两条直线的交点结合坐标轴的图形面积模型-2024-2025年中考数学复习之函数模型

两条直线的交点结合坐标轴的图形面积模型

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模型示例：求一次函数y=x-4和y=-x-4与X轴围成三角形的面积.

第①步先分别计算两条直线与坐标轴的交点：

直线y=x-4中，令y=O,则x=4；令无=0,贝！|y=-4；

因此直线＞=尤-4与坐标轴的交点为(4,0),(0,-4)；

同理可求得直线y=r-4与坐标轴的交点为(T,0),(0,-4).

第②步结合函数图象求三角形的面积：如图,

适用范围：已知两条直线的函数关系式，求两条直线与x轴或y轴围成的图形面积.

先求直线与坐标轴的交点，再根据面积公式计算.

如图，在平面直角坐标系中，直线4：y=与直线4：y=-2x+2相交于点尸，并分

别与X轴相交于点A,B.

（1）点P的坐标为一.

⑵求的面积.

⑶点M在直线4上，〃N〃y轴，交直线4于点N,若MN=AB,求点M的坐标.

+••____________

里参考答案

⑴（2,-2）；（2）3；⑶（0,-1）或（4,一3）.

思路引导

y=—2%+2

（1）联立直线乙与得1/解方程组即可；

I2

（2）先求直线与坐标轴的交点4（-2,0）,5（1,0）,得出4?=3,再求出三角形的面积即可;

（3）设九一;加一1）,贝!JN（肛一2m+2）,得出脑V=—2机+2-3

-771-1——m+3,

22

3

根据的V=AB,得出-5m+3=3,解关于根的方程即可.

Li详细解析

y=-2x+2

（1）解：联立直线4与4得：1

V=——x—1

[2

x=2

解得

y=-2

；.P（2,-2）；

（2）解：把y=0代入y=-gx-l得：一;无一1=0,解得：x=-2,

•••A（-2,0）,

试卷第2页，共6页

把y=0代入y=-2x+2,-2x+2=0,解得：x=l,

B（l,o）,

AB=l-（-2）=3,

SAW=；x3x2=3.

（3）解：设M贝ljN（m,-2m+2）,

-2m+2-f13

MN=—"i+3,

2

MN=AB,

3

—机+3=3,

2

3

—根+3=±3,解得：根=0或m=4,

2

•••〃点的坐标为：（0,-1）或（4,一3）.

g变式题

1.在平面直角坐标系中，O为坐标原点.若直线y=-x+2分别与X轴、直线y=3无+6交于

点A、B,则VAOB的面积为（）

A.2B.3C.5D.6

2.一次函数4：y=-2x+4,小丁=辰—左（左＞0）,点Af（a,6）是，2与x轴围成的三角形

内一点（含边界），令s=°+/s的最大值为：，则上的值为（）

2

13

A.—B.1C.—D.2

22

3.如图，将直线y=3尤+2向下平移8个单位长度后，与直线y尤+4及X轴围成的VABC

的面积是（）

A.25B.28C.30D.35

4.一次函数y=+8和y=笈+a在同一坐标系中的图像如图所示，则下列结论:

①它们的交点在直线X=1上；

②a+/?>0；

③不等式。的解集为了>1；

序一〃2

④它们与X轴围成的三角形的面积为2二1.

其中，正确的序号是

\X

y=bx+a

B.①④D.①②④

5.如图，已知直线y=2x+3与直线y=-2x-l相交于点C,与y轴别相交于点A,2,则VABC

的面积是.

6.已知一次函数>=2x+4与y=-入-2的图象都经过点A,且与>轴分别交于点3,C,

若点。(根,2)在一次函数y=2x+4的图象上，贝LACD的面积为一.

7.如图,在平面直角坐标系xOy中，直线乙：y=-2尤+3与x轴交于点A,直线4：J=kx(k<0)

9

交直线4于点8,若VAOB的面积是:，则上的值为_______________.

4

试卷第4页，共6页

8.如图，直线4：y=；x+3与直线4：>=丘+少交于点E(〃?,4),直线《与坐标轴交于点A、

B,4与x轴和'轴分别交于点C、D,且OC=2O3,将直线4向下平移7个单位得到直线

4，交4于点下，交y轴于点G,连接GE.AEFG的面积是

9.如图，直线/交x轴于4-4,0),交y轴于8(0,6),C(帆3)是直线/上的一点.

(1)求直线AB,OC的表达式；

2

⑵在直线上找一点尸，使以℃尸=15..，求出点尸的坐标.

10.如图，在平面直角坐标系中，直线4：y=与直线，2：，=-2尤+2相交于点P,

并分别与x轴相交于点4B.

(1)点P的坐标为一.

⑵求APIB的面积.

⑶点M在直线4上，轴，交直线于点N,若MN=AB,求点"的坐标.

试卷第6页，共6页

参考答案:

1.B

【分析】本题考查了两直线与坐标轴围成图形的面积，求出交点坐标是解题的关键.根据方

程或方程组得到A（2,0）,3（-1,3）,根据三角形的面积公式即可得到结论.

AA（2,0）,B（-l,3）,

.'VAOB的面积=！x2x3=3,

2

故选：B.

2.D

【分析】本题主要考查两条直线相交的问题，掌握一次函数图象的性质，点坐标的特点，明

确点M（a,9在交点C处S最大是解题的关键.

根据题意可求出A,2点的坐标，可得根据两条直线的交点处，图形的面积最大,

由此可得6=—2<7+4,再木艮据5=。+6=。+（—2。+4）=：即可求解.

【详解】解：一次函数4：V=-2X+4,令尤=0,贝|y=4；令y=0,贝|x=2；

一次函数6：y=区一左他>。）与x轴的交点为（1,0），

•.•点M（a,b）是4，乙与x轴围成的三角形内一点（含边界），

：.l<a<2,

如图所示，

答案第1页，共10页

当点”（。力）在点C处，s=a+b的值最大，即点Af在直线4：y=-2X+4的图象上,

••b=~2a+4,

=

S=Q+Z?=〃+（-2a+4）~9

3

解得，

,交点坐标为：

二点1I/在一次函数4：y=履一M左＞。）的图象上，

3

：.-k-k=l,

2

解得，k=2,

故选：D.

3.C

【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，先求出直线＞=3%+2向下平移8个单

位长度后的解析式，故可得出C点坐标，再由直线y=；x+4得出8点坐标，联立两解析式

得出A点坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论.

【详解】解：：直线y=3x+2向下平移8个单位长度后的解析式为y=3x+2-8=3x-6,

令》=。，则0=3x-6,

解得：x=2,

.•.C（2,0）,

:直线y=；龙+4中，当y=0时，彳=一8,

..3（—8,。），

答案第2页，共10页

y=3x-6

联立方程1,

y=—x+4

2

x=4

解得

y=6

•.4(4,6),

S4ABe=5*BCx6=—x|—8—2|x6=30.

故选：C.

4.C

【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函

数的图象与性质是解题关键.

根据两个函数的交点即可判断①；根据当x=l,图象在第一象限，来判定②；找出一次函

数y=or+6的图象位于一次函数y=6x+”的图象的上方时，尤的取值范围即可判断③；分

别把尤=1,丫=0代入函数得出三角形的底和高，利用面积计算公式即可判断④.

【详解】••1一次函数、=依+。和交于一点，

ax+b-bx+a,

解得：x=l,

，①正确；

一次函数、=办+6和丫=公+々交点在第一象限，且交点横坐标为1,

，把尤=1代入、=依+匕得：。+6>。故②正确；

V函数图象它们的交点在直线尤=1上，

有函数图象可知依+6>6x+a的解集为x>l,故③正确；

把x=l代入y=ax+6得：y^a+b,

b

当y=o代入,=依+8得：x=——，

a

当>=。代入y="+“得：尤=-£,

b

与x轴围成的三角形的面积为：

L］，一JMx伍+b)=LZxe+6)=(故④错误;

2b\a)2ablab

综上所述：正确的有①②③;

答案第3页，共10页

故选：c.

5.2

【分析】本题考查了两直线相交问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一

次函数表达式所组成的二元一次方程组的解，也考查了三角形面积公式.

先求出A(0,3),B(0,-l),从而得出AB=4,联立方程组即可求出点C的坐标，再根据三

角形面积公式即可得出答案.

【详解】直线y=2x+3中，令x=0,贝l].y=3

直线y=_2x_l中，令尤=0,贝!Jy=T

.•.4(0,3),3(0,-1)

.•.AB=3-(-1)=4

将y=2%+3与y=-2x—1联立

Jy=2x+3

[y=—2x—l

fx=-l

解得：,

y=1

二点C的坐标为(-M)

\ABC=—x4xl=2

故答案为：2.

6.3

【分析】将两一次函数的解析式联立，求出A点坐标，再根据一次函数图象上点的坐标特征

求出3、C、。的坐标，然后根据AACD的面积=AABC的面积-ABCD的面积求解.

[y=2x+4fx=—2

【详解】解：由‘C，解得,则A(-2,0).

[y=—x—2n

•.•一次函数y=2x+4与y=-X-2的图象与y轴分别交于点8,C,

二.B(0,4),C(0,-2).

・；点D(m,2)在一次函数y=2x+4的图象上，

r.2=2"?+4,解得nt=-1,

0(-1,2).

答案第4页，共10页

:.^ACD的面积=AABC的面积-ABCD的面积

=—x6x2----x6x1

22

=6-3

=3.

【点睛】本题考查了两条直线的交点问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应

的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解.也考查了一次函数图象上点的坐标特征,

三角形的面积.

7.-1

【分析】首先根据题意求出A点坐标，然后利用VAOB的面积列方程求出点B的纵坐标，

然后代入＞=-2》+3求出点B的横坐标，然后将3(3,-3)代入y=履求解即可.

【详解】:直线2无+3与x轴交于点A,

3

当y=0时，0=-2x+3,解得X=Q,

9

NAOB的面积是：，

4

1a13Q

：.--OA\-yB)=-,SP-x-x(-yB)=-

解得力=-3

答案第5页，共10页

.,.将力=-3代入y=-2x+3得，—3=—2x+3

解得/=3

/.B（3,-3）

.•.将3（3,-3）代入y="得，一3=3左

解得左=-1.

故答案为：-1.

【点睛】本题主要考查了一次函数问题，掌握图象上点的坐标特征以及利用面积构造方程,

会解方程是解题关键.

70

8.—

3

【分析】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，待定系数法求一次函数的解析式，一

次函数的平移，求一次函数围成的三角形面积等.先求出点E的坐标，求出直线4与坐标轴

的交点坐标，得出点C的坐标，待定系数法求出直线4的解析式，求出直线4与y轴的交点

。的坐标，根据一次函数平移的性质得出直线4的解析式，求出直线4与>轴的交点G的坐

标，联立方程组求出直线4与直线,2的交点尸的坐标，根据，跖6=5/《；-536即可求解.

【详解】解：：直线4：V=；x+3经过点E（m,4）,

故4」加+3,

2

解得：m=2,

・・・£（2,4）,

・•・直线4与坐标轴交于点A、B,

故当兀=0时，>=3,

当y=o时，；工+3=0,角牟得：x=-6,

：.A（-6,0）,8（0,3）,

・・・05=3,

,:OC=2OB,

答案第6页，共10页

：.0C=6,

：.C（6,0）,

:点C、E在直线Ly^kx+b±.,

6k+b=0

.•.把C（6,0）,E（2,4）,代入直线y=kx+6得：

2k+b=4

\k——\

解得：7乙，

直线，2的解析式为y=-尤+6；

故当x=0时，y=6,

0（0,6）,

将直线4向下平移7个单位得到直线4：J=1x-4,

:直线4交P轴于点G,

故当工=0时，y=-4,

・・・G（OT）,

•・,直线4与直线,2交于点尸，

1）

y=_%—4

故联立方程组：2,

y=—x+6

f20

X=一

3

解得：\，

Iy=一一3

・••交点厂的坐标为

••S.G=SQ尸G_SgEG=gx（6+4）xg—；x（6+4）x2=].

70

故答案为：—.

3

33

9.（l）y=,x+6,y=--x

⑵尸。7]或

答案第7页，共10页

【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，坐标与图形性质等知

识，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键.

(1)利用待定系数法直接求出直线AB和OC的表达式；

(2)分点P在第一象限和第三象限时，根据面积差列方程，解方程即可得出结论.

【详解】(1)解：设直线A8的表达式为、=履+优左W0),

•.•点A(-4,0),8(0,6)在直线A3上，

-4k+b=0

b=6

b=6

3

直线AB的表达式为y=^x+6,

•••C（，”,3）是直线/上的一点，

,3

••—m+o=3,

2

解得：m=—2,

.•・以―2,3）,

设直线OC的表达式为：y=nx(〃wO),

把C(-2,3)代入得：—2〃=3,

3

n--—

2

3

直线OC的表达式为：y=

2

2）解：•SAOCP=­S&OAB,

S

••AOCP=-x-x4x6=8,

设尸1x,gx+6）,

分两种情况:

①当点P在第一象限时，过P作轴于。，过C作CE_Lx轴于E,

答案第8页，共10页

BY\

•••C(-2,3)

D,

x

OE=2,CE=3,

△OCP23+万x+6•(尤+2)--x2x3--x=8,

22

2

解得：x=-,

②当点尸在第三象限时，同理得：［一可，一1

综上，点P的坐标为尸（：，［或:g，-11

10.(1)(2-2)

(2)3

(3)(0,—1)或(4,—3)

y=—2x+