极化恒等式-高考数学复习压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

专题23极化恒等式

【方法点拨】

极化恒等式：o/=；[(a+B)2一(。一&2].

说明：

(1)极化恒等式的几何意义是：设点。是AABC边3C的中点，则

ABAC=|ADI2--\BC\1=AD2-BD2,即：向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差.

4

(2)具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可

能，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合.

(3)遇到共起点的两向量的数量积问题，常取第三边的中点，从而运用极化恒等式加以解决.特别适合于

以三角形为载体，含有线段中点的向量问题.

【典型例题】

例1如图，在△ABC中，。是BC的中点，E,尸是4。上两个三等分点，BA-CA=4,BFCF=-1,

则而•区的值是.

7

【答案】-

8

【解析】设=DF=y

22

由极化恒等式得丽,国二通./=近2-防2=9y-%=4,

BFCF=FBFC=FD-BD'=y2-x2=-1

25

-

解之得可得9a-b=4,a-b=-1,因此尤?=一.8-

8

因止匕丽•在=丽•就=丽2—诙=49_尤2=__—=2.

888

点评：

紧紧把握极化恒等式使用条件，三次使用极化恒等式求解.

例2已知AABC是边长为2的等边三角形，P是平面ABC内一点，则丽・(2而+无)的最小值为

7

【答案】

【分析】本题的难点在于如何将2方+无“二合一”？注意到两向量共起点且其系数和为3,可利用三点

共线的方法将其“二合一”，然后使用极化恒等式.

___2__.1___

【解析】2PB+PC=3PD，则而=§而+gPC,。在BC上

所以PA.（2PB+PC）=3PA.PD

如图，取BC中点为E,由极化恒等式得丽•丽=|而『-:西2

A9128

在AABD,由余弦定理得AD1=AB2+Bbi-2AB-BD-cosZABD=4+—―2-2------=—

9329

所以当陷=0,即尸为AD中点时，（丽•丽匕=一］

_._._7

所以PA.QPB+PC）的最小值-葭此时P为小＞中点.

例3如图所示，矩形ABC。的边48=4,AD=2,以点C为圆心，CB为半径的圆与CD交于点E,若点P

是圆弧£5（含端点B、E）上的一点，则或PB的取值范围是.

【答案】［8-8&,0］

【分析】取AB的中点设为0,则西•丽=西2-；网2=国2-4,然后利用平几知识确定P0的取值范

围，代入即可.

【解析】取的中点设为。，则丽.丽=|丽南『=|而L*

当。、P、C共线时，尸。取得最小值为「0=2后—2；当尸与8(或E)重合时，P。取得最大值为

PO=2,

所以西•丽的取值范围是[8-8后,0].

例4半径为2的圆。上有三点C,满足殖+通+/=。，点P是圆内一点，则可.而+而+无

的取值范围是()

A.[-4,14)A(T,14]c.[T,4)D(T,4]

【答案】A

【分析】直接两次使用极化恒等式即可.

【解析】由市+通+/=6得4S+正=正

在平行四边形A50C中，OB=OC,

故易知四边形A30C是菱形，且3C=百

设四边形A50C对角线的交点为E

--►---►---*2]----2---*2

由极化恒等式得P4-PO=P石——AO=PE-1

4

--►---►——»2-1--*2——>2

PBPC=PE——BC=PE-3

4

^^PA-Jd+PB+PC=2PE2-4

因为P是圆内一点，所以0W户可<3

所以一4<2而2-4<14，W-4<PAPO+PB+PC<14，选A.

例5在AABC中，AC=2BC=4,ZACB为钝角，M,N是边上的两个动点，且MN=1,若由1•国

3

的最小值为一，则cos/ACB=______.

4

1-375

【答案】-------

8

___.—►3

【分析】取的中点尸，由极化恒等式将“CM・CN的最小值为一”转化为A5边上的高。〃=1,然后利

4

用两角差的的余弦公式求解.

【解析】取MN的中点P,则由极化恒等式得西.函=|国『一J两2=|同

•：CMCN的最小值为-\CP\=1

4IImin

由平几知识知：当CP_LAB时，CP最小.

如图，作CH_LA8,H为垂足，则CH=1

又AC=2BC=4,所以NB=30。，sinA=-

4

I-3J5

所以cosNAC3=cos(150°—A)=----------.

8

A

例6已知直角三角形ABC中，NA=90°,AB=2,AC=4,点尸在以A为圆心且与边2C相切的圆上，则

旃•定的最大值为()

16+167516+8君1656

A.--------------B.-------------C.—D.—

5555

B

/一1

L

【答案】D

【解析】设中点为。，

则而•定=而2_：沅2所『_；/20=|囹2_5,

又因为|PDL=M4+r=逐+[=美，所以（而•k=£—5=?，

故选：D.

例7正方体ABCO-ABCQ棱长为2,E是棱A3的中点，尸是四边形胴。。内一点（包含边界），

―.―.3

且FEFD=）,当三棱锥厂-AED的体积最大时，跖与平面山狙人所成角的正弦值为（）

4

A.-B.叵C.—D.无

3352

【答案】A

►—■3

【分析】由条件所・即=——及极化恒等式入手，设的中点为G,贝U

4

2

FEFD=FG--DE=FG所以下石2=」，故点尸的轨迹是以G为球心，正为半径的

44422

球被面所截得的半圆，当点尸在半圆弧的最高点时，三棱锥b-AED的体积最大，此时易求得跖与

平面ABB,A所成角的正弦值为;.

【解析】设DE的中点为G,

2122S3

则由极化恒等式得庵•丽=时—_DE~=FG~=_―,

444

——-21

所以EG=—,

2

故点尸的轨迹是以G为球心，变为半径的球被面相所截得的半圆,

2

当点尸在半圆弧的最高点时，三棱锥尸-AED的体积最大，

此时易求得EF与平面ABB^所成角的正弦值为;.

【巩固练习】

1.如图，在平面四边形ABC。中，。为2D的中点，且。4=3,0C=5.若兆方6=—7,K!|BC-DC=

2.矩形ABCD中，P为矩形A3CD所在平面内一点，PA=3,PC=4,矩形对角线AC=6,则丽•两

值为.

3.若平面向量a,5满足|2a—例W3,则“3的最小值为.

4.已知平面向量a,b,e满足|e|=l,ae=\,be=~2,\a+b\=2,那么a力的最大值为.

5.在AABC中，已知3C=2,AB»AC^1,则AABC面积的最大值是.

__.___>___,__,__,___»_uumuum

6.已知单位向量？A，PB，PC满足2PA+3P3+3尸。=0，则A3-AC的值为（）

7.已知研=1为=2,且向量函与无的夹角为120。，又|而|=1,则*.而的取值范围为（）

A.[-1,1]B.[-1,3]C.[-3,1]D.[-3,3]

8.已知平面向量a,瓦c满足卜|=1,。•%g,a-c=2,|2^-c|=2,那么B-c的最小值为.

jr------

9.已知锐角A43C的外接圆的半径为1,ZB=-,则84的取值范围为.

6

10.在AABC中，A6=3,AC=4,ZBAC=60。，若。是AABC所在平面内的一点，且AP=2,则丽•正

的最大值为.

11.已知点P是边长为2g的正三角形ABC内切圆上的一点，则丽的取值范围为.

12.已知正方形ABC。的边长为1,中心为。，直线/经过中心。，交4B于点交CD于点、N,P为平面

上一点，若2加3=4协+（1-^）OC,则丽PN的最小值为.

13.设点尸为正三角形AABC的边8c上的一个动点，当丽PC取得最小值时，sin/BIC的值为.

14.在平面直角坐标系xOy中，点A,3分别在x轴，y轴正半轴上移动，AB=2,若点尸满足以PB=2,

则0P的取值范围为.

15.在△ABC中，E,F分别是线段AB,AC的中点，点尸在直线上，若AABC的面积为2,则为PC+

BC之的最小值是.

16.在半径为1的扇形A08中，若NAOB=60。，C为弧A8上的动点，A8与。C交于点P,则。尸的最小

值是.

17.如图所示，正方体ABC。-ALBCLDI的棱长为2,MN是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之

间的线段称为球的弦）,P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，屈•丽的取值范围是

18.已知球。的半径为1,是球面上的两点，且A3=若，若点。是球面上任意一点，则丽・丽的

取值范围是（）

13

A.2j_B.——C.D.

2,222°44

【答案或提示】

1.【答案】9

or）2____or）2

【提示】两次使用极化恒等式，由丽•%万=。4?-------得&）=8,BCDC=OC2---------=9.

44

2.【答案】一口

2

【提示】设矩形的对角线交点为0,由中.无=?。2一贮=。。2—9=匕£盘，得尸02=1，

422

TBPD=PO2-^-=--9=--.

422

3.【答案】Q上

8

【解析】根据极化恒等式得：8〃小=（2〃+力）2—（2a—力）2=（2〃+力）2_92—9,

99

故“•》》-一，所以a年的最小值为

88

4.【答案】一J

4

【提示】由a・e=l,be=12得:ae—be=3,即（0一力）e=3f|0一例cos0=3

a-ft=-[|«+ft|2—|a-6|2]^--

44

5.【答案】72

【提示】取BC的中点为。，则福•恁=-----，所以=0

4

因为8c边上的高线长不大于中线长，当中线就是高线时，面积最大，故AABC面积的最大值0.

6.【答案】A

__.__.2__.

【解析】2PA+3PB+3PC^0^：.RB+PC=--PA,

如图,

设5C中点为D,则而=g（而+定）=—g可，且陷=阀=困|=1,

...P,A0三点共线，PD1BC,|PD|=||PC|=1,

/.△ABC为等腰三角形，

国寸一叵『半,

uiauumlUUittp|UUtti|2,4、2（7A/?Ys

：.AB-AC=\AD\-|CD|=^J=|.«：A.

7.【答案】C

【解析】连结4B,则48=2有设AB的中点为T,

由Q•丽=P/2—工至？=p/2—3,易知0WPTW2,所以一3WPT2—3W1

4

故—3W福•丽