2024-2025学年高考数学一轮复习讲义：任意角和弧度制及三角函数的概念（含新定义解答题）（学生版+解析）

第01讲任意角和弧度制及三角函数的概念（分层精练）

A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）

A夯实基础

一、单选题

1.（23-24高一下•重庆铜梁•阶段练习）-2024。的终边在（)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2兀/、

2.（23-24高一下•湖北武汉•阶段练习）tan——=()

3

A,显

B.-石D.73

3

（2023•湖南岳阳•模拟预测）已知角a的终边经过点（-*总，则tamz=（

3.)

512125

A.B.——C.D.—

1251313

27r

4.（23-24高一下•河南商丘•阶段练习）圆心角是手，半径是2石的扇形的面积为（）

A.2兀B.4兀C.5兀D.1071

5.（23-24高一下•江西•开学考试）下列命题为真命题的是（）

A.大于90。的角都是钝角B.锐角一定是第一象限角

C.第二象限角大于第一象限角D.若cos6<0,则。是第二或第三象限的角

6.（23-24高一下•四川南充•阶段练习）在平面直角坐标系X0V中，角a的顶点在原点，始

边与尤轴的非负半轴重合，终边经过点网2,-3）,则tan（a-；）=（）

11

A.——B.1C.1D.5

55

7.（23-24高一上•山西运城•期末）《九章算术》是一部中国古代的数学专著.第一章《方

田》主要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为"环

田"（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝）书中提到如图所示的一块“环田"：中周九十五步,

外周一百二十五步，所在扇形的圆心角大小为5（单位：弧度），贝「该环田”的面积为（）

A.600平方步B.640平方步

四、解答题

13.（2024jWj二,全国,专题练习）（1）如果角。是第二象限角，那么一a，R—a,n+a角

的终边分别落在第几象限?

（2）写出终边落在直线>=耳上的角的取值集合;

⑶若6=£+2也优日），求在［0,2兀）内终边与|■角的终边相同的角.

14.（2024高三•全国,专题练习）利用单位圆写出符合下列条件的角a的取值集合.

(l)coscr=；

⑵sina

2

⑶tana>l.

B能力提升

1.（23-24高一上•云南昆明・期末）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸是中国古老的传统

民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱.窗花是农耕文化的特色艺

术，农村生活的地理环境，农业生产特征以及社会的习俗方式，也使这种乡土艺术具有了鲜

明的中国民俗情趣和艺术特色.如图所示的四叶形窗花是由一些圆弧构成的旋转对称图形，

若设外围虚线正方形的边长为。，则窗花的面积为（）

D.g+卜

2.（23-24高一上,山东德州•期末）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折

扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成；一个半径为R的扇形，它的周长是4R,则

这个扇形所含弓形的面积是（）

D.7?2(2-sinlcosl)

3.（2024高一下•上海•专题练习）如图，已知长为出dm,宽为1dm的长方体木块在桌面

7T

上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方体木块底面与桌面所成的角为二,

6

求点A走过的路程为.

4.（23-24高一上•山东临沂•期末）临沂一中校本部19、20班某数学兴趣小组在探究扇形

时，发现如下现象：如图所示，向。A靠近的过程，就像月亮被磨弯一样.已知在某一时

7T7T

刻，圆A和圆B处于图1的状态，简化后如图2,NCED=—,ZCBD=~,4.则S

23

图1图2

C综合素养(新定义解答题)

1.(22-24高一下•北京海淀•期末)若点(飞,为)在函数〃力的图象上，且满足%"(为”0,

则称与是/(元)的二点.函数〃无)的所有＜点构成的集合称为/⑺的C集.

(1)判断,是否是函数〃x)=tanx的二点，并说明理由；

⑵若函数/(x)=sin(s+0)(o＞0)的二集为R,求。的最大值；

⑶若定义域为R的连续函数的4集£＞满足。UR,求证：H〃X)=O}K0.

第01讲任意角和弧度制及三角函数的概念（分层精练）

A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）

A夯实基础

一、单选题

1.（23-24高一下•重庆铜梁•阶段练习）-2024。的终边在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】根据终边相同的角判断即可.

【详解】•••-2024。=136。-6x360°,且136。角是第二象限角,

-2024°角的终边在第二象限.

故选：B

2兀

2.（23-24高一下•湖北武汉•阶段练习）tany=（）

A.在B.—石C.D.73

33

【答案】B

【分析】利用诱导公式及特殊值即可求解.

［详解］tan=tan-tany=-A/3.

故选：B.

3.（2023•湖南岳阳•模拟预测）已知角"的终边经过点（一1|,斗，则tana=（）

512125

A.-----B.——C.-----D.——

1251313

【答案】A

【分析】

由三角函数定义即可得解.

【详解】由题意tana=2+

AJ\LJJ

故选：A.

27r

4.（23-24高一下•河南商丘•阶段练习）圆心角是半，半径是2岔的扇形的面积为（

A.2兀B.4兀C.5兀D.10n

【答案】B

【分析】根据扇形的面积公式运算求解.

【详解】由题意可知：扇形的面积为jxgx（26『=4九

故选：B.

5.（23-24高一下•江西,开学考试）下列命题为真命题的是（）

A.大于90。的角都是钝角B.锐角一定是第一象限角

C.第二象限角大于第一象限角D.若cos6＜0,则。是第二或第三象限的角

【答案】B

【分析】根据象限角的定义即可判断ABC,根据象限角与余弦值的关系即可判断D.

【详解】对A,180。＞90。，但180。不是钝角，二A是假命题，故A错误；

对B,•••锐角的范围是，是第一象限角，B是真命题，故B正确；

对C,-210。是第二象限角，30。是第一象限角，-210。＜30。，，C是假命题，故C错误；

对D,当6=兀时，cos^=-l,6=兀不是第二或第三象限的角，二D是假命题，故D错误.

故选：B.

6.（23-24高一下•四川南充•阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，角。的顶点在原点，始

边与无轴的非负半轴重合，终边经过点网2,-3）,则tan（a-：）=（）

11

A.——B.-C.1D.5

55

【答案】D

【分析】根据三角函数的定义及两角差的正切公式即可求解.

【详解】因为角a的顶点在原点，始边与X轴的非负半轴重合，终边经过点P（2,-3）,

所以tanc="=—|,

22

7131

tanCL—tan-------1

所以tan（a--）=---------------、=二、=5.

I+tancr-tan—1+——xl

4I2）

故选：D.

7.（23-24高一上•山西运城•期末）《九章算术》是一部中国古代的数学专著.第一章《方

田》主要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为"环

田"（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝）书中提到如图所示的一块“环田J中周九十五步，

外周一百二十五步，所在扇形的圆心角大小为5（单位：弧度），贝该环田"的面积为（）

外周（外弧长）

（两弧半径差）

A.600平方步B.640平方步

C.660平方步D.700平方步

【答案】C

【分析】设中周的半径是与，外周的半径是用，圆心角为a=5,根据中周九十五步，外周

一百二十五步，列关系式即可.

faR.=5R.=95

【详解】设中周的半径是耳，外周的半径是&，圆心角为。=5,J＜二一〜解得：

[aR^=5%=125

照=19

[R2=25，

则“该环田”的面积为5=；&国2-；&«2=3乂5乂（252-192）=660平方步.

故选：C

8.（23-24高三下•广东佛山•开学考试）已知点P（3,4）是角。的终边上一点，贝l]tan，=（）

A.2B.1C.2或1D.一2或1

【答案】B

【分析】

先利用三角函数的定义求得sin%cosa,再利用倍角公式转化tan3a，从而得解.

【详解】因为点尸（3,4）是角a的终边上一点，

443_3

所以sina=.=—.coscr=：

所以V32+425V32+42=5,

.a..aa4

sin—2sin—cos—.

则tan0===—2—爰=厘工:_J_=1

2cos-2cos2-c°sa+l”方

225

故选：B.

二、多选题

a

9.（23-24高一下•江西•阶段练习）如图，若角。的终边落在阴影部分，则角£的终边可能

在（）

4

o

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】AC

【分析】

利用象限角的定义即可得解.

【详解】依题意，得心360°+40°Wa4A360°+100°,左eZ,

所以公180°+20°44Vhi80°+50°,keZ,

2

当上为偶数时，［的终边在第一象限；当E为奇数时，g的终边在第三象限.

22

故选：AC.

10.（23-24高一下•江西吉安•阶段练习）下列函数值中，符号为负的为（）

,71兀、,2K2K

A.sin—7iB.cos—C.sin-cos-D.tan2

3I33

【答案】CD

【分析】先判断象限，再确定符号.

【详解】...1兀=2兀+三，...（兀是第一象限角，.〔sing兀>0,

是第四象限角，cos］：）>。；

g是第二象限角，，sin>0,cos<0,/.sin^cos^<0；

TT

・「5<2<无，二2是第二象限角，tan2<0.

故选：CD.

三、填空题

11.（23-24高一下•上海•阶段练习）若角a的终边经过点P（Ty）,且cosa=-g,则

y=.

【答案】±272

【分析】借助三角函数定义计算即可得.

-11

【详解】由三角函数定义可知c°sa=,（_］『+丫？=一§，

即（—l）~+y2=9,解得丁=±2^/^.

故答案为：±2拒.

12.（23-24高一下•江西•阶段练习）扇形拼盘是一种可以在宴会或聚会中展示美食的独特

器具，它不仅可以为食物增添美观的视觉效果，还可以使每个人轻松地享用到不同的食物.已

知某不锈钢扇形拼盘如图所示，其示意图可以看成是由中间的一个直径为24cm的圆，四周

是8个相同的扇环形组成的，寓意“八方进宝若每个扇环形的周长为32+lOiicm,则每个

扇环形的面积为cm2.

【答案】80K

【分析】

根据给定条件，利用弧长公式、扇形面积公式列式求解即得.

【详解】设扇环形所在圆的半径为『，依题意，扇环形所在扇形的圆心角为;，

4

TTJT

于是一xl2+-r+20-12）=32+10无，解得厂=28,

44

所以每个扇环形的面积为1*：*282-1*：><122=80兀（cm2）.

2424

故答案为：807r

四、解答题

13.（2024高三•全国•专题练习）（1）如果角a是第三象限角，那么一a,n~a,兀+a角

的终边分别落在第几象限？

（2）写出终边落在直线》=岛上的角的取值集合；

（3）若e=：+2hi（k£Z）,求在[0,2兀）内终边与■角的终边相同的角.

TT7T117T917T

【答案】⑴第二象限、第四象限、第一象限；（2）{c[=+E,keZ}；（3）七，/7f

3TT

【详解】（1）由题意可知兀+2质<0（<彳+2加（左£Z）,

3jr

所以---2kn<—a<—Ti—2kn.（kE：Z）,

即5+2kn<—a<Ti+2kn.（kE：Z）①.

所以一a角的终边落在第二象限.

47r

由①得巨+2依<兀-a<2ji+2Zji(Z£Z),所以Ti—a角的终边落在第四象限角.

同理可知，ii+a角的终边落在第一象限.

(2)在(0,n)内终边落在直线尸自上的角是本

所以终边落在直线上的角的取值集合为{a|a=^+加，kGZ].

兀

jr-+271

(3)因为e=4+2E%£Z),所以-T

-Ies

，

当靖+券左时2

0<2N,k=0,1,2一

？O,

故在[0,2兀)内终边与号角的终边相同的角是会，黑，揩.

【考查意图】

角的取值集合的表示，终边相同的角的表示.

14.(2024高三・全国•专题练习)利用单位圆写出符合下列条件的角a的取值集合.

⑴cosa二一;；

(2)sina

2

⑶tana>l.

27r2,71

【答案】(1){a|a=———1~2灯[或。=3—1~2灯c,上WZ}.

4兀兀

(2){a|——+2kn<a<—kG7].

兀71

(3){a11V彳+而，A£Z}.

【解析】略

B能力提升

1.(23-24高一上•云南昆明•期末)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸是中国古老的传统

民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱.窗花是农耕文化的特色艺

术，农村生活的地理环境，农业生产特征以及社会的习俗方式，也使这种乡土艺术具有了鲜

明的中国民俗情趣和艺术特色.如图所示的四叶形窗花是由一些圆弧构成的旋转对称图形,

若设外围虚线正方形的边长为。，则窗花的面积为()

A.[20一1一十B.12&一1+犷

C.（兀+0—1）/D.+血一1）1

【答案】A

【分析】利用扇形三角形面积公式，利用整体减去部分即可.

【详解】根据正方形以及"窗花"的对称性可知：窗花的一个"花瓣（阴影部分）”的面积:

S-SgCE―2s扇形AOB-S&BCD，

AE=y/2a9AO=-^^a,贝!

22

即5」/」兀.心小

2412J

故"窗花"面积为4s=（20-1-12・

故选：A.

2.（23-24高一上,山东德州,期末）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折

扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成；一个半径为R的扇形，它的周长是4R,则

这个扇形所含弓形的面积是（）

D.7?2(2-sinlcosl)

此次点A走过的路径是巴x若=叵,

33

•••点A三次共走过的路径是型+匝=2±2®Mdm),

236

故答案为：9+："兀(dm).

4.(23-24高一上•山东临沂•期末)临沂一中校本部19、20班某数学兴趣小组在探究扇形

时，发现如下现象：如图所示，向。A靠近的过程，就像月亮被磨弯一样.已知在某一时

TT7T

刻，圆A和圆B处于图1的状态，简化后如图2,ZCED=-,NCBD=q,fiD=4.则S

【分析】阴影部分的面积为。A的半圆面积减去。8中圆心角为|■的弓形面积，利用已知数

据计算即可.

JT

【详解】ZCED=-,则为。A的直径，连接8,如图所示，

7T

ZCBD=~,BD=4,则△BCD为等边三角形，CD=4,

。4的半径为2,的半径为4,

TT

阴影部分的面积为。A的半圆面积减去中圆心角为|■的弓形面积,

则阴影部分的面积为5=三岁x4x4xg]=4君-?.

21622)3

故答案为：4A/3

C综合素养(新定义解答题)

1.(22-24高一下•北京海淀•期末)若点优,为)在函数“X)的图象上，且满足为"(%)对，

则称与是〃尤)的二点.函数〃尤)的所有<点构成的集合称为〃尤)的，集.

(1)判断费是否是函数〃x)=tanx的6点，并说明理由；

⑵若函数/(x)=sin(ox+0)(0>O)的二集为R,求。的最大值；

⑶若定义域为R的连续函数/(X)的6集O满足。UR，求证：卜，(无)=0}*0.

【答案】(1)不是，理由见解析；

(2)乃；

⑶见解析

【分析】(1)直接求出%=百，再判断出，(%)<0,即可得到%"(%)<0,即可得到

结论；

(2)先说明。〈不，若