高考数学科学复习：数列的概念与表示

第七章

数列

第34讲数列的概念与表示

［课程标准］了解数列的概念和表示方法(列表法、图象法、通项公式法)，了解

数列是一种特殊函数.

基硼知识整合

＞知识梳瘪

1.数列的定义

按照画确定的顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数

列的画项.其中第1项也叫做首项.数列的一般形式是公，。2,…，an,■■■,简

记为画出L

2.数列的表示方法

⑴列表法.

(2)图象法.

(3)数列的通项公式

如果数列｛为｝的第n项一与它的画序号n之间的对应关系可以用一个式子

来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.

(4)数列的递推公式

如果一个数列的画相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子表示，那么

这个式子叫做这个数列的递推公式，知道了画首项和画递推公式,就能求出这

个数列的每一项.

3.数列的分类

有穷数列：项数数有限

无穷数列：项数蚓无限

递增数列：a“+画》2；

递减数列：a,田亟氏；

常数列:a,+i=a"，其中nCN*;

摆动数列：a“与％大小关系

不定

4.数列｛板｝的前。项和必与斯的关系

⑴S”的定义

把数列｛服｝从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列｛服｝的前n项和，

记作S”，即的=叵+@+...+@.

(2)访与S”的关系

1131sl,n=1,

j__

I141Sn—Sji_i,〃>2.

◎知识拓展

Cln,Cln-1,

1.在数列｛所｝中，若a”最大，贝犷、

Cln>Cln+1.

Cln<Cln_1,

若a“最小，贝

ClnWCln+1.

2.数列与函数的关系

数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函

数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列.

3.数列通项公式的注意点

(1)并不是所有的数列都有通项公式.

(2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一.

(3)对于一个数列，如果只知道它的前几项，而没有指出它的变化规律，是不

能确定这个数列的.

>双基自虬

1.在数列1,1,2,3,5,8,13,x,34,55,…中，x应取（）

A.19B.20

C.21D.22

答案C

解析由题意，可以发现，从第三项起，每一项都是前面两项的和，•.•%=8

+13=21.故选C.

2.(多选)(人教A选择性必修第二册4.1例2(2)改编)已知数列的前4项为2,

0,2,0,则依此归纳该数列的通项可能是()

[2,〃为奇数，

A.=(—1)"।+1B.u.n—'

10,〃为偶数

.rm

C.cin—2sin2D.cin=cos(n—1)兀+1

答案ABD

WTT

解析对〃=1,2,3,4进行验证，an=2sing不符合题意，其他均符合.故

选ABD.

Z7O

3.在数列｛如｝中，ai=1,1=飙_1+(-1)"(〃三2,n€N*)，则.的值是()

、1515

A-16BT

33

C-4D.R

答案C

解析由已知，得。2=1+(-1)2=2,「.2〃3=2+(-1)3,03=4，+

(-I)4,04=3,3(?5=3+(-I)5,45=|,.谭=3义|=,.故选C.

4.(人教B选择性必修第三册习题5-IBT6改编)若S,为数列｛所｝的前〃项

fl1

和，且，则%=()

A.lB.1

o□

C.击D.30

答案D

fin-111

解析•.•当〃三2时，以=的—5〃」=-7-——=「一丁，」.一=5x(5+

n+1n〃(〃+1)'。5'

1)=30.故选口.

5.已知外="+茄，且对于任意的“CN*,数列｛如｝是递增数列,则实数7

的取值范围是________.

答案(-3,+8)

22

解析由｛a*｝是递增数列可知，。“+1>外，即an+i-an=[(n+I)+A(n+1)]-(n

+A«)=2n+l+A>0对任意的n€N*恒成立,：.)>-(2n+1)对任意的n€N*恒成立,

又当“€N*时，一(2"+l)W-3,故丸>一3.

核心考向突破

考向一利用或与S”的关系求通项公式

例1(1)(2023•哈尔滨模拟)已知数列｛a列的前“项和为S"，m=],S,=2或,],

贝g=()

答案B

3

解析由已知S〃=2a"+i,得=2(S〃+i—SQ,25«+i=3Sn,贝1JS〃+i=/S”,

而Si=m=l,所以=.故选B.

(2)已知数列｛a〃｝满足<7i+2a2+3a3+...+nan=2",贝1Jan=.

[2,n=l,

答案12-1

解析当〃=1时,ai=21=2,当〃》2时，由ai+2a2+3a3+…+=2"①,

得Cl\+2。2+3〃3+1)即_1=2〃1②,由①—②得TlCln=2〃-2〃1=2〃1,

(〃

2c〃-i]2,=1,

所以an=丁显然当n=1时不满足上式,所以或=12-

n——，心

In2.

I触类旁通I

1.已知的求外的一般步骤

(1)当〃=1时，由ai=Si求ai的值；

(2)当〃22时,由服=SLS-，求得公的表达式;

(3)检验ai的值是否满足(2)中的表达式，若不满足，则分段表示跖；

(4)写出服的完整表达式.

2.S“与关系问题的求解思路

⑴利用州=S'-2)转化为只含S”,S"」的关系式，再求解;

(2)利用科-S“_i=a”522)转化为只含a”,小」的关系式，再求解.

即时训练1.(多选)设S是数列｛Z｝的前〃项和，且二=-1,an+l=SnSn+l,

则下列结论正确的是()

AA.Cln~/11、

n(〃一1)

[-1，n=1,

B.an=]1-

[n(n-1),">2

C.Sn=--n

D.数列尚是等差数列

答案BCD

=

角军^T,1SnSn+1,又。〃+1=S〃+1—S九，「♦S〃+1—=S〃S九+1,二

On+1

1,••仁是首项为"='=-1,公差为d=-1的等差数列，.4=-l+d)x(-

1)=~n,即S”=一：.又当时，an=Sn-Sn_\=~~.+=―,,显然

|-1,n=l,

0=-1不满足上式，故酸=〈1c综上可知，B,C,D正确.故选

[n(H-1)'42.

BCD.

2.已知数歹U｛。"｝的前几项和为=(一I)"]•凡贝1J45+06=,an=

答案-2(-1)"+1•(2〃-1)

解析45+=S6-S4=(-6)-(-4)=一2.当n=1时，ai=Si=1；当〃»2

时必=5〃-5*1=(—1严1力一(一1)"<〃—1)=(一1)"+11)]=(—I)"](2〃

-1),又如也适合此式,所以斯=(-1)*1,(2〃-1).

考向二由递推关系求数列的通项公式

例2分别求出满足下列条件的数列的通项公式.

(l)tzi=0,an+i=an+(2n-l)(n€N*)；

n、*

(2)6ZI=1,an=.二产n€N)；

(3)ai=1,an+i=3an+2(n€N*);

(4)m=2,ai=€N").

n+Cln+，

解(1)当〃三2,“CN*时，an=ai+(a2-ai)+...+(an-an^i)=0+1+3+...

+(2"-3)=(〃一1产，

当”=1时，也符合上式.

所以该数列的通项公式为痣=(〃-1)2.

(2)当〃三2,“WN*时，

当”=1时，也符合上式，

所以该数列的通项公式为an=n.

an+l+1

(3)因为m+1=3或+2,所以a〃+i+l=34+l),所以一丁丁=3,所以数列

Cln+1

{m+1}为等比数列，公比q=3,

又m+1=2,所以+1=2・3"一1,

所以该数列的通项公式为斯=2,3〃T-1.

(4)因为矶10=2,所以酸#0,所以」一=；+；,即一」一一；=；,

an+2an+ianzan+\,

又ai=2,所以2",所以皆是首项为:，公差为；的等差数列，所以2=3+(〃

Z[Un)ZZClnZ

1n__2

-14)xx2=2,即a“=7

触类旁通I由递推关系式求通项公式的常用方法

方法递推关系式

累加法已知m且〃〃一an-i=J(n),求an

累乘法已知ai且=f(n),求a”

Cln-1

已知a\且an+\=qan+b,贝ljan+i+左二式a〃+左)(其中左可由待定系数

法确定)，可转化为等比数歹心诙+6求解

已知ai且诙+1=pan+/p"+i⑦力0,尸0),则两边同时除以p"i得

Cln1dn1Cln1

构造法到3=；+如加，底0)，可转化为等差数列情求解

形如以+I=RA?「(A,B,C为常数)的数列，可通过两边同时取倒

Dan+C

数的方法构造新数列求解

n

「即时训练1.若数列｛外｝满足ai=l,an+i=a,l+2,则数列｛痴｝的通项公式

为a”=.

答案2-1

解析由题意，知。"+1-=2",an=(an-1)+(Gn_1-«n.2)+...+(<72-<21)

,,1-2"

+ai=2',-i+2n-2+...+2+l=~~7=2"—1.

1-z

2.在数列｛a“｝中,ai=4,〃a”+1=(〃+2)z,则数列｛•｝的通项公式为an=

答案2n(n+1)

+1〃+2aCln-10302

解析由递推关系得丁=丁，又八4,二仆力n

Clna2a\

,11*1

3.在数列｛板｝中，m=1,(n€N"),贝=,五

是这个数列的第项.

n+2

答案3n

_1（IV

解析由题意得a”=下”_1+区|（九22）,二3"斯=3"-%〃_1+1（九—2）,即3"所

-3"一•服」=1（〃三2）.又0=1,.■,3%1=3,二数列｛3%｝是以3为首项，1为

n+2+n+21

公差的等差数列，二3%=3+（〃-1）x1=〃+2,二酸二行-。?€N'）.由下-=语,

得〃=7.

多角度探究突破___________

考向三数列的性质

角度1数列的周期性

例3（2023•防城港模拟）已知数列｛z｝满足勃+1=丁」，若aij贝1J02023

L—Cln乙

-

A-2B

1

c-D2

2

答案c

1

」

角析

贝

刀-2

-------一-

牛-2--l---

a2-a3-

a2-2

-2

故｛所｝是周期为3的数列，因为2023=674x3+1,所以02023=0

=；.故选C.

角度2数列的单调性

3n+k

例4已知数列｛或｝的通项公式为。〃=三「，若数列｛。,｝为递减数列，则实

数上的取值范围为()

A.(3,+°°)B.(2,+8)

C.(1,+°°)D.(0,+8)

答案D

*3〃+3+左

解析因为数列｛。〃｝为递减数列，所以对任意〃€N*,an+i-an=-

3〃+k313H—k

—^=2„+1<0.即左>3—3〃对任意〃CN*恒成立，所以左€(0,+8).故

选D.

角度3数列的最值

例5已知数列｛。〃｝的通项公式为痣=“停丫，则数列｛斯｝中的最大项为()

82

AA.gB.§

「64c125

ur-—81Du-—243

答案A

、、<2V7+1,2、〃2-n(2、咒

解析解法一(作差比较法)：或+i-m=(〃+D(jJ一"目一同，当

九<2时,an+i-an>Q,即斯+i>a*当〃=2时,an+i-an=0,即a”+i=a*当〃>2

时，an+l-an<0,即服+1<或，所以0<&2=。3>。4>45>…>或，所以数列｛。"｝中的最

大项为。2或。3,且。2=。3=2X停)=/.故选A.

⑵〃+1

a.1("+D同2(1、

解法二(作商比较法)：由题可知，而>0,j=---------------------=在+外

“41-

/Cln.1,./Cln1/Cln+1,

令〉解得n<2;令:一+解得n=2;令解得〃.故a\<ai=

Cln1,Cln=1,Cln<1,>2

a3>a4>a5>--->an,所以数列｛或｝中的最大项为s或。3,且。2

A.

触类旁通l(D利用递推公式探求数列的周期性的两种思想

思想一：根据递推公式，写出数列的前〃项直到出现周期情况后，利用。-7

=an写出周期("+T)-n=T.

思想二：利用递推公式“逐级”递推，直到出现an+T=an,即得周期T=(n

+7)—72.

(2)判断数列的单调性的两种方法

作差法一判断a〃+i—an的符号

作言法判断电且与1的大小关系(猴＞0)

a„

(3)求数列的最大项与最小项的常用方法

①将数列视为函数人x)当x€N*时所对应的一列函数值，根据五x)的类型作出

相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出火心的最值，进而求出数列的

最大项或最小项；

②通过通项公式an研究数列的增减性,确定最大项及最小项.

1+dn

即时训练1.已知数列｛词满足。1=2,。〃+1二1一则414203…42023

)

A.-6B.6

C.-3D.3

答案D

..1+1+2]1

解析=2,an+l=Z,**•6Z2=TZ=-3,6Z3=一不，〃4=不，45=2,…，

1-Cln1-Z乙D

505

.,.^H+4=an.又axaia^UA-1,axaias'-cmn=(6Z16Z24Z36Z4),a\aia^-1X2X(-

3)x(-3)=3.故选D.

2.(2023•广东4月大联考)已知数列｛z｝的各项均为正数，数列六料是常数

列，则数列｛斯｝()

A,是递增数列B.是递减数列

C.先递增后递减D.先递减后递增

答案A

a+n\

解析设n2〃=一左为常数）,则以=左2"-"，,.3>0,.，.%>的n，易得k>],

Cln—Gn_i—k,2"—n—k'2n+fl—1—^,2n1—1>,X21—1=0（〃三2）,Un—Cln_i>0,

数列｛斯｝为递增数列.故选A.

3.已知数列｛斯｝中，。“=1+。+2（"）（"CN*,aWZ,且存0）.若对任

意的〃€N*,者隋所WQ6成立,则a=，数列｛m｝中最小项的值为.

答案-90

1

12、

解析an=1+z丁=1+-.因为对任意的〃€N*,都有anWa6

a+02,（n—1；2—a

”亍

1

22—tz

成立，结合函数火X）=l+—Z—的单调性，知5〈丁<6,所以-10<。<-8,因

Z-u乙

x---

为aCZ,所以。=-9,所以21+■，可知最小项为。5=0.

课时作业

一、单项选择题

1.已知数列/，小，25…，则2小是该数列的（）

A.第5项B.第6项

C.第7项D.第8项

答案C

解析由数列吸，小，2版…的前3项也，小，乖可知，数列的通项公

式为<2"=弋2+35-1）=yj3n-1,由<3九-1=2小,可得〃=7.故选C.

2.（2023•北京丰台二模）已知数列｛飙｝的前〃项和为的，若S〃="-1,则。3

A.-5B.5

C.7D.8

答案B

解析因为S”=〃2—1,所以。3=S3—S2=(32—1)—(22—1)=5.故选B.

3.在数列｛a〃｝中，ai=3,ai--1,an+2=3an+i+an,则“5=()

A.0B.-1

C.-2D.-3

答案D

解析t/3=3a2+a\=-3+3=0,t/4=3a3+ai=-1,as=3a4+<23=—3.故选

D.

21

4.若数列｛所｝的前〃项和为S〃，且满足的=3〃+于则5=()

1一2"1-(-2)n

A-3B-3

1+2"1+(-2)n

C.-2-D.

答案B

21

+

解析当"=1时，<21=51=3>解得。1=1；当〃>2时，an=Sn-Sn_l

21但D22、、、

—3。"+3—(3"®-1+3J~3""-3。”-1，艮口=-2ali_1；■■｛a”｝百工页为1,公比为

1-(-2)n1-(-2)n

-2的等比数列，.・$=「J)=——§——•故选B

5.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏,它用九个圆环相连成串，

以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关援，解之

为二，又合而为一."在某种玩法中，用表示解下〃(〃W9,〃€N*)个圆环所需

2an.i-1,〃为偶数，

的最少移动次数，若m=l,且如=cc4太物则解下5个圆环所需的

[2版」+2,〃为奇数，

最少移动次数为()

A.7B.13

C.16D.22

答案C

2服」-1,〃为偶数,

解析数列｛所｝满足。1=1,且c所以42=2.1-1=

[2a”_i+2,”为奇数，

1,<23=2ai+2=4,<24=2<23-1=7,。5=2。4+2=16.所以解下5个圆环所需的最

少移动次数为16.故选C.

6.（2023•张掖模拟）已知数列｛词的前〃项和为Sn,若m=2,Sn=Sn+1-3an

-2,则S20=()

A<B.321-20

r3^_43D?_包

J2—2u-22

答案D

===

角翠由SnSn+1~3dn~2,彳导Sn+1—Sn3dn+2,^Ff以Cln+l3dn+2,^Ff以

所+1+1=3（而+1）,因为0+1=2+1=3,所以｛外+1｝是以3为首项，3为公比

的等比数列，所以念+1=3",所以匾=3"-1,所以S2o=3+32+...+320-20=

3x(1-32。)32143

-20=彳-芋故选D.

1^3

7.设的为数列｛外｝的前n项和，“｛词是递增数列”是“｛8｝是递增数列”的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案D

解析数列-3,-2,-1,0,…是递增数列，但｛SQ不是递增数列，即充

分性不成立；数歹U1,1,1,…，满足｛&｝是递增数列，但数列1,1,1,…不是

递增数列，即必要性不成立，所以“｛。〃｝是递增数列”是“｛S〃｝是递增数列”的既不充

分也不必要条件.故选D.

8.（2023•衡水模拟）已知数列｛词为递减数列,其前〃项和S〃=-川+2〃+加,

则实数机的取值范围是（）

A.（-2,+°°）B.（-8,一2）

C.（2,+8）D.（-8,2）

答案A

解析当“三2时，或=S”-S”_i=一/+2〃+机一［一（“一+2（〃-1）+〃力=

-2/7+3,故当〃三2时，｛加｝为递减数列，只需满足。2<G，即-1<1+血，解得

m>-2.故选A.

二、多项选择题

9.已知数列｛或｝满足酸+I=1—2（"€N*）,且0=2,贝小）

A.6Z3=-1B.Q2023=

C.S3=|D.S2023=1013

答案ACD

解析由数列｛所｝满足。1=2,Z+1=1-€N*）,可得42=3，。3=-1,

44=2,■，…，所以+3数列｛〃”｝的周期为3,故Q2023=Q674x3+1=

33

=2,53=2，^023=674X-+2=1013.

10.（2023・济南历城二中二模）下列四个命题中，正确的是（）

A.数列卜品的第左项为1+1

B.已知数列｛服｝的通项公式为z=*一〃一50,“6N*,则-8是该数列的第

7项

C.数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为斯=2"-1

YI

D.数列｛外｝的通项公式为期=,，"WN*,则数列｛分｝是递增数列

答案ABD

解析对于A,数歹的第左项为1+£故A正确；对于B,令n-n

—50=-8,得〃=7或〃=-6（舍去），故B正确;对于C,将3,5,9,17,33,■■■

的各项减去1,得2,4.8,16,32,■■■,设该数列为｛况｝,则其通项公式为bn

2"(〃CN*),因此数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为a”=瓦+1=2"+

1（〃CN*）,故C错误；对于D,an=~—=1-1,则a”+1-或=/0=

5+1）15+2）＞仇因此数列｛久｝是递增数列，故D正确.故选ABD.

H.费马数是以数学家费马命名的一组自然数，具有如下形式：瓦=22〃+1（〃

=。，1,2,-）,若瓦=1噌（"1）.36（〃CN*），贝1（）

A.数列｛瓦｝的最大项为。1B.数列｛为｝的最大项为。6

C.数列｛瓦｝的最小项为从D.数列｛为｝的最小项为打

答案BD

解析b"=ic°一记=痴%，因为函数人〃）=2"-36单调递增，且

当后5时，加）＜0,即加＜0,当心6时，加）＞0,即况＞0,所以数列｛瓦｝的最

大项为be,最小项为。5.故选BD.

三、填空题

12.（2023•甘肃五十八中一模）数列｛词的前七项积为序,那么当〃三2时，an

解析设数列析”｝的前“项积为4,则根=aia2a3X…><丽=序①，当九22

时，1=aia2a3X…Xaw_i=(〃-②，①?②得a”=[〃_]J(〃三2).

13.已知数列｛或｝满足下列条件：

①是无穷数列；②是递减数列；③每一项都是正数.

写出一个符合条件的数列｛劣｝的通项公式为an=

答案5答案不唯一）

解析符合条件的数列有汽，器出，■■■.

14.已知数列｛外｝满足或+a.+i=2〃+l(〃eN*),ai=l,则数列｛外｝的通项公

式为.

答案Cln=n

解析当G2时，由题得呢-1+斯=2(〃-1)+1=2〃-1,联立

Cln_1+Cln=2n—1,

c।得或+i=2,所以奇数项成等差数列，偶数项也成等差

a>i+an+I=277+1,

数列，公差均为2