云南省大理州宾川县某中学2024-2025学年高二年级上册开学测试 数学试题（含答案）

云南省大理州宾川四中2024-2025学年高二年级上期数学开

学测试题

（考试总分：150分考试时长：120分钟）

一、单选题（本题共计8小题，总分40分）

］若集合"={x1五＜2卜N={-1,1,2,8)^则Mp|N=(

)

A.{1，2}B.卜I」'？}c.{128}D.{T』，2,8}

2.若Q+i3=2+bi,a,b£R,贝|4+6=()

A.1B.-1C.2D.-2

,71

,A——,ci=3,6=2

3.记△NBC的内角C的对边分别为。，瓦。，若4,贝ijsin5=()

41V2V2

A.4B.6C.2D.3

4.已知巴仅是两个不同的平面，/,心是々内两条不同的直线，则“〃左，且加///”是“

a///?”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

5.把函数"sin14x+y

的图象向左平移°（">°）个单位长度后得到函数gG）的图象,

/（X）图象的对称轴与g（x）图象的对称轴重合，贝Ija的值可能为（）

兀兀7T兀

A.6B.12C.4D.§

6.现有7张分别标有1，2,3,4,5,6,7的卡片，甲一次性从中随机抽取5张卡片，抽到的卡片

数字之和为。，剩下的2张卡片数字之和为6,则“》36的概率为（）

5243^

A.7B.7c.7D.7

3兀csin（"⑶,

7«+/?=-,tana=..皿।cos（a-尸）-sinasin分（、

/•石r，火!J''V）

A.1B.-1C.2D.-2

“x）={H，0<X4X

8.已知%>°,函数"22-龙），，<x<22,若关于x的方程“x）=2至少有2个

不同的实数解，则2的取值范围为（）

A.ITB.Qi）C.D.（。』）

二、多选题（本题共计3小题，总分18分）

9.若空间几何体A的顶点数和空间几何体B的顶点数之和为12,则A和8可能分别是

（）

A.三棱锥和四棱柱B.四棱锥和三棱柱

C.四棱锥和四棱柱D.五棱锥和三棱柱

10.抛掷质地均匀的骰子两次，事件/="第一次出现偶数点“，事件8="第二次出现奇数

点，，，事件C="两次都出现偶数点，，，贝u（）

A./包含CB./与3相互独立

C.3与C互为对立事件D.3与C互斥但不对立

11.在A/BC中，角48,C的对应边分别为a，6，c.已知

（«+b）（sinA+sinfi）=csinC+asinB,c=6；则下列结论正确的是（）

C=-

A.3

B.△ZSC外接圆的半径为2#

C.△NBC面积的最大值为3百

D.若。为△/台。的中线，则°的最小值为行

三、填空题（本题共计3小题，总分15分）

-\a\=2ia+b\=3,a-b=-后|=

12.若向量落入满足।12.则II_

13.已知数据叽4,7的极差为6,且80%分位数为病-20,贝|］优=.

14.已知某圆锥的体积为3%侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球的体积为

四、解答题（本题共计5小题，总分77分）

15.7月23日，第8届中国―南亚博览会暨第28届中国昆明进出口商品交易会在昆明滇

池国际会展中心隆重开幕.本届南博会以“团结协作、共谋发展”为主题，会期从23日至28

日，共设15个展馆，展览面积15万平方米，吸引82个国家、地区和国际组织参会，2000

多家企业进馆参展.某机构邀请了进馆参展的100家企业对此次展览进行评分，分值均在

[90」°°]内，并将部分数据整理如下表:

[90,[92,[94,[98,

分数

频数10102020

(1)估计这100家企业评分的中位数(保留小数点后一位)；

(2)估计这100家企业评分的平均数与方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).

16.在某次投篮比赛中，需要投篮四次.第一次投篮命中得1分，第二次投篮命中得2分，

第三次和第四次投篮命中均得3分，未命中不得分.甲四次投篮命中的概率分别为

j_]_j_j_

a’75'5,且每次投篮能否命中都是相五独立的.

(1)求甲四次投篮共得0分的概率；

(2)若规定投篮者四次投篮的总得分不低于7分，则晋级成功.求甲晋级成功的概率.

17.若函数/(*)和8。)的定义域相同，值域也相同，则称/(、)和8々)是"同域函数

⑴判断函数k'-2x与y=2-1是否为“同域函数“，并说明理由；

(2)若函数""①匕"(一⑶和g(x)=bg.(*+…加＞0,且"1)是"同

域函数"，求。的值.

18.如图，甲船在点”处通过雷达发现在其南偏东6。°方向相距20海里的N处有一艘货

船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从N处向南偏西60。的方向行驶.甲船

立即通知在其正西方向且相距30百海里的P处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度

与货船在H处会合.

⑴求PN的长；

(2)试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合?

19.如图，在正三棱柱/8°一44G中，，8=网,£),瓦尸分别为/8L4的中点

(1)若三棱柱/8C—44G的体积为26，求AB的长

(2)证明：DF2平面CDE

(3)若正方形的中心为°,动点M在A8E的边上，求直线0M与平面COE所成角

的正切值的最小值与最大值.

1.B

【分析】化简根据集合的交集运算即可.

［详解］由题意得河="住＜8},N={-1,1,2,8},

所以MCN={T1,2}.

故选：B

2.A

【分析】由复数的乘法运算结合复数相等可得“力，则。+6可求.

【详解】由题意得a+i'="i=2+6i,得。=2,b=-l,所以“+6=1.

故选：A.

3.D

.nb.A

smB=—SUM

【分析】利用正弦定理可得〃，代入计算即可.

ab._b..2.7iV2

-----=------sinn=—SIIL4=—sm—=

【详解】由正弦定理si必sin5,得a343.

故选：D.

4.C

【分析】由面面平行的判定与性质即可判断.

【详解】若〃.，加//?，则名分不一定平行(缺少条件/，加相交)；

若all0,l,mua,则〃/尸，且加///7,

故，，〃/相，且加〃力”是的必要不充分条件，

故选：C.

5.C

【分析】先根据平移得出函数解析式，再根据图像的对称性求出参数即可判断.

g(x)=sin4(x+d)+—=sin4x+4(2+—

【详解】由题意得L3」I3人与函数

f(JC)=sin|4x+—|

'I3J对称轴相同，

贝14a=kjt,kGN+

JciLj__7L

a=——GN,—

得4，所以。的值可能为4.

故选：C.

6.D

【分析】依据题意，将转化为647,再结合古典概型公式求解即可.

【详解】因为1+2+3+4+5+6+7=28,所以0+%=28,

故”28-6,而所以28-心3b,解得狂7,

所以求6=7的概率即可，从7张卡片抽2张，

基本事件有(1，2),(1,3),(1，4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),

(1,7),(2,6),(2,7),(3,5),(3,6),(3,7),(4,5),(4,6),(4,7),(5,6),(5,7),(6,7)；

共有21个基本事件，且设647的概率为产，

符合题意的事件有Q2)，(1，4),(1,5),(1,6),

p=2=3

(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),共9种,所以217,故D正确.

故选：D

【点睛】关键点点睛：本题考查概率，解题关键是合理消元，转化条件，然后利用古典概

型公式得到所要求的概率即可.

7.B

【分析】由两角差的正弦、余弦、正切公式展开化简即可.

(工、tan--tancif

tan/7=tan--a=------------------=3

I4)1+tan上tana

【详解】由题意得4

则

sin(a-0)sinacos/?-cosasin/7_sinacos/?—cosasin/7_

-----------------；-----；--------；----；—=-------------------=tana-tan。=­1

cos(a-尸)一sinasin夕COS6ZCOS/7+sinasin/-sinasin/3cosacos/3

故选：B

8.A

【分析】由题可知/(X)的图象关于直线x=4对称，结合对数函数的图象，分0<4<1和

几N1两种情况讨论即可求得答案.

【详解】由题可知/（X）的图象关于直线x=%对称.

若0<彳<1,则/（X）在（°，2）上单调递减，在（办22）上单调递增，则

/（x）>/（2）=|ln2|--ln2

由关于x的方程/。）=2至少有2个不同的实根，

-4<A<1

可知Tn/l<2,解得e-,则e-

/（石]=/（2九--f]=20<^-<22<22--^<22

若花1,则leJIeJ,其中e?且e-，则关于》的方程

，（x）=2至少有2个不同的实根e2和e2.

Pp+R

综上所述，力的取值范围为）.

故选：A.

9.AD

【分析】根据题意，结合空间几何体的结构特征，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，由三棱锥的顶点数为4个，四棱柱的顶点数为8个，

所以两个几何体的顶点数之和为12个，符合题意；

对于B中，由四棱锥的顶点数为5个，三棱柱的顶点数为6个，

所以两个几何体的顶点数之和为11个，不符合题意；

对于C中，由四棱锥的顶点数为5个，四棱柱的顶点数为8个，

所以两个几何体的顶点数之和为13个，不符合题意；

对于D中，由五棱锥的顶点数为6个，三棱柱的顶点数为6个，

所以两个几何体的顶点数之和为12个，符合题意.

故选：AD.

10.ABD

【分析】先由题得/=B=C=AB,对于A,由包含事件定义即可得

解；对于B,由相互独立事件的乘法公式去计算尸（,8）和尸⑷尸⑻即可判断；对于c和

D,由互斥事件和对立事件的定义即可判断.

【详解】由题意可知/=疝，B=4BU1B,C=疝，

31尸⑻=|=；P(C)=|x|=1

口尸(4

n.62,62,oo4,

对于A,由上可知/包含C,故A正确;

331111

尸（皿=入工P⑷尸⑶=及丁，故尸（眼＞=尸⑷尸⑻，故B正确;

对于B,

对于C和D,设事件。=“抛掷质地均匀的骰子两次”，则D=

故由B=/BUM和C=4方知2与c互斥但不对立，故C错误，D正确

故选：ABD.

【点睛】思路点睛：先明确与“抛掷质地均匀的骰子两次”有关的各事件所包含的可能情况,

再根据包含事件、互斥事件以及对立事件的概念和概率乘法公式去计算相关概率即可判断

得解.

11.BCD

【分析】由正弦定理角化边，然后结合余弦定理求出角0,判断A错误；由正弦定理即可

求出外接圆的半径，判断出B正确；由余弦定理结合重要不等式得到。方412,然后由三角

形的面积公式即可求出面积的最大值，判断C正确；由

|CD|2=1(C2+CB)2=1(a2+Z)2-ab)=1(c2-2aZ>)=9-1>3则

\CD\~^,判断D正

确.

［详解］因为(Q+6)(sim4+sin5)=csinC+asinB

所以由正弦定理得（"+6）（"+%）="+"

即Q2+/_02=_ab,

a?+—/—ab1

cosC----------------------二—

由余弦定理得2ab2ab2,

c=@

因为Ce(°"),所以一3,A错误.

c旦=4也=2R

sinCV3

设△/BC外接圆的半径为尺,贝|]

得7?=26，B正确.

由Y+〃一/_一处,得。2+/+=3622ab+ab,

即。6V12,当且仅当a=6=时，等号成立，

S=-fl/>sinC<-xl2x—=3A/3

则,222,即△"BC面积的最大值为3j3,c正确.

\CD^=-(CA+CB)2=-(a2+b2-ab}^-(c2-2ab}^9--ab>?,

根据题意可得4八,八72

则内河口正确.

故选：BCD

12.2

【分析】根据向量的数量积的运算法则及性质即可得解.

la1=2,1a+Z?I=3,a-b=—

【详解】因为।12,

▼引=a2+2a-b+b2-9口力.」引=2

所以।।,解得3=4,即".

故答案为：2

13.5

【分析】运用数据极差和百分位数概念和计算方法分类讨论即可.

【详解】因为7T=6,所以1江V7.

当LW4时，数据1，1，3，私4,7的80%分位数为4,由/_20=4,得加=±2指，不符合

题意，舍去.

当4<加47时，数据11，3,4,私7的80%分位数为加，由小一20=加，得机=5(负根舍去),

符合题意.故心=5.

故答案为：5.

4»4

-----71

14.3##3

【分析】设圆锥的底面半径为「，母线长为"高为力，由条件推得/=2厂，再由圆锥的体

积列方程，求得厂=6，再作圆锥的轴截面，利用面积相等即可求出圆锥内切球的半径，

即可算得其体积.

【详解】

设圆锥的底面半径为，,，母线长为/,高为九

因为圆锥的侧面展开图为半圆，所以侧面展开图的扇形弧长为兀/=2",贝”=2厂,

______,2「也

3兀瓜

从而技,则圆锥的体积一7一，解得』3

作出圆锥的轴截面，如图所示，其中圆锥内切球的球心为°,半径为4.

S^p=—x2rxh=3A/3=—(21+2r)x3737?n_i

则AB22、"，解得4」，

4n34

一兀凡,=—n

则该圆锥的内切球的体积为33.

4兀

故答案为：3.

15.(1)96.5

(2)96,5.8

【分析】(1)由中位数的佑计值的定义求解即可；

(2)由平均数的估计值与方差的计算公式计算即可.

【详解】⑴由题意得这100家企业评分在B6,98)内的频数为100-10-10-20-20=40.

设这100家企业评分的中位数的估计值为x,

因为评分在网96)内的频数之和为io+io+20=40<50,

评分在[9°，98)内的频数之和为40+40=80>50,

50-40_x-96

所以xe[96,98),由40-98-96,得x=96.5

(2)这100家企业评分的平均数的估计值为

x=-1-(91x10+93x10+95x20+97x40+99x20)=96,

这100家企业评分的方差的估计值为:

222222

5=-1-[(91-96)X10+(93-96)X10+(95-96)X20+(97-96)x40+(99-96)x20]=5.8

£

16.(1)8；

J_

(2)8.

【分析】(1)根据独立事件概率乘积公式计算即可；

(2)结合互斥事件的概率和公式及独立事件概率乘积公式计算即可.

【详解】(1)设事件/="甲四次投篮共得0分"，

所以

(2)设事件8="甲晋级成功"，则甲投篮至少命中3次.

若甲投篮命中3次晋级成功，则甲必定是第一次投篮或第二次投篮没有命中,

耳=1x_X_X1X

则甲投篮命中3次晋级成功的概率I4>3224

若甲投篮命中4次，必定晋级成功，则甲投篮命中4次普级成功的概率

c11111

2432248,

P(B~)=P+P=--

所以[一28,即甲晋级成功的概率为8.

17.(1)不是，理由见解析；

1

a=­

(2)4.

【分析】(1)判断函数V=尤与y=2，-l的定义域和值域是否相同，即可得结论；

⑵根据"同域函数"的定义可得--+M+的解集为(T，3),求得拉，〃，结合对数函

数的单调性，列出相应等式，求得答案.

【详解】(1)函数y='-2x与y=2'T不是“同域函数”，理由如下：

函数y=/-2%与>=2'-1的定义域均为凡

由广一一2x=(x-l)-2!可知y=/-2x的值域为[T+00),

由y=2、-1>-1,可知y=2、-1的值域为(T+s),

则y=/_2丫与y=2'-1的值域不相同,

所以函数y=--2%与N=2'-1不是“同域函数

⑵由底（一1，3）,得小ED，川-717C

452

至二/(x)=tan

因为函数了=标在4'2）上单调递增,

12所以

得g（x）的值域为H+00）,

由题意得―-+s+〃>0的解集为（T3）,

则T，3是关于x的方程--+“X+〃=0的两个解，

［-1+3=mfm=2

得［-1x3=-",得［"=3,所以g（x）=bg“（-x2+2x+3）,（a>0,且"D,

易彳导0<_、2+2x+3=—（x—I）2+4«4

当。>1时，函数>=bg〃X是增函数，则83=1°8。（一/+2》+3）的值域为（-00,1（^4］,不

符合题意.

当0<a<l时，函数>=咽”是减函数，则83=3（一》2+2》+3）的值域为［唾.4,+8）,

_1

所以bg/=T,得”7.

18.(1)70海里

(2)2小时

/PMN=——

【分析】（1）由题可得6,利用余弦定理即可求解；

（2）由余弦定理可得cos/MW,根据几何关系结合两角和的余弦公式求出cos/PM/,

再在△PNH中，利用余弦定理即可求出时间.

/7"»xcr兀兀5兀

NPMN=—十—=——

【详解】（1）根据题意可得236.

因为尸河=304海里，MV=20海里，

=J2700+400-2x30V3x20xcos—=70

所以根据余弦定理可得V6海里.

2700+4900-400_46

cos/MPN=sinZMPN=-

2X30A/3X70

(2)由余弦定理可得7，则7,

/冗冗、7TJT

cosZPNH=cos\ZMPN+----=cosZMPNcos——sinZMPNsm-

所以I23)66

473V31111

--------x---------------X——

727214.

设当补给船与货船会合时，补给船行驶的最少时间为，小时，则柄=1夕海里,

PH=25t海里.

4900+225/-625/1149

cos/PNH=-----------------=——,---

在△尸中，2x70x15/14解得，=2或8(舍去),

故当补给船与货船会合时，补给船行驶的时间至少为2小时.

19.(1)2

(2)证明见解析

【分析】(1)根据棱锥的体积公式，即可求得答案；

(2)根据线面垂直的判定定理，即可证明结论；

(3)作图分析，作出平面CDE的垂线，继而确定直线与平面COE所成角，利用线面

角的定义结合加与平面CDE所成角的正切值的表达式，确定相关线段的最值，即可求得

答案.

【详解】(1)在正三棱柱/8C-44G中，8月,底面/8C,且ZUBC为正三角形，

叱BCR£=彳次.BB、=彳寂=2A/3

解得48=2.

(2)证明：如图，连接同氏

IJ

B

...D,E,F分别为AB,BB\,AAt的中点，...DE//ABVDF//AtB

■.■AB=BBy,三棱柱/Be-44cl是正三棱柱，...四边形为正方形,

.ABXLAXB,:.DELDF

・・・△Z5C为正三角形，...CC4B.

••,"1’底面CQu底面48