2024-2025学年山东省青岛某中学高三（上）月考数学试卷（8月份）（含答案）

2024-2025学年山东省青岛二中高三(上)月考

数学试卷(8月份)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1

1.已知集合M={制y=lg(2%—3)},N={y|y>0，则MnN=()

331

A.(-l,pB.《,+8)C.©，+8)D.0，|)

2.某高中为鼓励全校师生增强身体素质，推行了阳光校园跑的措施，随机调查7名同学在某周周日校园跑

的时长(单位：分钟)，得到统计数据如下：35,30,50,90,70,85,60.则该组数据的中位数和平均数

分别为()

A.60,58B.60,60C.55,58D.55,60

3.已知2=署(06幻为纯虚数，则忆+2小=()

B.2C.1D.<5

4.曲线y=ex+sin2x在点(0,1)处的切线方程为()

A.3%+2y—2=0B.2%—2y+1=0C.3x—y+1=0D.3x—2y+2=0

5.已知锐角a,£满足sina+sinasin/3=coscrcos/?,则2a+/?=()

A71

A-2B5C-JD.n

6.过点P(l,—3)的直线I与曲线M:(x-2/+y2=1(2<%<3)有两个交点，则直线I斜率的取值范围为()

B©2C(|，2

Ml，』

7.已知椭圆r：捻+，=l(a>b>0)的右焦点为F,过尸且斜率为1的直线/与r交于力，B两点，若线段4B

的中点M在直线x+2y=0上，则7的离心率为()

A^2考

A.—BD号

4

8.如图，在平行四边形4BCD中，tanzSXD=7,AB=S，AD=5,E为边BC上异于端点的一点，且

荏•加=45,贝！Isin/CDE=()

A方

A•而B.:

Di

44

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

22

9.已知双曲线T：T------—1，则()

3—mm+6

A.租的取值范围是(3,+8)

B.m=l时，T的渐近线方程为y=±手x

(2"的焦点坐标为(一3,0),(3,0)

D.T可以是等轴双曲线

10.下列函数中，存在数列｛即｝使得的，a2,口3和〃的)，f(a2),/(a3)都是公差不为0的等差数列的是()

2024

A./(%)=tanxB./(%)=log2xC./(%)=xD./(%)=1g

11.已知定义在R上的偶函数f(久)和奇函数g(x)满足f(2+x)+g(-x)=1,贝ij()

A./(久)的图象关于点(2,1)对称B./(久)是以8为周期的周期函数

C.g(x+8)=g(x)D.充驳(轨-2)=2025

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(%—2y)6的展开式中，/必的系数为.

13.已知函数“无)=2024sin(2x-勺在区间内恰有两个极值点，则实数小的取值范围为.

14.将正整数n分解为两个正整数七、七的积，即几=自・七，当七、七两数差的绝对值最小时，我们称其

为最优分解汝口20=1X20=2X10=4x5,其中4x5即为20的最优分解，当心、6是n的最优分解时，

定义/(功=隹一七1，则数列｛f(5n)｝的前2024项的和为.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

在I34BC中，内角4、B、C的对边分别为a、b、c,且acosC+AAZasinC=b+c.

⑴求a；

(2)若a=2门，且b>c,贝帆ABC的面积为20，求b、c.

16.(本小题12分)

已知直线久=my+n交抛物线C:y2=4x于M,N两点，F为C的焦点，且FM1FN.

(1)证明：m2+n>0;

(2)求n的取值范围.

17.(本小题12分)

如图，点。为正四棱锥P-4BCD的底面中心，四边形POBQ为矩形，且。4=2，BQ=2.

(1)求正四棱锥P—HBCD的体积；

(2)设E为侧棱P4上的点，且黑=|，求直线BE与平面PQC所成角的正弦值

CrJ

18.(本小题12分)

某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质

量指标值：［45,55),［55,65),［65,75),［75,85),［85,95］根据长期检测结果,得到芯片的质量指标值X服

本标准差s作为。的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为a等品的概率(保留小数点后面两位

有效数字)；

(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量f服从正态分布N(“,M),则

P(〃一七0.6827,P(〃-2oVf<〃+2(7)«0.9545,P(〃—3CT<f<〃+3a)k0.9973.)

(2)(回)从样本的质量指标值在［45,55)和［85,95］的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在［85,95］的芯片

件数为“，求77的分布列和数学期望；

(ii)该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按loo件一箱包装.已知一件a等品芯片的利

润是爪(1(根<24)元，一件B等品芯片的利润是ln(25-爪)元，根据(1)的计算结果，试求根的值，使得

每箱产品的利润最大.

19.(本小题12分)

定义：若对于任意neN*,数列｛&｝，｛%｝满足：®xnyn;(2)f(xn)=f(yn),其中/(久)的定义域为D,

xn,yneD,则称｛久兀｝,｛%｝关于/'(x)满足性质G.

(1)请写出一个定义域为R的函数/(*),使得｛n｝,｛-n｝关于/(©满足性质G;

(2)设g(x)=x+g(x>0,k>0),若｛%",｛%｝关于g(x)满足性质G,证明：xn+yn>2A/T;

⑶设h(x)=e^+x+e-A*-sinx(xGR),若｛xj｛%｝关于h(x)满足性质G,求数列｛/+%｝的前n项和.

参考答案

1.B

2.5

3.2

4.C

5.4

6.5

7.D

8.F

9.BCD

10.AD

11.ABC

12.60

13.(y,y]

14.51012-1

15.解：(1)因为acosC+V_3asinC=b+c,

由正弦定理得sirL4cosc+V_3sini4sinC=sinB+sinC,

所以sirL4cosc+V_3sin?lsinC=sin(/+C)+sinC,

可得V_5sinZsinC=cos/sinC+sinC,

因为sinC>0,所以，WsinZ=cosA+1,

所以sin(4

因为AE(0,7T),所以/=(

(2)由SMBC=/bcsinA=^-bc=2V-3，所以be=8,

又由余弦定理可得小=Z)2+c2—2bccosA=(b+c)2—3bc=(b+2—24=12,

所以b+c=6,

由蚱鼠,解得:

因为6>c,故本题的答案为6=4,c=2.

16.⑴证明：由题意联立g==*+n^-4my-4n=0,

・•・4=16m2+16n>0=>m2+n>0.

(2)解：设可(犯小?)，

由(D得Yi+=4m，y，2=-4n,

vFM1FN,F(LO),.•.丽・丽=0,

即(％i—1)(犯—1)+y/2=0，BP(jnyr+n—l)(my2+n-1)+y1y2=°，

2

整理得(租2+l)y1y2+m(n—1)仇4-y2)+(n—l)=0,

2222

将%+旷2=4m,yry2——4九代入并整理得，4m=n—6n+1,4(m+n)=(n—l)>0,

•••九W1,且九2-6n+l>0,解得ri>3+或九<3-2，1.

17.解：⑴由已知可得OP=BQ=2,

注意OA=<2,G故底面正方形ZBCO的边长为45=2,

2

所以正四棱锥P-力BCD的体积U=lsABCD.PO=|x2x2=1.

(2)设。为原点，OC,OD,0P分别为％,y,z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

易得P(0,0,2),2(—调,0,0),B(0,-AA2,0),C(<2,0,0),Q(0,—71,2),

设平面PQC的一个平面向量元=(%y,z),则俨1竺，即1元.空二°,

In1CPIn-CP=0

又加=(0,合,0),CP=(-<2,0,72)，

即噂'=。’可嘱产可得记“叫，

由题意可得通=|AP=(学,0》

设EQ,y,z),则荏=(%+v^,y,z)，

则有(x+<2,y,z)=(等,0,令，

故E(一手,o,§,从而箱=

所以炉.元=Y+O+W，|岳|=J(—哈)2+2+1)2=",|^|=/3

设直线直线8E和平面PQC所成角为氏

则s讥9=|cos〈炉•元＞1=|繇=而过=宏，

故直线BE和平面PQC所成角的正弦值为宏.

18.解：(1)由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：

%=10X(0.01X50+0.025X60+0.04X70+0.015X80+0.01X90)=69.

即〃«%=69

《11,所以XSN(69,1M),

因为质量指标值X近似服从正态分布N(69,IB),

所以P(X280)=i(69T丁<69+11)1—P(〃一

2

1-0.6827=0.15865«0.16,

2

所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为/等品的概率约为0.16.

(2)(i)(0.01+0.01)xlOx100=20,所以所取样本的个数为20件,

质量指标值在［85,95］的芯片件数为10件，

故〃可能取的值为0,1,2,3,相应的概率为:

302l

pg=o)=^rrTQ，PS=1)=r乎r15

c38

20口C20

PS=2)=船=|1,pg=3)=呼2

^20^2019

随机变量4的分布列为:

耳0123

22

P1515

19383819

所以〃的数学期望E⑺=0x^-+lx||+2xi|+3x^-=1.

'LzfJoJoiyz

5)设每箱产品中A等品有y件，则每箱产品中B等品有(ioo-丫)件,

设每箱产品的利润为z元，

由题意知：Z=mY+(100—y)ln(25—m)=(m—ln(25—m))Y+1001n(25—m),

由(1)知：每箱零件中a等品的概率为o.i6,

所以ysB(ioo,o.i6),所以E(y)=100x0.16=16,

所以E(Z)=E[(m-ln(25一m))K+1001n(25一m)]

=(m—ln(25—zn))E(Y)+1001n(25—m)

=16(m—ln(25—m))+1001n(25—m)

=16m+841n(25—m)

令/(%)=16%+841n(25—x)(l<x<24)

//(%)=16-噂匕=0得，％

J、'25—x4

7Q7Q

又f(x)>0,f(x)递增;xe(?,24),f(x)<0,/(久)递减,

所以当尤=券e(1,24)时，/(久)取得最大值.

所以当爪==时，每箱产品利润最大.

4

19.解：(l)/(x)=久2(注：所有的定义域为R的偶函数均符合题意).

⑵证明：因为gg)=g(%)’所以小9％+£

移项得%-yn=---=蛆U.

x

yn