数列-2025届高考数学二轮复习易错重难提升【新高考版】（含解析）

（5）数列

——2025届高考数学二轮复习易错重难提升【新高考版】

易混重难知识

1.等差数列通项公式：

2.等差中项公式：2a“=a,—+4+1（〃eN*,n>2）.

3.等差数列前〃项和公式：S.="（%+""）=叫+攻心".

4.等差数列的性质：

已知数列｛4｝是等差数列，S“是｛4｝的前〃项和.

（1）若7〃+“=2+4（7〃,〃,「，4©1^*）,则有%+%=%+%.

（2）等差数列｛4｝的单调性：当d>0时，｛%｝是递增函数；当d<0时，｛%｝是递减函数；当

d=0时，｛4｝是常数歹！J.

（3）若｛4｝是等差数列，公差为d,则w，W+a，W+2小…/，加eN*）是公差为md的等差数列.

（4）若｛4｝是等差数列，贝”｝1也是等差数列，其首项与｛4｝的首项相同，其公差是他“｝的

公差的L

2

（5）若｛。〃｝是等差数列，S^S2ffps3a分别为｛4｝的前机项，前2机项，前3机项的和，则

S^S2ffl-S^Ssa-S2ffl成等差数列，公差为m2d（d为数列｛4｝的公差）.

5.等比数列通项公式：册=叼….

6.等比中项公式：a；=a„_1-a,!+1（neN*,/?>2）.

nax（q=1）

n

7.等比数列前n项和公式：Sn=<ax（1-q｝_ax-anq.

—■二-；（q=i）

Iji-q

8.等比数列的前〃项和的性质：

（1）当qwl（或夕=一1且左为奇数）时，8口邑左-8H邑々-S2H…是等比数列.

（2）若4•氏=北，则&曳，曳，…成等比数列.

T〃T2n

（3）若数列｛%｝的项数为2〃，S偶与S奇分别为偶数项与奇数项的和，则。回="；若项数为

S奇

2/2+1,贝|J^Z^=小

易错试题提升

3

1.已知数列｛an｝的前〃项和S“=n，则%的值为（）.

A.15B.37C.27D.64

2.已知等比数列｛%｝的公比为q,前〃项和S“=根+q"，若。$=8%，则S4=（）

A.13B.15C.31D.33

3.已知数列｛%,｝是等差数列，若%+4+%=15，。8-。，=12，则［o等于（）

A.10B.12C.15D.18

4.设公差不为零的等差数列｛4｝的前〃项和为S“，a4=-a5,则春=（）

2i4

A.15B.lC.-iD.-9

5.山西大同的辽金时代建筑华严寺的大雄宝殿共有9间，左右对称分布，最中间的是明间，

宽度最大，然后向两边均依次是次间、次间、梢间、尽间.每间宽度从明间开始向左右两边均

按相同的比例逐步递减，且明间与相邻的次间的宽度比为8:7.若设明间的宽度为a,则该宝

殿9间的总宽度为（）

aB.15a—14a.lC.l4a1—D.15a—14a（）

6.已知各项均为正数的数列｛4｝满足对任意的正整数机，〃都有4+“=44,且为=27,则

+。3。6二（）

戊+2a；

A.A4B.-12C.-D.-3

15334

7.数列｛a“｝满足q=1,nan+l=（«+l）an+n（n+1）,若勿=a〃cos^1^，且数列也｝的前〃项和

为S“,则%=（）

A.64B.80C.-64D.-80

8.我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，如图所示，将1,2,3,…，9填入3x3

的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，便得到一个3阶幻方.一般地，

将连续的正整数1,2,3,…，川填入"X”个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数

的和都相等，这个正方形叫做〃阶幻方.记〃阶幻方的数的和（即方格内的所有数的和）为

S",如S3=45,那么下列说法错误的是（）

洛书幻方

492

VTT

A.S6=666

B.7阶幻方第4行第4列的数字可以为25

C.8阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为260

D.9阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为396

9.（多选）已知等差数列｛4｝,其前〃项和为S.，若品〉0,也<-1,则下列结论正确的是

（）

A.K|>gB.使S“>0的〃的最大值为16

C.公差D.当〃=8时S”最大

10.（多选）已知｛为｝是等比数列，公比为q,前〃项和为S“，则下列说法正确的是（）

A.｛%为等比数列B.｛lg|a“|｝为等差数列

C.若见+i>4，则4>1D.若S,=3"+r，则厂=—1

H.设S“为等差数列｛%｝的前〃项和，且$3=-15,§6=-12,则须+知+a=.

12.记sn为等比数列的前n项和.若S4=4,S8=12,则S16=.

H

13.已知数列｛4｝的前n项和为Sn,首项q=1且a,.-2%-1=0,若(-1)2<S“+2n对

VneN*恒成立，则实数2的取值范围是..

14.已知数列｛%｝满足％=1,7以“+]=3("+l)a”.

(1)设a="，求证：数列出｝是等比数列；

(2)求数列｛g｝的前冏项和

15.S”为数列｛4｝的前〃项和，已知a“〉0,6S„+4=a„2+3tz„.

⑴求｛g｝的通项公式；

⑵设a求数列出｝的前几项和.

anan+\

答案以及解析

1.答案：B

33

解析：由题意得，a4=S4-S3=4-3=64-27=37,故选：B.

2.答案：B

解析：｛a“｝是等比数列，•.•必二眄，.q=2

故5“=冽+2”,等比数列｛4｝的前几项和S“=丛1-2")=%(2〃_1)=%2"—%

又,.,S“=m+2”,故q=1,m=-1，

贝!J%=2，%=4，4=8，S4=%+a。+/+%=1+2+4+8=15.故选：B.

3.答案：C

解析：因为｛a“｝是等差数列，所以/+%+%=3可+12d=15,ag-a2-6d-12,

可得d=2，q=—3,所以io=4+9d=—3+18=15.故选：C.

4.答案：D

解析：设等差数列｛%｝的公差为d,(d>0).

aa

a4~^5'4+^),解得：a4=d，a5-2d-

%=%—3d——2d,dy+%——d.

+吵9=/2/x：=也2=_9,故选:D.

S4(«1+a4)x4+«4)X4一dx4

5.答案：D

解析：由题意，设明间的宽度。为等比数列的首项，从明间向右共5间（包括明间），宽度成

等比数列，公比为」7，同理从明间向左（包括明间）共5间，宽度成等比数列，公比为7

88

所以总宽度为2s5—a=28a—-a=15a-14a^,故选D.

6.答案：A

解析：因为正数的数列｛%｝满足对任意的正整数见〃都有4+“=。/〃，

取m=1，可得a.+i=%a",即」"

an

可得数列｛4｝是以对为首项，%为公比的等比数列，所以4=%",

又因为心=4=27,可得为=3,

。1生+a3a6_qa；+a；。；a：+a：1+a；1+34

则说+26=(叫2+2侬)a；2+2^a,+2al-32+2x3-15'

故选：A.

7.答案：C

解析：数列｛4｝满足a】=1,nan+1=(n+l)a“+〃(“+1)，

则&L=5L+1，

n+1n

可得数列是首项为1、公差为1的等差数列，

即有组=〃，即为4=/

n

2n7r2版

则2=册COS---=n2cos----

33

贝1Js”=—；(F+22+42+52+72+82+102+II2)+(32+62+92)

=-1(12+22-32-32+42+52-62-62+72+82-92-92+102+ll2)

=-1x(5+23+41+59)=-64.

故选：C.

8.答案：D

解析：根据〃阶幻方的定义，咒阶幻方的数列有1项，为首项为1,公差为1的等差数列,

故s〃=^——每行、每列、每条对角线上的数的和均为%.

2n

(1+62)x62A

对于A,S=---------=666,A正确;

62

对于B,7阶幻方有7行7歹！J,故第4行第4列的数字可以为该数列的中间值，即

2

二1+7^二25,B正确；

2

对于C,8阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为.=(1+8卜8=260,C正确;

82x8

对于D,9阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为邑=(“9=369,D错误.

92x9

故选D.

9.答案：ACD

解析：•・,等差数列｛〃〃｝,S15=£(%+%)=15。8>0，•,“8>0

—

又,:—<1，a9<—as<0,as+a9<Q

.•.|%|>为,A正确.

d=a9-as<-2a8<0,C正确.

*.*+^9<°'.**S]6=(〃i+〃16)=(。8+49)<°'S]5>0'

使>0的〃的最大值为15.B错误.

。9<°，•.・当几<8，%>0，n>9>/<。

所以当〃=8时S〃最大,D正确.

故选：ACD.

10.答案：ABD

2/、2

解析：对于A,粤%+l=q：故｛叫为公比为/的等比数列，故A正确;

禽、a〃，

对于B,lg|a0+J—lg⑷=lgf=lglg所以｛lg|为|｝是公差为lg|q|的等差数列，故

B正确;

nz1xn+1

对于C,若a“I,则%=-,

1

则4+1＞为,但q=5故c错

误;

对于D,因为S“=3"+r,所以。1=3+厂，a2=S2=6,a3=S3-S2=18,

因为｛%｝是等比数列，所以62=(3+力18,解得：r=-l,故D正确,

故选：ABD.

n.答案：39

解析：根据题意，设等差数列｛与｝的公差为力

等差数列｛4｝中风=一15,S6=-12,则%+%+4=&—S3=3%=3,

变形可得：%=1,

由S3=q+4+%=—15,贝！JW3a,——15,即a)=—5,

则有八一二2,

则须+%=341=3(。。+9d)=39.

故答案为：39.

12.答案：60

解析：设等比数列｛%｝公比为q,

S=4al=4

当q=1时,4无解;

Sg=8%=12

q4=2

得&=-4,

i—q

\j)=(-4)X(1—16)=60•

故答案为：60.

13.答案:[-3,8]

解析：因为a”.—2%—1=0,所以a.+1=2(4+1),

，数歹U{4+1}是以q+1=2为首项，公比为2的等比数列,

4+1=2”，a.=2"—1.

因此S〃=聆一修…2-〃・

所以（一1）"2<Sn+2n对\/neN*恒成立，可化为（一1）"2<2向+〃一2对V〃eN*恒成立.

当〃为奇数时，—24（2用+〃—2）,所以—4W3，即22—3；

\/min

当〃为偶数时，2<（2"+1+«-2).，解得;IW8.

/min

综上，实数4的取值范围是[-3,8].

故答案为：[-3,8].

14.答案：（1）见解析

（2）见解析

解析：（1）证明：依题意，由也”+1=35+1）%,可得

位=3•"，即勿+1=3年,

n+1n

h=幺=1,

11

二.数列也〃｝是以1为首项，3