∪[2,+∞)

C.(−1,2) D.[−1,2]5.若ab>0，且a<b，则下列不等式一定成立的是(

)A.a2<b2 B.1a<6.已知函数f(x)=1ax2+bx+c的部分图象如图所示，则A.−3

B.−6

C.13

D.17.已知a，b，c∈R，使a>b成立的一个充分不必要条件是(

)A.a+c>b+c B.ac>bc C.a2>b8.已知a>0，b>0，且1a+2b=1，则A.2 B.2 C.32二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.命题p：∃x∈R，x2+bx+1≤0的否定是真命题，则实数b的值可能是(

)A.−74 B.−32 C.10.若正实数x，y满足2x+y=1，则下列说法正确的是(

)A.xy有最大值为18 B.1x+4y有最小值为6+42

C.411.已知b>0，若对任意的x∈(0,+∞)，不等式ax3+3xA.a<0 B.a2b=3

C.a2+4b的最小值为12 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若集合U={1,2,3,4,5,6}，A={1,3,5}，B={2,5}，则如图中的阴影部分表示的集合为

．

13.已知1<a<6，3<b<4，则a−2b的取值范围为______，ba的取值范围为______．14.某购物网站在2022年10月开展“买三免一”活动，规则是“购买3件商品，最便宜的一件商品免费”，比如如下结算案例：包的价格为200元，衣服的价格为200元，鞋的价格为150元，用户应支付200+200+150=550元，减免价格最低商品价格150元，实际支付400元，实际折扣400÷550=约7.3折，立省150元．

(1)如果在此网站上购买的三件商品价格分别为500元、700元、400元，按照“买三免一”的规则购买这三件商品的实际折扣为______折；

(2)在这个网站上购买3件商品，按照“买三免一”的规则，这3件商品实际折扣力度最大约为______折(保留一位小数)．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知全集U=R，集合A={x|x2−4x+3≤0}，B={x|2<x<4}，C={x|2a≤x≤a+2}且C为非空集合．

(1)分别求A∩B，A∪(∁UB)；

(2)若x∈B是16.(本小题15分)

如图，动物园要以墙体为背面，用钢筋网围成四间具有相同面积的矩形虎笼．

(1)现有可围36m长钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？

(2)若每间虎笼的面积为20m217.(本小题15分)

设a∈R，二次函数f(x)=ax2−2x−2a.若f(x)>0的解集为A，B={x|1<x<3}，A∩B≠⌀，求实数18.(本小题17分)

(1)已知a>0，b>0，求证：ab+ba≥a+b；

(2)设19.(本小题17分)

已知集合M={1,2,⋯,2024}，A为M的非空子集，

(1)若λA为集合A中最大数与最小数的和.求所有这样的λA的算术平均数；

(2)若集合A中有1013个元素，证明集合A中一定存在两个数，一个能被另一个整除．

参考答案1.C

2.C

3.D

4.B

5.C

6.C

7.D

8.A

9.AB

10.ABC

11.ACD

12.{1,3}

13.(−7,0)

(114.7.5

6.7

15.解：(1)A={x|x2−4x+3≤0}={x|1≤x≤3}，

又B={x|2<x<4}，所以∁UB={x|x≤2或x≥4}，

故A∩B={x|2<x≤3}，A∪(∁UB)={x|x≤3或x≥4}；

(2)因为x∈B是x∈C的必要不充分条件，故C是B的真子集，C非空，

故2a≤a+22<2a4>a+216.(1)解：设每间老虎笼的长为xm，宽为ym，则每间老虎笼的面积为S=xy，由已知可得4x+5y=36，

由基本不等式可得S=xy=120⋅4x⋅5y≤120×(4x+5y2)2=815(m2)，

当且仅当4x=5y4x+5y=36，即当x=92y=185时，等号成立，

因此，每间虎笼的长为92m，宽为185m17.解：由题意可知二次函数a≠0，

令f(x)=0解得其两根为x1=1a−2+1a2,x2=1a+2+1a2

由此可知x1<0，x2>0

(i)当a>0时，A={x|x<x1}∪{x|x>x2}，则A∩B≠ϕ的充要条件是x18.证明：(1)由于a>0，b>0，

则ab+b≥2a①，

ba+a≥2b②，

①+②可得：ab+b+ba19.解：(1)∵集合M={1,2,⋯,2024}，

∴集合M的非空子集个数为22024−1个，

对集合M的每一个非空子集A={x1,x2,x3,⋯,xk}，

设x1<x2<x3<⋯<xk,1≤k≤2024(k∈N∗)，

都有集合M的一个子集A′={2025−x|x∈X}与之对应，且A′⊆M，

则λA=x1+xk，λA′=2025−x1+2025−xk=4050−(x1+xk)，

当A≠A′时，λA+λA′=x1+xk+4050−(x1+xk)=4050，

若A=A′时，λA+λA′=2025+2025=4050，

∴所有这样的λA的算术平均数为(22024−1)×40502×(22024−1)=2025；

证明：(2)如果集合P中的某个元素a与集合Q中的某个元素b具有整除关系，

那么我们可以说a在集合Q中对应的数为b，

设C={1013,1014,1015,⋯,2024}，

设B={1,2,3,⋯,1012}，

由题意得集合C中任意两个元素不具有整除关系，

现说明集合B中元素都能在集合C中有对应的元素，

设n∈B，由1013≤nk≤2024，1013≤nk≤2024⇒1013n≤k≤2024n，

显然给定n一个，该不等式k至少有一个正整数解，

所以集合B中元素都能在集合C中有对应的元素，

设A={1013,1014,1015,⋯,2024,n}，

此时集合A中有1013个元素，因为n∈B，故由上可知集合A中一定存在两个数，一个能被另一个整除；

设从1013，1014，1015，⋯，2024