平行线四大模型与动态角度问题-2021-2022学年北师大版七年级数学下册专项突破

专题03平行线四大模型与动态角度问题专题讲练

平行线与动态角度问题在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，

该份资料就平行线的四大模型（铅笔模型、猪蹄模型、拐弯模型、“5”字模型）和动态角度问题（翻折、

旋转、动点）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1：猪蹄模型（M型）

【解题技巧】如图，①已知：AB//CD,结论：ZAPC=ZA+ZC；

②已知：/APC=/A+/C,结论：AB//CD.

A________________BA

C-------------------------DcD

图①、图②图③

③已知：AB//CD,结论：Z^+ZP2+ZC=ZPi+ZP3.

例1、（2022.广东省初一月考）如图所示，已知：AB//CD.,求证：ZAPC=ZA+ZC；

A_______________B

1,

C/-----------------D

【解析】方法一（破角）：过点尸作〃/瓦

A________B

C--------------------D

\'AB//CD,：.AB//CD//PQ：.Zl=Z2,Z3=Z4AZ^PC=Z2+Z3=Z1+Z4.

方法二（添角）：连接/C,

,JAB//CD.,.Z1+Z3+Z2+Z4=18O°,又/2+/3+NNPC=180°AZ^PC=Z1+Z4.

变式1.(2021•山东青岛期末)如图，ABHCD,点、E在AC上,ZA=110°,40=15°,则下列结论正

确的个数是()

(1)AE=EC；(2)ZAED=85°；(3)NA=NCED+ND；(4)ABED=45°

41个3.2个C.3个D4个

【答案】B.

【解析】解:过点E作E尸〃42,

(1)无法判断；

(2)'JABIICD,ABHEF,J.EFIICD,:.NAEF=70。,ZDEF=15°,二//£7>85°,正确;

(3)由(2)得：Z^=ZCEF=ZCED+ZDEF,ZDEF=ZD'.ZA=ZCED+ZD,正确；

(4)无法判断；故答案为：B.

变式2.（2021.湖北七年级期中）如图，ABUEF,ZC=90°,则Na,5,之间的关系是（）

A./夕=/&+//B.Z«+Z>5+Z/=180oc.Nfz+N，-N7=90°D,Z^+Zy-Za=90°

【答案】C.

【解析】解：分别过C、D作AB的平行线CM和DN,

那ABIICMI/DN//EF：.Za=ZBCM,ZDCM=ZCDN,ZNDE=Zy

而N£=NCDN+ZNDE=ZDCM+Z尸90°—ZBCM+Z尸90°~Za+Zy.

即/a+N£—/y=90。，故答案为：C.

变式3.(2021•渝中区期末)如图，AB//CD,ZBAE=120°,ZDCE=40°,则N/£C=()

A.70°B.80°C.90°D.100°

【答案】D.

【解析】解：过点E作好〃可得：AB//EF//CD

：.ZAEF+ZA=ISO°,ZFEC=ZC,：.ZA+ZAEC-ZC=18Q°

：.120°+Z^C-40°=180°,ZAEC=IOQ°,故答案为：D.

例2.（2021•浙江杭州七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后

的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口

问题（1）如图（2）所示，已知/5//CD,请问£）3,ND,NE有何关系并说明理由；

（2）如图（3）所示，已知AB//CD,请问DB,NE，ND又有何关系并说明理由；

（3）如图（4）所示，已知/B//CD,请问NE+NG与N8+N尸+N。有何关系并说明理由.

⑴

B

(2)⑶

【答案】见解析.

【解析】解：⑴NE=/B+ND,理由如下：

过点E作直线a〃AB,贝l]a〃/8〃CD,则N8=N1,ZD=Z2,：.ZBED=Zl+Z2=ZB+ZD.

ABAB

(2)Z£+Z5+ZJD=360°,理由如下：

过点E作直线则6〃4B〃CD；.N2+/3=180°,/4+/。=180。

Z5+Z3+Z4+ZZ)=360°即NE+NB+ND=360°.

(3)ZB+ZF+ZD=ZE+ZG,理由如下：

过点£,F,G作直线c〃N5,d//AB,e//AB,则c〃/8〃/〃e〃CD,

则N3=N5,Z6=Z7,Z8=Z9,Z10=ZD

ZB+ZEFG+ZD=Z5+Zl+Z8+Z10=Z5+Z6+Z9+Z10=ZBEF+ZFGD.

变式4.（2021•山西八年级期末）综合与探究

问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动.

（1）如图1,点48分别为直线上的一点，点尸为平行线间一点且

APAF=130°,ZPBN=120°,求N4P8度数；

问题迁移：（2）如图2,射线（W与射线ON交于点。，直线加〃〃，直线加分别交。拉,ON于点/,£）,

直线〃分别交。ON于点民C,点尸在射线。M上运动.①当点2在43（不与48重合）两点之间

运动时，设ZADP=Na,ZBCP=N/3.则4CPD/a,邛之间有何数量关系？②若点P不在线段AB上

运动时（点P与点4民。三点都不重合），请你直接写出NCP。,Na,N尸间的数量关系.

【答案】(1)110°；(2)①NCPD=a+0；

②当P在延长线时，ACPD=p~a-,；当P在OB之间时，ZCPD=a-p.

【解析】解：(1)过尸作PG〃ER则尸G〃E尸〃ACV,.•./E4F+/GE4=180°,NPBN+/GPB=l80。

：.ZGB4=180°-130o=50°,NGPB=180°-ZPBN=60°：.ZAPB=ZGPA+ZGPB=50°+6Q°=U0°.

(2)①NCP£>=/a+/A②当尸在A4延长线时，NCPD=。一a.过P作PE〃AD交AD于E,

,JAD//BC,：.ZDPE=a,ZCPE=/3：.ZCPD=/3~a.

当尸在。8之间时，/CPD=a—0过尸作PE〃4D交CO于E,同理，得：/CPD=a-0.

变式5.（2021•河南七年级期末）把一块含60。角的直角三角尺ENG（NEEG=90°,ZEGF=60°）放在两条

平行线48,CD之间.⑴如图1,若三角形的60。角的顶点G放在CD上，且N2=2N1,求/I的度数;

(2)如图2,若把三角尺的两个锐角的顶点E,G分别放在48和CD上，请你探索并说明//£下与NFGC

间的数量关系；(3)如图3,若把三角尺的直角顶点E放在上，30。角的顶点£落在4S上，请直接写

出ZAEG与ZCFG的数量关系.

E

图⑴图⑵图(3)

【答案】(1)40°；(2)NAEF+NFGC=9Q°；(3)ZAEG+ZCFG=300°.

【解析】解：(1)：48〃CD,：.Zl=ZEGD,

VZ2+ZFGE+ZEGD=i80°,Z2=2Z1,.,.2Z1+6O°+Z1=18O°,AZ1=40°；

(2)过点尸作尸尸〃48,

；・NAEF=/EFP,ZFGC=ZGFP.

：.ZAEF+ZFGC=ZEFP+ZGFP=ZEFGfVZEFG=90°,/.ZAEF+ZFGC=90°；

(3)ZAEG+ZCFG=300°,理由如下•.22〃CD,/.ZAEF+ZCFE=ISO°,

即N/EG-30°+/CFG-90°=180°,整理得：ZAEG+ZCFG=300°.

模型2：铅笔头模型

【解题技巧】如图，①已知：AB//CD,结论：ZPAB+ZAPB+ZPCD=360°；

②已知：ZPAB+ZAPB+ZPCD=360°,结论:AB//CD.

AB

Pn-1

n

DCD

图①、图②图③

③已知：AB//CD,结论：Zl+Z2+...+Zn=180（〃一1）.

例1、（2021.河北七年级月考）如图，已知：AB//CD,求证：ZPAB+ZAPB+ZPCD=360°；

则A8〃CD〃尸QAZBAP+ZAPQ=1SQ°,ZCPQ+ZPCD=1SO°

：.ZBAP+ZAPQ+ZCPQ+ZPCD=360°IPZPAB+ZAPB+ZPCD=360°.

方法二（添角）：连接/C,

易知，Zl+Z4=180°,Z2+Z3+ZP=180°AZl+Z4+Z2+Z3+ZP=360°

即ZPAB+ZAPB+ZPCD=360°.

变式1.（2021•陕西咸阳市期末）如图，ZABC+ZC+ZCDE=360°,直线尸G分别交48、0E于点尸、

G.若/1=110。，则/2=.

【答案】70°.

【解析】解：如图，过C作C"〃/瓦

1B

A

'：AB//CH,：.ZB+ZBCH=1SO°,VZABC+ZBCD+ZCDE=360°,：.ZD+ZDCH=\?,O°,

J.CH//DE,J.AB//DE,AZ1=Z3=11O°,N2=180°N3=70°故答案为70°.

变式2.（2021•黑龙江•七年级期中）如图所示，若AB〃EF,用含“、P、7的式子表示工，应为（）

A.a+/3+yB.P+y-aC.180°-cr-7+/?D.18O°+a+?0-/

【答案】C

【分析】过C作CD〃AB,过M作MN〃EF,推出AB〃CD〃MN〃EF,根据平行线的性质得出a+NBCD=180。,

ZDCM=ZCMN,ZNMF=/,求出/BCD=180。。，NDCM=NCMN=〃Y,即可得出答案.

【详解】过C作CD〃AB,过M作MN〃EF,

：AB〃EF,.•.AB〃CD〃MN〃EF,A«+ZBCD=180°,ZDCM=ZCMN,ZNMF=7,

/.ZBCD=180oa,ZDCM=ZCMN=Z?Y,x=/BCD+NDCM=180°-e-/+£,故选：C.

【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力.

例2.（2021•福建泉州七年级期末）问题情境：我市某中学班级数学活动小组遇到问题：如图1,AB//CD,

ZPAB=13G°,ZPCD=nO0,求N4PC的度数.

经过讨论形成的思路是：如图2,过尸作PE〃/瓦通过平行线性质，可求得//PC的度数.

（1）按该数学活动小组的思路，请你帮忙求出N/PC的度数；（2）问题迁移：如图3,AD〃BC,点、P在

4、8两点之间运动时，ZADP=a,NBCP=0.请你判断NCPD、a、尸之间有何数量关系？

并说明理由；（3）拓展应用：如图4,已知两条直线AS〃3,点尸在两平行线之间，且N3EP的平分

线与/DEP的平分线相交于点。,求/P+2/。的度数.

【答案】(1)110°；(2)ZCPD=a+p,见解析；(3)360°.

VZPAB=UO0,N尸CD=120°,；.NAPE=50。,ZCPE=60°,：.ZAPC=ZAPE+ZCPE^110°.

(2)ZCPD=a+p,理由如下：过尸作PE〃/。交CD于E.

'JAD//BC,C.AD//PE//BC,：.ZDPE^a,/CPE=§,：.ZCPD=ZDPE+ZCPE^a+p.

(3)由(1)可得，ZP+ZBEP+ZDFP=360°又：QE平分/PEB,QF平分NPFQ

：.ABEP=2Z.BEQ,NDFP=2/DFQ：.ZP+2ZQ=ZP+2(NBEQ+NDFQ)=ZP+ZBEP+ZDFP=360°.

变式3.(2021•佛山顺德区月考)问题情境1：如图1,AB//CD,P是/8C。内部一点，P在8。的右侧，

探究48,ZP,ND之间的关系？

小明的思路是：如图2,过P作尸通过平行线性质，可得ZP,/D之间满足关系.(直

接写出结论)

问题情境2：如图3,AB//CD,P是4B,CD内部一点，P在8。的左侧，可得NB,/P,之间满足一

关系.(直接写出结论)

问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题：已知/B〃CD,//BE与/CDE两个角的角平分线相

交于点尸(1)如图4,若/E=80。，求/即切的度数；

(2)如图5中，ZABM=-ZABF,ZCDM=-ZCDF,写出与NE之间的数量关系并证明你的结论.

33

(3)若NABM=L/ABF,NCDM=L/CDF,设/E=m。，用含有n,加。的代数式直接写出.

nn

【答案】问题情境1：ZB+ZBPD+ZD=360°,NP=NB+/D；(1)140°；(2)-ZE+ZM=60°(3)

【解析】(1),:BF、。尸分别是N/8E和NCDE的平分线，

AZEBF=—AABE,ZEDF=—ZCDE,由问题情境1得：ZABE+ZE+ZCDE=360°,

22

VZ£=80°,AZABE+ZCDE=2S0°,：.ZEBF+ZEDF=14O°,：.ZBFD=3,60°-80°-140°=140°；

(2)|z£+ZAf=60°,理由是：i&ZABM=x,ZCDM=y,

则NFSW=2x,/EBF=3x,/FDM=2y,ZEDF=3y,

由问题情境1得：NABE+NE+NCDE=360°,：,6x+6y+ZE=360°,即1/E=60-x-y,

6

1

VZM+ZEBM+ZE+ZEDM=360°：.6x+6y+ZE=ZM+5x+5y+ZE：.ZM=x+y：.-ZE+ZM=60°；

fff6

(3)设乙ZCDM=y,

则/尸(n-1)x,NEBF=nx,ZFDM=Cn-1)y,ZEDF=ny,

&AC。_<

由问题情境1得：/ABE+/E+/CDE=360°,：.2nx+2ny+ZE=360°,：,x+y=....—

2n

VZM+ZEBM+ZE+ZEDM=360°f：.2nx+2ny+ZE=ZM+(2〃-1)x+(2〃一1)y+AE,

.八/3600-m°.比十%360°-m°

..ZM=---------；故答案为：ZAf=---------------.

2n2n

变式4.（2021•湖北七年级月考）如图1,CE平分/ACD,AE平分/BAC,ZEAC+ZACE=90°.

（1）请判断AB与CD的位置关系，并说明理由；

（2）如图2,在（1）的结论下，当NE=90。保持不变，移动直角顶点E,使NMCE=/ECD.当直角顶点E

点移动时，问NBAE与/MCD是否存在确定的数量关系？并说明理由；

（3）如图3,在（1）的结论下，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，当点Q在射线CD上

运动时（点C除外），/CPQ+NCQP与/BAC有何数量关系？直接写出结论，其数量关系

为.

图1图2图3

【答案】（1）平行，理由见解析（2）ZBAE+yZMCD=90°,理由见解析（3）ZBAC=ZCPQ+ZCQP

【分析】（1）由角平分线的性质得出/BAC=2/EAC,/ACD=2/ACE,推出NBAC+/ACD=180。，

即可得出结论；（2）过E作EF〃AB,则EF〃AB〃CD,得出NBAE=/AEF,NFEC=NDCE,由NAEC

=90°,推出/BAE+/ECD=90。，ZECD=yZMCD,得出NBAE+g/MCD=90。；（3）由平行线的性

质得出NBAC+NACD=180。，由三角形内角和定理得出NCPQ+NCQP+NPCQ=180。，即可得出结果.

【详解】（1）AB〃CD；理由如下：

；CE平分/ACD,AE平分NBAC,二/BAC=2/EAC,/ACD=2/ACE,

VZEAC+ZACE=90°,AZBAC+ZACD=180°,，AB〃CD；

（2）ZBAE+yZMCD=90°；理由如下：过E作EF〃AB,如图2所示：

B

M

：AB〃CD,；.EF〃AB〃CD,AZBAE=ZAEF,NFEC=/DCE,

：NAEC=90°,.'.ZBAE+ZECD=90°,

,/ZMCE=ZECDAZECD=yZMCDAZBAE+yZMCD=90°；

(3)ZBAC=ZCPQ+ZCQP；理由如下：；AB〃CD,AZBAC+ZACD=180°,

VZCPQ+ZCQP+ZPCQ=180°,即(ZCPQ+ZCQP)+ZACD=180°,ZBAC=ZCPQ+ZCQP.

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握平行线的

判定与性质是解题的关键.

例3.(2021•西安七年级月考)下列各图中的M4i与N4"平行.

CI)图①中的/小+//2=度，图②中的度，

图③中的//1+//2+/小+/，4=度，图④中的/4+//2+/也+/4+//5=度，…，

第⑩个图中的N4+N42+//3+…+N4o=______度(2)第〃个图中的/Z1+NZ2+N/3+…+/4=

【答案】(1)180；360；540；720；1620；(2)180°(n-1).

【解析】解：⑴'：MAX//NA2,：.ZAI+ZA2=180°,

如图，分别过小、4、4作A£4i的平行线，图②中的/小+/42+/小=360。，

图③中的/a+/42+//3+/4=540。，图④中的N4+N/2+/43+//4+N/5=720°,…,

第⑩个图中的N4+NZ2+NZ3+…+N/io=162O。；

(2)第"个图中的N41+N/2+N/3+…+N4=180°(n-1).

故答案为180,360,540,720,1620；180°(n-1).

变式5.(2021•山东七年级月考)如图，两直线出、CD平行，则Nl+N2+N3+N4+N5+N6=().

A.630°B.720°C.800°D.900°

【答案】D

【详解】分别过E点产点,G点,〃点作£1/2/314平行于AB

观察图形可知，图中有5组同旁内角，则Nl+N2+N3+N4+N5+N6=18(yx5=900。.故选D

【点睛】本题考查了平行线的性质，添加辅助线是解题的关键

变式6.(2021•贵州遵义市•七年级期末)［问题解决］(1)如图1,AB〃CD,点、E、尸分别是N8、CD上的

点，连接。£、OF,探求N1、/2、/3之间的关系，并说明理由.

［拓展延伸］(2)如图2,上述结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请写出它们的关系.

［拓展应用］(3)如图3,已知N3〃CD,/4B1E2的角平分线与的角平分线交于点。.若/£。瓦

=m°,直接写出/2+N3+/4+…+/(〃-2)+/-1)的度数.(用含加、〃的代数式表示)

【答案】(1)Nl+N2+N3=360°；(2)N1=N2+N3；(3)(n-1)«180°-2m°.

【解析】解：涧题解决］Nl+N2+/3=360。.理由如下：

过点。作。如图，.*.Nl+/EM=180。,

B

0H

B

*JAB//CD,：.OH//CDfAZ2+ZFOH=180°,

：.Zl+ZEOH+2+ZFOH=360°,BPZ1+Z2+Z3=36O°；

［拓展延伸］N1=N2+N3.理由如下：过点。作；・/l=NEOH,

,:AB〃CD,：.OH//CD,：・/2=/FOH,又,：/EOH=/3+/FOH,AZ1=Z2+Z3；

［拓展应用］过及点作及H2〃45,过心作£3%〃/以…，过点E〃一2作E*2H般一2〃4B,过点的「作后「用「

//AB,过点。作

==

NAE1E2+NEiE2H2=/H2E2E3+/H3EBE2=…=-lEn-T^^-Hn-\En-\En-i^Hn-\En-\En^Z.En-\EnC

180°,・・・N/EIE2+N2+N3+N4+…+N(n-2)+Z(.n-1)+ZCEnEn.\=(n-1)*180°,

・・・N4EIE2的角平分线与NC瓦瓦J的角平分线交于点。，ZEiOEn=m°,

：.ZAE1E2+ZCEnEn-1=2CZAEiO+ZCEnEn-0,；・NAE1O=NE1OH,

,:AB〃CD,：.OH//CD,；・NCEQ=/E〃八OH,

•**/AE、O+/CEQ=/ETOEn=m。,/AETE?+/CEnEn-\=2m°,

:•N2+N3+N4+…+N(n-2)+N(〃-1)=(〃-1)-180°-2m°.

模型3:拐弯模型

【解题技巧】类型1（鸟嘴形）：如图，已知48〃CD,结论：Z1=Z2+Z3.

类型2（骨折形）：如图，AB//CD,结论：Z2=Z1+Z3.

例1.（2021.广东省七年级期中）如图，已知NB〃CD,求证：Z1=Z2+Z3.

P

3

则/3〃C£>〃尸。

，Z2+Z3+Z4=180°,Zl+Z4=180°.\Z1=Z2+Z3.

证法2：延长交尸。于。，则/2=/4,Z1+Z5=18O°,Z5+Z3+Z4=180°

.".Z1=Z3+Z4=Z2+Z3,

变式1.（2021•余干县期末）如图1,ADIIBC,234D的平分线交3c于点G,ZBCD=90°.

（1）求证:ZBAG=ZBGA；（2）如图2,若N/8C=50。，NBC。的平分线交/。于点£,交射线

GA于点F,ZAFC的度数.

【答案】（1）见解析；（2）20。.

【解析】解：（1）,：DA//BCZDAG=ZAGB

"：AC平分/BAD；.ZBAG=ZDAG：.NBAG=NAGB.

（2）VZ^BC=50°.\ZBGA=ZBAG=65°,：.ZAGC=115°

'：CE平分NDC3；.NECB=45°,NAFC=180°-ZAGC-ZECB=20°.

变式2.（2021•保定市期中）（1）已知：如图1,AEHCF,易知NZPC=

(2)如图2,AE//CF,6是直线所上的两点，猜想，乙4,44耳鸟，Z^C,/C这四个角

之间的关系，写出以下三种情况中这四个角之间的关系，并选择其中之一进行说明.

①图中四个角的关系：②图中四个角的关系：③图中四个角的关系：

【答案】(1)N4+NC;(2)①NZPi尸2+NP尸2。/4/。=180。，ZA+ZAP1P2+ZPxPiCZC=180°,③//尸1尸2+

ZPIP2CZ^+ZC=180°.

【解析】解：(2)①NZ尸1尸2+NP尸2CN4NCM80。，过尸1作尸过尸2作尸2G〃CF,

•:P\B〃AE,；・NBPiA=NA,'：PiG//CF,:・/GP2c=NC,

•：PiB〃AE,P2G//CF9AE//CF,:・PiB〃PzG,，N5R尸2+NG?2A=180。，

・•・ZAP1P2+AP\PiC=ZAP1B+/BP\PKNPP2G+ZGPiC=180°+N4+ZC,

・•・ZAPIP2+ZP1P2CZAZC=180°；

②N4+N4尸1尸2+N尸1尸2CNC=180。，过尸2作G尸2〃CR贝！J/G尸2。=/。，

・：AE〃CF,：.AE//GPi,：.ZAEF+ZGP2E=\S00,

丁NAEF=/A+/APTP2,ZAEF+ZPiP2C=180°+ZGP2C,

：.ZA+ZAPXP2+ZPIP2C=180°+ZC,I.ZA+ZAP1P2+ZPiP2CZC=180°；

③N/尸1尸2+NP1尸2CN4+NC=180。，过尸1作尸IG〃CF,则NGPF+N0^1=180。，

'CAE//CF,：.AE//GP\,：.ZA=AAP\G,

NEFC=/C+/PTP2C,：.ZAPIP2+ZEFC=180°+ZAPiG,

・•・N/Pi尸2+NC+N尸1尸20=180。+//,J//尸i尸2+NPI尸2CN/+NCM80。.

例2.（2021•忠县七年级月考）如图，已知直线/i〃/2,/3、和八、A分别交于点4、B、C、。，点尸在直线

/3或上且不与点/、B、C、。重合.记NPFB=/2,ZEPF=Z3.

(1)若点尸在图(1)位置时，求证：Z3=Z1+Z2；

(2)若点尸在图(2)位置时，请直接写出Nl、N2、N3之间的关系；

(3)若点P在图(3)位置时，写出N1、/2、N3之间的关系并给予证明；

(4)若点尸在线段DC延长线上运动时，请直接写出/I、/2、/3之间的关系.

【答案】(1)见详解；(2)Z3=Z2-Z1；(3)Z3=360°-Z1-Z2；(4)Z3=360°-Z1-Z2.

【解析】(1)证明：过尸作尸。〃/i,则尸0〃/i〃/2，：.N1=NQPE、Z2=ZQPF

(2)Z3=Z2-Zl；过P作尸Q〃/i,则尸则：Z1=ZQPE,N2=NQPF

,：ZEPF=ZQPF-ZQPE,：.ZEPF=Z2-Zl.

(3)Z3=360°-Zl-Z2.过P作尸。〃/1,则尸。〃/1〃%二/EPQ+/1=180°,NFPQ+/2=180°,

VZEPF=ZEPQ+ZFPQ；：.ZEPQ+ZFPQ+Z1+Z2=36O°,即NE尸尸=360°-N1-N2；

(4)点P在线段。。延长线上运动时，Z3=Z1-Z2.

过尸作尸Q〃/i,则尸：/=/QPE、Z2=ZQPF；

'：NQPE-ZQPF=ZEPF；：.Z3=Z1-Z2.

变式3.(2021•余干县期末)已知直线AB〃CD,(1)如图1,直接写出NBME、ZE>NEND的数量关系

为；(2)如图2,/BME与NCNE的角平分线所在的直线相交于点P,试探究/P与/E之间的数

量关系，并证明你的结论；(3)如图3,ZABM=-ZMBE,ZCDN=-ZNDE,直线MB、ND交于点F,

【答案】(1)ZE=ZEND-ZBME(2)ZE+2ZNPM=180°(3)-^―

n+\

【分析】(1)根据平行线的性质和三角形外角定理即可解答.

(2)根据平行线的性质，三角形外角定理，角平分线的性质即可解答.

(3)根据平行线的性质和三角形外角定理即可解答.

【详解】(1)如图1,:AB〃CD,.\ZEND=ZEFB,

E

图1

VZEFB是AMEF的外角，ZE=ZEFB-ZBME=ZEND-ZBME,

(2)如图2,：AB〃CD,AZCNP=ZNGB,

图2

"?ZNPM是AGPM的外角，ZNPM=ZNGB+ZPMA=ZCNP+ZPMA,

：MQ平分/BME,PN平分/CNE,AZCNE=2ZCNP,ZFME=2ZBMQ=2ZPMA,

VAB/7CD,ZMFE=ZCNE=2ZCNP,「△EFM中，ZE+ZFME+ZMFE=180°,

ZE+2ZPMA+2ZCNP=180°,即NE+2(ZPMA+ZCNP)=180°,AZE+2ZNPM=180°；

（3）如图3,延长AB交DE于G,延长CD交BF于田,

VAB//CD,.,.ZCDG=ZAGE,：/ABE是ABEG的外角,

ZE=ZABE-ZAGE=ZABE-ZCDE,①

VZABM=~ZMBE,ZCDN=-ZNDE,AZABM=^—ZABE=ZCHB,ZCDN=ZCDE=ZFDH,

nnn+\«+l

VZCHB是ADFH的外角,

AZF=ZCHB-ZFDH=^—ZABE-ZCDE=^—(ZABE-ZCDE),

②

n+\n+\n+1

即人=1

由①代入②,可得NE,

ZE〃+1

点睛：本题考查了三角形外角定理，平行线的性质，角平分线的定义.

变式4.（2021•湖南株洲市期末）已知直线a〃从直线跖分别与直线a,b相交于点E,F,点、4,3分别

在直线a,6上，且在直线所的左侧，点P是直线跖上一动点（不与点E,斤重合），设Z

APB=Z2,ZPBF=Z3.

（2）当点尸在线段环外运动时有两种情况，①如图2写出Nl,Z2,N3之间的关系并给出证明.

②如图3所示，猜想Nl,Z2,N3之间的关系（不要求证明）.

【答案】（1）见解析；（2）①N2=/3N1；②N2=/3/l.

【解析】解：（1）证明：作〃%则=

'：PM//a,a//b,：.PM//b,：.ZMPB^Z3,：.AAPB=ZAPM+ZMPB=Z1+Z3,即/1+/3=N2；

(2)①结论：Z2=Z3-Z1.理由：作PMUa,则=

"：PM//a,a//b,：.PM//b,：.ZMPB=Z3,：.ZAPB=ZMPB-ZMPA^Z3-Z1,即N2=N3/1；

②结论：Z2=Z3-Z1.

模型4：“5”字模型

基本模型：如图，AB//CD,结论：Zl+Z3-Z2=180°.

例1.（2021.浙江七年级期中）如图，AB//CD,求证：Zl+Z3-Z2=180°.

【解析】过尸作尸。〃45,则4B〃CZ）〃尸。

.*.Zl+Z4=180°,Z4+Z5=Z3,Z5=Z2AZl+Z3-Z2=180°.

变式1.（2021.北京七年级期中）如图，已知AB〃CD,EF〃CD,则下列结论中一定正确的是（）

A.NBCD=ZDCE;B.ZABC+ZBCE+ZCEF=360°;

C.ZBCE+ZDCE=ZABC+ZBCD;D.ZABC+ZBCEZCEF=180°.

【分析】根据平行线的性质，找出图形中的同旁内角、内错角即可判断.

【解析】延长DC到H。・「AB〃CD,EF/7CDAZABC+ZBCH=180°

ZABC=ZBCDZCE+ZDCE=180°ZECH=ZFECAZABC+ZBCE+ZCEF=180°+ZFEC

ZABC+ZBCEZCEF=ZABC+ZBCH+ZECHZCEF=180°.故选D.

点拨：此题主要考查了平行线的性质，关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等，同旁内角互

补，同位角相等.

变式2.（2021•江苏七年级期末）如图，AB//CD,则/1+/3—N2的度数等于.

【答案】180°.

【解析】解：

；N2+NEFC=N3,/跖0=180°—/跖。；./1+/3—/2=180°故答案为：180°.

变式3.（2021•河北七年级月考）珠江流域某江段江水流向经过3、C、。三点拐弯后与原来相同，如图，若

ZABC=nO°,ZBCD=S0°,则度.

【解析】解：过点C作C尸〃48,由题意知，AB//DE,

：.CF〃DE,：.NBCF+/ABC=180°,：.ZBCF=60°,：.ZDCF=20°,：.ZCDE=ZDCF=20°.故答案为：20.

例2.（2021•湖北洪山•七年级期中）如图，已知尸为直线48,CD外一点，BF平分NABP,DE

平分NC£＞尸，89的反向延长线交于点£,若/FED=a,试用a表示/尸为.

E

D

【答案】ZP=360°-2a

【分析】根据角平分线的性质得出/1=N2,Z3=Z4,平行线的性质得出N1=N5,/6=NPDC=2/3,

进而根据三角形内角和得出/5、/FED,再得到NP和。的关系，然后即可用。表示NP.

【详解】解:延长交PD于点G,延长也交CD于点”，

:BF平分NABP,DE平分/CDP,：.Z1=Z2,Z3=Z4,

,JAB//CD,；./l=N5,N6=NPDC=2/3,

VZP5G=180°-2Z1,AZP5G=180°-2Z5,：.Z5=90°-ZPBG,

'：ZFED^1SO°-ZHED,Z5=180°-ZEHD,ZEHD+ZHED+Z3^180°,

.*.180°-Z5+1800-/尸£。+/3=180°,AZFED=\S0°-Z5+Z3,

：.ZFED=\SQ0-(90°-y/PBG)+yZ6=90°+y(ZP5G+Z6)=90°+。(180°-NP)=180°-1

ZP,VZFED=a,：.a=180°-1ZP：.ZP=360°-2a.故答案为：ZP=360°-2a.

【点睛】此题考查了角平分线的性质和平行线的性质及三角形内角和，有一定的综合性，认真找出角的关

系是关键.

变式4.（2021黑龙江•七年级月考）如图，48//CD,E是C。上的点，过点E作EF〃DP,若ZPEF=ZPEH,

EG平分NDEH,Z5=152°,/PEG=65°，贝U/8尸。=.

【答案】22。

【分析】延长AB交HP于点M；根据EG平分NDE8,WAPEH=ZDEP+2ZDEG；根据跖//。尸，得

ZPDE+ZDEF=1^0°,从而推导得NPDE=180°-2(/。石尸+NDEG)；结合/PEG=65°,得NPDE；再根

据AB//CD以及/ABP=152°,结合三角形内角和性质，即可完成求解.

【详解】如图，延长AB交HP于点M

NPEF=2PEH：.NPEF=ZDEP+2ZDEG'：EF//DP：.ZPDE+ZDEF=180°

ZPDE=180°-ZDEF=180°-(NDEP+NPEF)=180°-2(ZDEP+ZDEG)

ZPEG=65°；./PEG=ZDEP+ZDEG=65°，"DE=1800-21NDEP+NDEG)=180。-2x65。=50°

AB11CD：.ZBMD=ZPDE=50°，ZBMP=180°-ZBMD=130°

ZABP=152°NPBM=180°-ZABP=28°,NBPD=180°-NPBM-ZBMP=180°-28°-130°=22°

故答案为：22°.

【点睛】本题考查了三角形内角和、平行线、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握了三角形内角和、

平行线、角平分线的性质，从而完成求解.

变式5.(2021•江苏七年级期中)如图所示，已知AB〃CD,ZA=50°,ZC=ZE.则/C等于()

A.20°B.25°C.30°D.40°

【答案】B

【分析】根据AB〃CD,ZA=50°,所以NA=/AOC.又因为NC=NE,NAOC是外角，所以可求得/C.

【详解】解：：AB〃CD,/A=50。，.•.NA=NAOC（内错角相等），

XVZC=ZE,/AOC是外角，•,.ZC=50°-2=25°.故选B.

BD

例3.（2021•河南驻马店七年级期中）如图1,已知/B=20。，ZD=110°.

（1）若/E=50。，请直接写出/尸的度数；（2）探索/£与//之间满足的数量关系，并说明理由;

图1图2

【答案】（1）100°；（2）NF=/E+50°；（3）/尸=25°.

【解析】解：（1）分别过点E,F作EM〃AB,FN//AB,

J.EM//AB//FN,：.ZB=ZBEM=20°,ZMEF=ZEFN,

'：AB//CD,AB//FN,：.CD//FN,：.ZD+ZDFN=1SO°,

VZ£>=110°,:./DFN=70。,：.ZBEF=ZMEF+200,ZEFD=ZEFN+100,

：.ZEFD=ZMEF+1Q0：.ZEFD=ZBEF+50°=W0°；故答案为：］00。；

(2)分别过点E,F作EM〃4B,FN//AB,：.EM//AB//FN,：.NB=/BEM=20。,/MEF=/EFN,

1,：AB〃CD,AB//FN,J.CD//FN,ND+NDW=180。，

又/.ZDFN=10°,AZBEF=ZMEF+200,ZEFD=ZEFN+100,

：.ZEFD=NMEF+1Q。,；.NEFD=ZBEF+500；

(3)过点F作FH〃EP,由(2)知，NEFD=NBEF+50。,设/BEF=2x°,则NEFD=(2x+50)°,

•:EP平分/BEF,GF平分NEFD,：.ZPEF=—ZBEF=x°,ZEFG=—ZEFD=(x+25)°,

22

"：FH//EP,:.NPEF=NEFH=x。,ZP=ZHFG,,:NHFG=NEFG-NEFH=25。,：.ZP=25°.

变式6.(2021•湖北咸宁市期末)(感知)如图①，42〃CD,点E在直线48与CO之间，连结/£、BE,

试说明/B/E+NDCE=N/EC；

（探究）当点£在如图②的位置时，其他条件不变，试说明/，£C+/A4£+NDCE=360。；

（应用）点E、F、G在直线AB与CD之间，连结AE、EF、FG和CG,其他条件不变，如图③，若NEFG=36°,

贝1]ZBAE+ZAEF+ZFGC+ZDCG=<

图③

【答案】【感知】见解析；【探究】NB/£+N/£C+NDCE=360。；【应用】396°.

【解析】解：【感知】过E点作跳7/43

,:ABHCD：.EF//CD'：ABHCD：,ZBAE=AAEF

,：EFIICD：./CEF=NDCE：.ZBAE+ZDCE=ZAEC.

【探究】过E点、作4B//EG.

'：ABHCD：.EG//CD'：ABUCD：.ZBAE+ZAEG=180°

■:EGIICD：.ZCEG+ZDCE=\S0°：.NBAE+/AEC+/DCE=360°.

【应用】过点尸作EH■〃/区

".'AB//CD,：.FH//CD,：.ZBAE+ZAEF+ZEFH=360°,AHFG+ZFGC+ZGCD=360°,

ZBAE+ZAEF+ZEFH+ZHFG+ZFGC+ZGCD=720°,

ZBAE+ZAEF+ZEFH+ZHFG+ZFGC+ZGCD+/£7七=720。+36。,

NA4E+//EF+NFGC+NZ>CG=720°360°+36°=396°故答案为396°.

动态角度1：折叠问题

例1.（2021•江苏镇江七年级期中）如图，将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果/1=55。，那么N2=

【答案】110.

【解析】解：由折叠的性质可得，Z1=Z3,VZ1=55°,••.Z1=Z3=55°,

由平行线性质知：Z2=Z1+Z3,/.Z2=110°,故答案为：110.

变式1.（2021•宜兴市北郊中学初二期中）如图a是长方形纸带，NDEF=26°,将纸带沿EF折叠成图b,

再沿